江西省南昌市第五高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟；试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量.若，则实数（ ）
A. 1B. C. 9D.
2. 已知扇形面积为，半径是1，则扇形圆心角是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量与的夹角为，且，，则向量在向量上的投影数量为（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 已知点是的重心，则（ ）
A B.
C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A. B. 3C. D.
7. 若是三角形的最小内角，则函数的最小值是
A. B. C. 1D.
8. 已知向量，，函数.则下列关于的说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为B.
C. 函数的最小正周期为D. 在上单调递减
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）关于平面向量，下列说法中错误的是（ ）
A. 若且，则B.
C. 若，且，则D.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心
D. 若方程在上有且只有6个根，则
11. 引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的值域为__________．
13. 已知平面向量满足与的夹角为60°，若与的夹角为钝角，则满足条件的的取值范围为______.
14. 如图，在中，已知是的中点，，设与相交于点P，若，则___________，___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）化简；
（2）若是第二象限角，且，求的值.
16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.
17. 已知函数，xR.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值并指出此时的取值；
（3）若，求的值.
18. 已知函数的图象如图所示，点B，D，F为与x轴的交点，点C，E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值.
（1）求参数φ的值；
（2）若，求向量与向量夹角的余弦值；
（3）若点P为函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，恒成立，求A的取值范围.
19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有
可见也可以表示成的三次多项式．
（1）利用上述结论，求值；
（2）化简；并利用此结果求值；
（3）已知方程在上有三个根，记为，求证：.