上海市华东师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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2024.4
一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 已知扇形的圆心角为，半径为2厘米，则扇形面积是______平方厘米
【答案】##
【解析】
【分析】由扇形的面积公式计算即可.
【详解】由题意可得，
所以扇形面积是平方厘米.
故答案为：.
2. 已知，且是第三象限的角，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】若，且是第三象限的角，
则.
故答案为：
3. 已知，且，则实数的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用向量加法的坐标运算公式及向量共线的坐标公式即可解得.
【详解】,
又，
，
故答案为：2.
4. 在△中，，则△的外接圆的半径为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可.
【详解】由余弦定理可知，
所以，
则△的外接圆的半径为.
故答案为：.
5. 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：
小网格的边长为1，从而，
所以，从而，
所以.
故答案为：.
6. 已知角的终边与单位圆交于点，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数定义，求得，结合诱导公式，即可求解.
【详解】由题意，根据三角函数的定义，可得，又由.
故答案为：.
7. 在中，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义计算即得.
【详解】在中，，
所以.
故答案为：
8. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记，则______.

【答案】
【解析】
【分析】由面积比求得，结合二倍角公式即可得解.
【详解】以直角边，为直径的半圆的面积分别为：，，
由面积之比为得：，即，
在中，
故可得.
故答案为：.
9. 已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先解出函数的单调区间，再列不等式组解出实数的取值范围即可.
【详解】由函数图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
若在上单调递减，在上单调递增，
则，解得.
故答案为：.
10. 在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为______.
【答案】2023
【解析】
【分析】由已知可利用余弦定理转化为新关系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的边角互化思想就可得到结果.
详解】因为，
由余弦定理得，
所以，
所以
，
故答案为：2023.
11. 平面向量满足，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用设出坐标，由向量的坐标运算及模长公式解方程可得.
【详解】由可知，
不妨设
又因为，可得；
又，即，解得.
故答案为：
12. 已知，且，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据商数关系将整理成，借助诱导公式和函数的单调性可得，设，则可将转化为二次函数求最值问题，根据函数的单调性即可求.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
因，故，
则，
因函数，均在上单调递增，
则函数在上单调递增，
故有：，
设，其中，
则
当且仅当时取等号，
则此时，故，
又函数在时单调递减，在时单调递增，
而，
故当时，取到最大值，此时，．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用同角三角函数基本关系式和三角函数的单调性，将求的最大值问题转化成求函数在的最大值.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 函数是
A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为偶函数D. 最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：=，所以，又，函数为奇函数．
考点：二倍角公式，诱导公式．
14. 已知向量，，则下列结论：
①.若，则
②.若，则
③.若与的夹角为，则
其中正确结论的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示判断①，根据数量积的坐标表示判断②，首先求出、，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律判断③.
【详解】向量，，
若，则，解得，故①正确；
若，则，解得，故②正确；
因为，，
若与的夹角为，则，
故，故③错误.
故选：B
15. 已知，关于该函数有下面两种说法，
①当时，的取值范围为
②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到.
下列判断正确的是（ ）
A. ①正确，②正确B. ①正确，②错误；
C. ①错误，②正确D. ①错误，②错误；
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数值域的求解方法，以及平移规律，即可判断选项.
【详解】，
对于①，当时，，可得，可得取值范围为，故①错误；
对于②，向右平移个单位长度得到，故②正确
故选：C
16. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】针对实际问题建模转化为圆的弧长与圆心角、半径之间的关系，就圆心角的范围进行分类,借助于直角三角形计算即得.
【详解】当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为，
车轮转过的角度为点的初始位置为，设车轮的中心为，当
时，作，垂足为，如图，
则到铁轨表面的距离为；
当时，，作，垂足为，如图，
则，
到铁轨表面的距离为；
当在其它范围均可得到，点到铁轨上表面的距离为.
故选:B.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知为钝角，且
（1）求的值
（2）求的值
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值；
（2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求.
【小问1详解】
【小问2详解】
由题意可知
，
，
.
18. 如下图，是线段外一点，是线段的垂直平分线上的动点
（1）若，求
（2）求
【答案】（1）16； （2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出，利用数量积定义即可求；
（2）建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求.
【小问1详解】
由题意知，
.
【小问2详解】
以所在的轴为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图：
则设，
因为，
所以，解得
所以，
所以.
19. 设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且.对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）
（1）若的面积为，求的大小
（2）当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理表示，再根据等边三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，表示四边形的面积，结合三角恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解函数的最大值.
【小问1详解】
设，在中，由余弦定理得：
；
【小问2详解】
于是，四边形的面积：
，
因为，则，所以当，时，
四边形的面积取得最大值，最大值为．
20. 已知
（1）某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：
请填写表中的空格，并写出函数的表达式
（2）若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合；
（3）对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得
【答案】（1）表格见解析，；
（2）或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可不全表格数据，并求函数的解析式；
（2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点；
（3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明.
【小问1详解】
由表格数据可知，，得，，，
所以，，
由时，，可知，，
所以由时，，
补全表格如下：
【小问2详解】
将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数或
则函数的零点所组成的集合为或；
【小问3详解】
要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得
即
则存在无穷多个互不相等的正整数，使得
21. 定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为
（1）设，求证：
（2）已知且，是函数的“对应向量”，，求
（3）已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证；
（2）化简函数，得到，进而求得的值；
（3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为，
根据题意，可得函数对应的向量为，
又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以；
【小问2详解】
由函数
，
因为，所以，
又因为，所以，
可得.
【小问3详解】
由函数
，其中，
因为在处取得最大值，所以，
即，此时，
令，可得，
即，其中，
可得，解得，所以，
当时，；
当时，单调递减，；
当时，单调递减，.
综合可得的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解.0
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