2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习10（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习10（含答案），共13页。
已知抛物线L：y＝﹣x2＋4x＋a(a≠0)．
(1)抛物线L的对称轴为直线 ．
(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．
(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．
(4)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(2，0)，与y轴相交于点C.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
(3)若点M在抛物线上，且在y轴的右侧.⊙M与y轴相切，切点为D.以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标.
如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M．(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点,顶点为M，直线y=eq \f(1,2)x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M,A的坐标；
（2）将△NAC沿着y轴翻转,若点N的对称点P恰好落在抛物线上,AP与抛物线的对称轴相交于点D,连接CD,求a的值及△PCD的面积；
（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于点A(﹣4，0)，B(﹣1，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴左侧的抛物线上有一动点D．
①如图(a)，直线y=x＋3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴，交QC于点F，请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：1？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图(b)，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当▱ODAE的面积S为何值时，满足条件的点D恰好有3个？请直接写出此时S的值以及相应的D点坐标．
如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过经过点A(2，0)，点B(3，3)，BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为(﹣4，0)，点F与原点重合．
(1)求抛物线的解析式；
(2)△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，
①求点D落在抛物线上时点D的坐标；
②设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式．
如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y＝﹣x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知直线y=﹣eq \f(3,2)x+eq \f(9,2)与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(0,eq \r(3))．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵y＝﹣x2＋4x＋a＝﹣(x﹣2)2＋4＋a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
故答案为：x＝2；
(2)∵抛物线开口向下，
∴y＝﹣3与抛物线有两个不同的交点，
∵抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，
∴﹣3＜4＋a＜3，即﹣7＜a＜﹣1；
(3)由题意可知A(a，﹣a2＋5a)，B(﹣3a，﹣a2＋5a)，C(﹣3a，﹣9a2﹣11a)，D(a，﹣9a2﹣11a)，
由题意可得﹣9a2﹣11a＝2，解得a＝﹣1或a＝﹣eq \f(2,9)，当a＝﹣eq \f(2,9)时，AB＝﹣4a＝eq \f(8,9)，
AD＝﹣9a2﹣11a＋a2﹣5a＝﹣8a2﹣16a＝，
∴矩形ABCD的周长＝2×(＋)＝；
当a＝﹣1时，AB＝4，AD＝8，
∴矩形ABCD的周长＝2×(4＋8)＝24；
综上所述：矩形ABCD的周长为24或；
(4)当a＞0时，界点(﹣1，﹣5＋a )在点N 处或下方满足条件，此时﹣5＋a≤﹣1，
所以0＜a≤4 当a＜0时，
若界点(4，a )在x 轴下方，MN 上方，且界点(﹣1，﹣5＋a )在点N 处或其下方满足条件，
解得﹣1＜a＜0，
若顶点(2，4＋a )与MN 相切，满足条件，此时4＋a＝﹣1，解得a＝﹣5．
综上，﹣1＜a≤4且a≠0或a＝﹣5．
解：(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(2，0)，
∴，∴，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2.
(2)如图1.
∵二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2与y轴相交于点C，∴C(0，2).
设 E(a，b)，且a＞0，b＞0.
∵A(﹣1，0)，B(2，0)，∴OA=1，OB=2，OC=2.
则S四边形ABEC=eq \f(1,2)×1×2+eq \f(1,2)(2+b)×a+eq \f(1,2)(2﹣a)×b=1+a+b，
∵点 E(a，b)是第一象限的抛物线上的一个动点，
∴b=﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC=﹣a2+2a+3=﹣(a﹣1)2+4，
当a=1时，b=2，
∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为(1，2)，且四边形ABEC的最大面积为4.
(3)点M的坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(9,4))，(eq \f(3,2)，eq \f(5,4))，(3，﹣4)，理由如下：如图2
设M(m，n)，且m＞0.
∵点M在二次函数的图象上，∴n=﹣m2+m+2.
∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC=90°.
∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴==，或==2.
①当n＞2时，=eq \f(1,2)或=2，
解得 m1=0(舍去)，m2=eq \f(1,2)，或m3=0(舍去)，m4=﹣1(舍去).
②同理可得，当n＜2时，m1=0(舍去)，m2=eq \f(3,2)，或m3=0(舍去)，m4=3.
综上，满足条件的点M的坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(9,4))，(eq \f(3,2)，eq \f(5,4))，(3，﹣4).

解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5)，
把点A(0，4)代入上式得：a=0.8，
∴y=0.8(x﹣1)(x﹣5)=0.8x2﹣4.8x+4=0.8(x﹣3)2﹣4.8，
∴抛物线的对称轴是：x=3；
(2)P点坐标为(3，1.6)．理由如下：
∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得6k+b=4,k+b=0，
解得k=0.8,b=﹣0.8，∴y=0.8x﹣0.8，
∵点P的横坐标为3，∴y=0.8×3﹣0.8=1.6，∴P(3，1.6)．
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N(t，0.8 t2﹣4.8t+4)(0＜t＜5)，
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：y=﹣0.8x+4，
把x=t代入得：y=﹣0.8t+4，则G(t，﹣eq \f(4,5)t+4)，
此时：NG=﹣eq \f(4,5)t+4﹣(eq \f(4,5)t2﹣4.8t+4)=﹣eq \f(4,5)t2+4t，
∵AD+CF=CO=5，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=eq \f(1,2)AM×NG+eq \f(1,2)NG×CF=eq \f(1,2)NG×OC=eq \f(1,2)×(﹣eq \f(4,5)t2+4t)×5
=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣2.5)2+12.5，
∴当t=2.5时，△CAN面积的最大值为12.5，
由t=2.5，得：y=0.8t2﹣4.8t+4=﹣3，
∴N(2.5，﹣3)．
解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．
∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．
令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．
（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，a），M（﹣1，1+a），
∴，解得，
∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，
，解得，
∴N（eq \f(4,3)a，﹣eq \f(1,3)a）．
∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣eq \f(4,3)a，﹣eq \f(1,3)a）．
代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣eq \f(1,3)a =﹣eq \f(16,9)a2+eq \f(8,3)a+a，解得a=eq \f(9,4)或a=0（舍去）．
∴A（0，eq \f(9,4)），C（0，﹣eq \f(9,4)），M（﹣1，eq \f(13,4)），|AC|=eq \f(9,2)，
∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=eq \f(1,2)|AC|•|xp|﹣eq \f(1,2)|AC|•|x0|=eq \f(1,2)•eq \f(9,2)•（3﹣1）=eq \f(9,2)；
（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，
∴AC与PN互相平分，N（eq \f(4,3)a，﹣eq \f(1,3)a），∴P（﹣eq \f(4,3)a，eq \f(1,3)a）；
代入y=﹣x2﹣2x+a得，eq \f(1,3)a=﹣eq \f(16,9)a2+eq \f(8,3)a+a，解得a=eq \f(15,8)，∴P1（﹣eq \f(5,2)，eq \f(5,8)）．
②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，
∵N（eq \f(4,3)a，﹣eq \f(1,3)a），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（eq \f(4,3)a，﹣eq \f(7,3)a）．
代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣eq \f(7,3)a =﹣eq \f(16,9)a2﹣eq \f(8,3)a+a，解得a=eq \f(3,8)，∴P2（eq \f(1,2)，﹣eq \f(7,8)）．
综上所述，当点P1（﹣eq \f(5,2)，eq \f(5,8)）和P2（eq \f(1,2)，﹣eq \f(7,8)）时，A、C、P、N能构成平行四边形．
解：(1)将点A(﹣4，0)、B(﹣1，0)代入抛物线y=ax2＋bx＋3中，
得：，解得：．
∴抛物线的解析式为y=eq \f(3,4)x2＋eq \f(15,4)x＋3．
(2)①假设存在，设点D的坐标为(m，eq \f(3,4)m2＋eq \f(15,4)m＋3)(m＜0)．
联立，解得：或．
∴点C的坐标为(0，3)．
直线CQ的解析式为y=x＋3可变形为x﹣y＋3=0，直线DF的解析式为x=m，
点D到直线CQ的距离d1==；
点C到直线DF的距离d2=|0﹣m|=﹣m．
∵d1：d2=eq \r(2)：1，∴=﹣eq \r(2)m，
解得：m1=﹣6eq \f(1,3)，m2=0(舍去)，m3=﹣1，即点D的坐标为(﹣6eq \f(1,3)，9eq \f(1,3))或(﹣1，0)．
∴存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为eq \r(2)：1，此时点D的坐标为(﹣6eq \f(1,3)，9eq \f(1,3))或(﹣1，0)．
②∵抛物线的解析式为y=eq \f(3,4)x2＋eq \f(15,4)x＋3=eq \f(3,4)(x＋eq \f(5,2))2﹣，
∴该抛物线的顶点坐标为(﹣eq \f(5,2)，﹣)．
设点D到x轴的距离为h，
又∵点C的坐标为(0，3)，＜3，
∴当0＜h＜时，满足题意的点D有4个；当h=时，满足题意的点D有3个；
当＜h＜3时，满足题意的点D有2个；当h≥3时，满足题意的点D有1个．
∴h=，此时S=AO•h=4×=．
(i)将y=﹣代入y==eq \f(3,4)x2＋eq \f(15,4)x＋3中得：eq \f(3,4)x2＋eq \f(15,4)x＋3=﹣，解得：x=﹣eq \f(5,2)，
此时点D的坐标为(﹣eq \f(5,2)，﹣)；
(ii)将y=代入y=eq \f(3,4)x2＋eq \f(15,4)x＋3中得：eq \f(3,4)x2＋eq \f(15,4)x＋3=，
解得：x1=﹣，x2=﹣，
此时点D的坐标为(﹣，)或(﹣，)．
综上可知：当▱ODAE的面积S为时，满足条件的点D恰好有3个，
此时点D的坐标为(﹣eq \f(5,2)，﹣)、(﹣，)和(﹣，)．
解：(1)根据题意得：
，解得a=1，b=﹣2，
故抛物线解析式是y=x2﹣2x；
(2)①∵点E的坐标为(﹣4，0)，∴EF=4，
∵△DEF是等腰直角三角形，∴点D的纵坐标为2，
当点D在抛物线上时：x2﹣2x=2，解得：x1=1+eq \r(3)，x2=1﹣eq \r(3)，
∴点D落在抛物线上时点D的坐标为：(1+eq \r(3)，2)或(1﹣eq \r(3)，2)；
②有3种情况：
(Ⅰ)当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：S=eq \f(1,4)t2；
(Ⅱ)当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：S=﹣eq \f(1,4)t2+3t﹣eq \f(9,2)；
(Ⅲ)当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：S=﹣eq \f(1,2)t2+3t﹣eq \f(1,2)．
解：(1)当x＝0时，y＝﹣2，
∴C(0，2)，
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
(x﹣2)(x＋1)＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(2，0)，
设图象W的解析式为：y＝a(x＋1)(x﹣2)，
把C(0，2)代入得：﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣(x＋1)(x﹣2)＝﹣x2＋x＋2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2＋x＋2(﹣1＜x＜2)；
(2)由图象得直线y＝﹣x＋b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝﹣x＋b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；
②当直线y＝﹣x＋b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
﹣x＋b＝﹣x2＋x＋2，
x2﹣2x＋b﹣2＝0，
Δ＝(﹣2)2﹣4×1×(b﹣2)＝0，∴b＝3，
综上，b的值是2或3；
(3)∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
∵PN∥y轴，
∴P(1，0)；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，
x2﹣x﹣4＝0，
∴x1＝，x2＝，∴P(，0)；
如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，
∴CN的解析式为：y＝x＋2，
∴x＋2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1＋eq \r(5)，x2＝1﹣eq \r(5)(舍)，
∴P(1＋eq \r(5)，0)，
综上，点P的坐标为(1，0)或(，0)或(1＋eq \r(5)，0)．
解：(1)在y=﹣eq \f(3,2)x+eq \f(9,2)中，令x＝0得y＝eq \f(9,2)，令y＝0得x＝3，
∴B(3，0)，C(0，eq \f(9,2))，
把B(3，0)，C(0，eq \f(9,2))代入y＝ax2＋3x＋c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式是y＝﹣eq \f(3,2)x2＋3x＋eq \f(9,2)；
(2)在抛物线上存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵y＝﹣eq \f(3,2)x2＋3x＋eq \f(9,2)＝﹣eq \f(3,2)(x﹣1)2＋6，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
∵E(0，eq \r(3))，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴F(2，eq \r(3))，设Q(1，t)，P(m，﹣eq \f(3,2)m2＋3m＋eq \f(9,2))，
①当EF，PQ是对角线时，EF的中点即是PQ的中点，如图：
∴，解得m＝1，
∵E(0，eq \r(3))，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴EQ＝FQ，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(1，6)；
②当EQ，FP为对角线时，EQ，FP的中点重合，如图：
∴，解得，
∴P(﹣1，0)，Q(1，0)，而F(2，eq \r(3))，
∴FQ＝2＝PQ，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(﹣1，0)；
③当EP，FQ为对角线，EP，FQ的中点重合，如图：
∴，解得，
∴P(3，0)，Q(1，0)，
而F(2，eq \r(3))，∴FP＝QP＝2，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(3，0)，
综上所述，P的坐标是(1，6)或(﹣1，0)或(3，0)．