2024年河南省八市重点高中高考数学一模试卷附解析

这是一份2024年河南省八市重点高中高考数学一模试卷附解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≤2}，则A∩∁RB＝（ ）
A．（2，3）B．[2，3）C．（0，2]D．（﹣∞，3）
2．（5分）若z＝1﹣i，则＝（ ）
A．2B．1C．D．
3．（5分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）已知均为平面单位向量，若，则＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．（5分）甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）函数f（x）＝ex+|lnx+1|的最小值为（ ）
A．eeB．C．D．ee+2
7．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，{nSn}为等差数列，若S4+a3+a4＝1，则＝（ ）
A．2B．﹣2C．D．
8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，P为CC1的中点，E在棱A1D1上，且A1E＝3ED1，则过E且与A1P垂直的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消防安全知识竞赛，已知该校高一、高二、高三三个年级的人数之比为1：2：3，根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为n的部分考生成绩，并做出如图所示的频率分布直方图，成绩前10%的学生授予“安全标兵”称号，已知成绩落在区间[50，60）的人数为24，则（ ）
A．n＝150
B．估计样本中高三年级的人数为75
C．估计安全知识竞赛考生的平均分为73
D．估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+B（ω＞0，0＜φ＜π），，为f（x）的两个相邻的对称中心，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为
B．f（x）的最大值为1
C．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴
D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，，f（0）≠0，则（ ）
A．B．f（0）＝﹣2
C．f（x）的一个周期为3D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若sinθ﹣2csθ＝0，则＝ ．
13．（5分）在正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1∥平面C1BD，AB＝2AA1＝4，则正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的体积为 ．
14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，A，B为C上的两点，AB∥F1F2，四边形F1F2AB的面积为，若△F2AB的周长为10a，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列以及数学期望．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AB＝2，PA＝AD＝CD＝1，E为PB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值．
17．（15分）记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，Sn+an＝2，an+bn＝2bn+1，Sn+an＝2，an+bn＝2bn+1，2S3＝T2．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，记{cn}的前n项和为Qn，若对任意n∈N*，n∈N*，Qn＜m，求整数m的最小值．
18．（17分）设P为抛物线C：x2＝4y准线上的一个动点，过P作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）当直线AB斜率不为0时，直线AB交C的准线于M，设Q为线段AB的中点，求△QPM面积的最小值．
19．（17分）已知函数f（x）＝（1+x）r﹣rx﹣1（x＞﹣1），r＞0且r≠1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当n∈N*时，证明：．
2024年河南省八市重点高中高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≤2}，则A∩∁RB＝（ ）
A．（2，3）B．[2，3）C．（0，2]D．（﹣∞，3）
【答案】A
【分析】根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果．
【解答】解：因为∁RB＝{x|x＞2}，
所以A∩∁RB＝{x|2＜x＜3}．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）若z＝1﹣i，则＝（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，即可求解．
【解答】解：z＝1﹣i，
则z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，＝1+i，
故＝|1﹣i|＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
3．（5分）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，椭圆C的面积为，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，列出关于a，b，c的方程，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：由题意设椭圆C的标准方程为，焦距为2c，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为：．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，椭圆方程的求法，属于中档题．
4．（5分）已知均为平面单位向量，若，则＝（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】将已知等式两边同时平方，得到，再由数量积公式得到，从而得到答案．
【解答】解：因为均为平面单位向量，，
所以，即，
即，所以，
则，
解得，即．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积计算，考查了转化思想，属于基础题．
5．（5分）甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题采用正难则反的方法，先求出选课总数，再求出反面，3名同学所选课程全相同有多少种，再减去即可．
【解答】解：甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门有4×4×4＝64（种）选法，
3名同学所选课程全相同有4种，
所以3名同学所选课程不全相同的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）函数f（x）＝ex+|lnx+1|的最小值为（ ）
A．eeB．C．D．ee+2
【答案】B
【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，借助导数探讨单调性求出最小值即可．
【解答】解：当时，f（x）＝ex+lnx+1，f（x）单调递增，
则，
当时，f（x）＝ex﹣lnx﹣1，
求导得，f（x）单调递减，
因此，
所以f（x）的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，{nSn}为等差数列，若S4+a3+a4＝1，则＝（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【答案】D
【分析】根据S4+a3+a4＝1得到4S4﹣2S2＝2，根据{nSn}为等差数列得到，求出通项公式，再计算的值．
【解答】解：因为S4+a3+a4＝S4+S4﹣S2＝1，所以4S4﹣2S2＝2，
所以数列{nSn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以nSn＝2+n﹣1＝n+1，所以，
所以当n≥2时，，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，P为CC1的中点，E在棱A1D1上，且A1E＝3ED1，则过E且与A1P垂直的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】先根据空间中线面的位置关系确定截面形状；再根据几何关系即可求解．
【解答】解：如图所示，
在棱A1B1上取一点F，使得A1F＝3FB1．
因为E在棱A1D1上，且A1E＝3ED1，
所以EF∥B1D1，．
由正方体性质可知：平面A1B1C1D1⊥平面AA1C1C，B1D1⊥A1C1．
又因为平面A1B1C1D1∩平面AA1C1C＝A1C1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以B1D1⊥平面AA1C1C，
则EF⊥平面AA1C1C．
又因为A1P⊂平面AA1C1C，
所以EF⊥A1P．
取Q为D1D的中点，在棱AD上取一点H，使得DH＝3HA．
则tan∠A1EH＝2，，
所以EH⊥A1Q．
因为P为CC1的中点，
则由正方体的性质可得：PQ⊥平面AA1D1D．
又因为EH⊂平面AA1D1D，
所以EH⊥PQ．
又因为A1Q∩PQ＝Q，A1Q⊂平面A1PQ，PQ⊂平面A1PQ，
所以EH⊥平面A1PQ．
因为A1P⊂平面A1PQ，
所以EH⊥A1P．
同理可得：在棱AB上取一点G，使得BG＝3GA时有FG⊥A1P．
所以截面为四边形HGFE．
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面HGFE＝EF，平面A1B1C1D1∩平面HGFE＝HG，
所以HG∥FE．
又因为AA1＝4，
所以，，．
所以等腰梯形HGFE为所得截面，梯形的高为．
所以等腰梯形HGFE的面积为．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间中线面的位置关系及正方体的截面，解题关键在于熟练运用线、面平行与垂直的判定定理和性质定理来确定截面的形状．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）为提高学生的消防安全意识，某学校组织一次消防安全知识竞赛，已知该校高一、高二、高三三个年级的人数之比为1：2：3，根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为n的部分考生成绩，并做出如图所示的频率分布直方图，成绩前10%的学生授予“安全标兵”称号，已知成绩落在区间[50，60）的人数为24，则（ ）
A．n＝150
B．估计样本中高三年级的人数为75
C．估计安全知识竞赛考生的平均分为73
D．估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号
【答案】ABD
【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，对选项逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：∵10×（x+0.03+0.04+0.01+0.004）＝1，解得x＝0.016，
则，故A正确；
估计样本中高三年级人数为，故B正确；
该校考生成绩的平均分估计值为55×0.16+65×0.3+0.4×75+0.1×85+95×0.04＝70.6，故C错误；
考生成绩的第90百分位数为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+B（ω＞0，0＜φ＜π），，为f（x）的两个相邻的对称中心，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为
B．f（x）的最大值为1
C．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴
D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】由相邻的对称中心，求出函数最小正周期判断选项A，可求出ω，再由对称中心求出φ和B，得最大值判断选项B；代入检验法判断选项C中的对称轴；平移得新函数解析式，判断D选项中的对称中心是否成立．
【解答】解：依题意，，所以，ω＝3，A选项正确；
由，即，又0＜φ＜π，得，
所以的对称中心为，所以B＝1，
f（x）的最大值为2，B选项错误；
当时，，是正弦曲线的一条对称轴，
所以直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴，C选项正确；
将f（x）的图象向右平移个单位长度所得函数为，图象关于（0，1）对称，D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，，f（0）≠0，则（ ）
A．B．f（0）＝﹣2
C．f（x）的一个周期为3D．
【答案】ABD
【分析】根据抽象等式，利用赋值法，变形得到函数的奇偶性和周期性，根据函数的性质，依次判断A、B、C选项，最后结合周期性以及函数值求解D选项．
【解答】解：对于A，令x＝y＝0，则，所以，选项A正确；
对于B，令x＝0，则，即f（y）＝f（﹣y），
所以f（3）＝f（﹣3），令，则f（3）﹣f（0）＝f2（3），
令，则f（﹣3）﹣f（0）＝f2（0）＝f（3）﹣f（0），所以f2（0）＝f2（3），
因为f2（0）+f（0）＝f（3），所以[f2（0）+f（0）]2＝f2（3），
所以（f2（0）+f（0））2＝f2（0），
因为f（0）≠0，所以f（0）＝﹣2，f（3）＝2，选项B正确；
对于C，令，则，
所以，＝，
所以，所以f（x）＝f（x+6），
由此知，f（x）的一个周期为6，选项C错误；
对于C，因为，且f（y）＝f（﹣y），
令x＝1，，
令，，
且f（3）＝2，，
所以，
由知，f（x）+f（x+3）＝0，所以f（6）＝0，
因为f（x）的一个周期为6，且2022＝12×168+6，
所以，选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了利用赋值法求函数的周期、对称性、特殊点的函数值应用问题，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若sinθ﹣2csθ＝0，则＝ ．
【答案】．
【分析】由题意，可得tanθ＝2，又＝，代入计算即可．
【解答】解：∵sinθ﹣2csθ＝0，
∴tanθ＝2，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．
13．（5分）在正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1∥平面C1BD，AB＝2AA1＝4，则正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的体积为 ．
【答案】．
【分析】根据题意及棱台的体积公式，即可求解．
【解答】解：设O为底面ABCD的中心，则A，A1，C1，O共面，
因为AA1∥平面C1BD，所以AA1∥C1O，
所以四边形AA1C1O为平行四边形，所以，A1B1＝2，
所以A1到底面ABCD的距离为，
所以正四棱台A1B1C1D1﹣ABCD的体积为：
．
故答案为：．
【点评】本题考查正四棱台的体积的求解，属中档题．
14．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，A，B为C上的两点，AB∥F1F2，四边形F1F2AB的面积为，若△F2AB的周长为10a，则C的离心率为 ．
【答案】．
【分析】根据题意，由双曲线的定义以及对称性代入计算，即可得到3a﹣2c＝0，再由双曲线离心率的公式，即可得到结果．
【解答】解：不妨设A（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则，
，解得x0＝2a，y0＝a，
所以|AB|＝4a，又△F2AB的周长为10a，
所以|F2A|+|F2B|＝6a，
根据对称性，|F2B|＝|F1A|，所以|F2A|+|F1A|＝6a，
根据双曲线定义，|F1A|﹣|F2A|＝2a，解得|F1A|＝4a，
可得，即16a2＝4a2+4ac+c2+3（c2﹣a2），
即（3a﹣2c）（5a+2c）＝0，
所以3a﹣2c＝0，即．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）不透明的袋子中装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列以及数学期望．
【答案】（1）；
（2）X的分布列为：
．
【分析】（1）根据题意结合古典概型以及互斥事件概率求法分析求解；
（2）由题意可知：随机变量X的可能取值为1，2，3，进而求分布列和期望．
【解答】解：（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
设事件B为“取出2个黑球”，则，
事件C为“取出2个红球”，则，
事件D为“取出1个红球1个黑球”，则，
因为事件B，C，D互斥，且A＝B+C+D，则，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为；
（2）由题意可知：随机变量X的可能取值为1，2，3，则有：
，，，
所以X的分布列为：
所以．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AD，AB＝2，PA＝AD＝CD＝1，E为PB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【分析】（1）由平面几何的性质可证明BC⊥AC，结合线面垂直的性质证明PA⊥BC，从而利用判定定理证明．
（2）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，写出各点坐标，分别计算平面CDE的法向量以及平面CBE的法向量，由平面夹角的余弦公式计算可得结果．
【解答】解：（1）证明：取AB的中点F，连接CF，
所以AF＝CD，
因为AF∥CD，
所以四边形AFCD是平行四边形，
因为AB⊥AD，AD＝CD，
所以四边形AFCD是正方形，
则AB⊥CF，CF＝AD＝1，
所以，得到AC2+BC2＝AB2，
所以BC⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，BC⊂面ABCD，
所以PA⊥BC，
因为PA∩AC＝A且都在面PAC，
所以BC⊥平面PAC；
（2）因为PA⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA⊥AB，则PA，AD，AB两两垂直，
如图，以A为原点，DA，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz：
则A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），，
所以，，，
设平面CDE的法向量为，
则，所以，即，
令x＝1，则z＝2，
所以平面CDE的法向量为，
设平面CBE的法向量为，
则，所以，即，
令m＝1，则p＝2，n＝1，
所以平面CBE的法向量为，
所以|cs＜，＞|＝||＝||＝＝，
因为二面角D﹣EC﹣B为钝角，
所以二面角D﹣EC﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
17．（15分）记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，Sn+an＝2，an+bn＝2bn+1，Sn+an＝2，an+bn＝2bn+1，2S3＝T2．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设，记{cn}的前n项和为Qn，若对任意n∈N*，n∈N*，Qn＜m，求整数m的最小值．
【答案】（1），；
（2）3．
【分析】（1）由已知Sn+an＝2，可得an，an﹣1 的关系，从而可得数列{an}是等比数列，求出通项公式；由an+bn＝2bn+1，将an代入，可得{2n﹣1bn}为等差数列，再由Sn+an＝2，an+bn＝2bn+1，2S3＝T2可得bn的通项公式．
（2）由（1），将an，bn的通项公式代入cn，从而得到Qn，求出整数m的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2﹣an﹣（2﹣an﹣1）＝an﹣1﹣an，
所以，
又当n＝1时，S1+a1＝2，所以a1＝1，
故数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以，
因为，所以，即，
故数列{2n﹣1bn}是公差为1的等差数列，
所以2n﹣1bn＝b1+n﹣1，即，
因为Sn+an＝2，an+bn＝2bn+1，2S3＝T2，而，所以，
所以b1＝2，；
（2）依题意，，
当n≤4时，，
当n≥5时，因为，
所以，
其中，当n→+∞时，，∴，Qn无限接近，
所以整数m的最小值为3．
【点评】本题考查等差，等比数列的通项公式，以及裂项相消法数列求和，属于中档题．
18．（17分）设P为抛物线C：x2＝4y准线上的一个动点，过P作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）当直线AB斜率不为0时，直线AB交C的准线于M，设Q为线段AB的中点，求△QPM面积的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【分析】（1）由题意，设直线AB：y＝kx+m，，，表示点A处，点B处的切线方程，根据两个切线方程联立求出点P，再将直线AB与抛物线方程联立，结合韦达定理得出结果；
（2）求出点M，点Q的坐标，表示面积函数，利用导数求函数的最值得出结果．
【解答】解：（1）证明：不妨设直线AB的方程为y＝kx+m，
联立，消去y并整理得x2﹣4kx﹣4m＝0，
由韦达定理得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，
不妨设，，
因为y＝，
可得，
则点A处的切线斜率为，
所以点A处的切线方程为，
即，①
同理可得点B处的切线方程为，②
联立①②，
解得，
此时，
即x1x2＝﹣4m＝﹣4，
解得m＝1，
故直线AB过定点（0，1）；
（2）由（1）知，直线AB的方程为y＝kx+1（k≠0），
又x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
所以P（2k，﹣1），Q（2k，2k2+1），
将y＝﹣1代入直线AB的方程中，
解得，
即，
易知点Q到直线y＝﹣1的距离d＝2k2+2，
所以△QPM的面积，
不妨设k＞0，
此时，
不妨设，函数定义域为（0，+∞），
可得，
所以当时，f（k）取得极小值，也是最小值，最小值，
故△QPM面积的最小值为．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（17分）已知函数f（x）＝（1+x）r﹣rx﹣1（x＞﹣1），r＞0且r≠1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）当n∈N*时，证明：．
【答案】（1）答案见解析；
（2），理由见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）分析题意，根据参数的不同范围，含参利用导数讨论单调性即可；
（2）根据（1）可知，当0＜r＜1时，（1+x）r＜rx+1，（x≠0），代值进行比较即可；
（3）设g（x）＝x﹣sinx（x＞0），则g′（x）＝1﹣csx≥0，分不同情况讨论，利用放缩法结合裂项相消法证明不等式即可．
【解答】解：（1）易知f′（x）＝r[（1+x）r﹣1﹣1]．
①0＜r＜1，
当﹣1＜x＜0时，（1+x）r﹣1＞（1+x）0＝1，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣1，0）上单调递增，
当x＞0时，（1+x）r﹣1＜（1+x）0＝1，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②r＞1，
当﹣1＜x＜0时，（1+x）r﹣1＜（1+x）0＝1，即f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣1，0）上单调递减，
当x＞0时，（1+x）r﹣1＞（1+x）0＝1，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上所述，当0＜r＜1时，f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当r＞1时，f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
（2）由（1）可知，当0＜r＜1时，（1+x）r＜rx+1，（x≠0），
取，，则有，
即，所以．
证明：（3）设g（x）＝x﹣sinx（x＞0），则g′（x）＝1﹣csx≥0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，
即当x＞0时，x＞sinx，
结合（1）可知，，
当n＝1时，成立，
当n≥2时，因为，
所以
，
即，
综上所述，．
【点评】本题主要考查利用导数证明不等式和合理运用放缩法，以及利用裂项相消法求和，所以难题．
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