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山西省朔州市多校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份山西省朔州市多校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含山西省朔州市多校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题原卷版docx、山西省朔州市多校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
下册第五~七章
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 数4的算术平方根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：，
算术平方根为2．
故选：．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
2. 如图，的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据题意得到．
【详解】由图可得，．
故选：D．
3. 下列各点位于第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、在第一象限，故本选项不符合题意；
B．在第二象限，故本选项不符合题意；
C．在第三象限，故本选项符合题意；
D．在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 如图，下列各角是的同旁内角的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不
【答案】B
【解析】
【分析】本题只要考查的是“三线八角”的基本定义，掌握其基本概念是解题的关键．
根据同旁内角的定义进行解题即可．
【详解】解：由图可知，是的同旁内角的是．
故选：B．
5. 如图，下列条件能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可以判定；
B、与不是直线、构成的内错角，不能判定；
C、与不是直线、构成的内错角，不能判定；
D、与不是直线、构成的内错角，不能判定；
故选：A．
6. 公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示． 后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机． 这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（ ）
A. 正数B. 负数C. 有理数D. 无理数
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．根据平方根的定义，得出x的值，即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，为无理数，
故选：D．
7. 下列命题中，真命题有（ ）
①不是无理数；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③相等的两个角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假，熟记相关结论即可.
【详解】解：①是无理数，故①错误；
②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；故②错误；
③对顶角相等，相等的两个角不一定是对顶角；故③错误；
④过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故④错误；
故选：A ．
8. 一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据平方根的定义可知，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴这个正数为，
故选：D．
9. 如图，在长方形纸片中，，，按如图1所示的方式剪开后，将四边形平移，使恰好与重合（图2），若图1中，则图2中（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是对以上知识的熟练掌握．
根据图1和图2转换方法对应到图1中得出，再根据平行线性质即可求解；
【详解】∵，
∴，
∵，
∴
根据题意可得在图1中，
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示的方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点P第2024次运动到点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．
观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可．
【详解】解：点的运动规律是每运动四次向右平移四个单位，
，
∴动点第2024次运动时向右个单位，
∴点此时坐标为，即点坐标为，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 8的立方根为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴8的立方根是2，
故答案为：2．
12. 如图，，O是上的一点，直线与的夹角，若要使，则直线绕点O按逆时针方向至少旋转________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记相关结论可得，即可求解；
【详解】解：若，
则，
∵
∴直线绕点O按逆时针方向至少旋转
故答案为：
13. 如图，有一只小虫子从点A水平向右爬行4个单位长度到达点，则m________n．（填“”“”或“”）
【答案】=
【解析】
【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
【详解】∵小虫从点出发，向右爬行4个单位长度到达点处，
∴点的坐标是，即．
故，
即，
故答案为：=．
14. 如图1，这是一款便携式折叠椅，图2为其截面示意图．若，，，则________．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质，首先根据平行线的性质得到，然后求出，然后利用邻补角互补求解即可．
【详解】∵，，
∴
∴
∴．
故答案为：40．
15. 我们知道，在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图，这是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令为“相交”，最后输出口令为“平行”．按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为________．
【答案】数学
【解析】
【分析】本题考查坐标平移，根据题意得出平移方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可．
【详解】解：由输入数字密码，，对应中转口令为“相交”，最后输出口令为“平行”可得：先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴若输入数字密码，，
对应中转口令为“文化”，最后输出口令为“数学”，
故答案为：数学．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）将下列各数按从小到大的顺序用“”号连接起来．
，，，2，．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和立方根，实数的大小比较；
（1）先计算算术平方根和立方根，再想加减即可；
（2）根据正数大于零，负数小于零，即可进行比较求解．
【详解】解：（1）
．
（2）．
17. 如图，，，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是对以上知识的熟练掌握．
根据两直线平行同旁内角互补和两直线平行内错角相等，解答即可．
【详解】解：，
．
，
．
，
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1．
（1）点A，B的坐标分别为________，________．
（2）作出点．
（3）在（2）的条件下，D为y轴左侧一点，且，，则点D的坐标为________．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系．
（1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标；
（2）根据平面直角坐标系作出点
（3）根据平面直角坐标系即可求出点D的坐标．
【小问1详解】
解：点A，B的坐标分别为，
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
由平面直角坐标系可得
∵，
∴点D的坐标为
19. 如图，直线分别交于G，H两点，平分，于点H，且，．
（1）求的大小．
（2）猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定、角平分线的定义，理解同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
（1）根据对顶角相等可得，再根据平分即可求解；
（2）根据条件可证明，即可求解．
【小问1详解】
解：，
．
平分，
．
【小问2详解】
．
理由：，
，
．
，
，
，
，
．
20. 为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根实际应用，设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为得到，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可．
【详解】解：设长方形的宽为，则长为．
依题意，得，
整理，得，解得（负值已舍去）．
∵正方形卡片的面积为，
∴正方形卡片的边长为．
，
正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
21. 阅读与思考
下面是莉莉同学的数学学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中的依据1是指：________________，依据2是指：________________．
（2）根据材料提供的方法，直接写出拓展应用的结果．
【答案】（1）若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等．
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理作出辅助线是解本题的关键．
（1）根据平行公理好平行线的性质解答即可；
（2）过点H作，根据第（1）问的思路解得即可．
【小问1详解】
材料中依据1是指：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；
依据2是指：两直线平行，内错角相等
【小问2详解】
过点H作
∴
∴
22. 综合与实践
在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地．
数学思考：（1）求图1中草地的面积．
深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题
①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键．
（1）结合图形，利用面积公式求解即可；
（2）结合图形，利用平移的性质求解；
（3）结合图形，利用平移的性质求解．
【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)；
故答案为：；
（2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：(平方米)；
（3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线(图中虚线)长为：(米)．
故答案：．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）若将线段平移，使点A与点重合，点B与点D重合，则点D的坐标为________．
（2）将线段平移，使点A落在y轴正半轴上的点E处，点B与第一象限内的点F重合，连接，且．
①求点E，F的坐标．
②若在y轴上有一动点P，使得，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①，；②点P的坐标为或
【解析】
【分析】该题主要考查了平面直角坐标系中的图形和性质，点平移规律等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意确定线段平移方式，即可解答；
（2）①连接OF，设点．确定出点，在根据，解得，即可解答；
②设点P的坐标为，则．根据，，列等式即可求解；
【小问1详解】
解：根据点平移后点重合，
故线段平移方式为向右平移5个单位，向上平移4个单位，
∴点向右平移5个单位，向上平移4个单位为，
故答案为：．
【小问2详解】
①如图，连接OF，设点．
点E在y轴上，点F在第一象限内，
线段先向右平移4个单位长度，再向上平移m个单位长度，
点，
则
．
，
，
解得，
点，．
②设点P的坐标为，则．
，，
，
，
解得或，
点P的坐标为或．
8
邻
补
垂
同
人
务
教
版
7
直
平
线
分
义
育
数
爱
6
二
次
根
号
语
物
角
理
5
相
木
条
可
问
文
位
学
4
流
程
行
发
现
过
程
点
3
素
养
以
重
难
目
化
标
2
模
交
互
心
中
特
殊
情
1
况
型
插
图
即
为
所
求
1
2
3
4
5
6
7
8
课题
山西省景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算
图示
相关数据及说明
正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为．
计算结果
……
“猪蹄模型”巧解复杂题目
观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形抽象地称为“猪蹄模型”．猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，，E为之间的一点，连接，可以得到．
证明：如图2，过点E作．
，（依据1），
（依据2），，
．
拓展应用：如图3，，平分，将线段沿方向平移至．若，平分，求的大小．
下册第五~七章
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 数4的算术平方根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】解：，
算术平方根为2．
故选：．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
2. 如图，的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据题意得到．
【详解】由图可得，．
故选：D．
3. 下列各点位于第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、在第一象限，故本选项不符合题意；
B．在第二象限，故本选项不符合题意；
C．在第三象限，故本选项符合题意；
D．在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 如图，下列各角是的同旁内角的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不
【答案】B
【解析】
【分析】本题只要考查的是“三线八角”的基本定义，掌握其基本概念是解题的关键．
根据同旁内角的定义进行解题即可．
【详解】解：由图可知，是的同旁内角的是．
故选：B．
5. 如图，下列条件能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可以判定；
B、与不是直线、构成的内错角，不能判定；
C、与不是直线、构成的内错角，不能判定；
D、与不是直线、构成的内错角，不能判定；
故选：A．
6. 公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示． 后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机． 这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（ ）
A. 正数B. 负数C. 有理数D. 无理数
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．根据平方根的定义，得出x的值，即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，为无理数，
故选：D．
7. 下列命题中，真命题有（ ）
①不是无理数；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③相等的两个角是对顶角；④过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假，熟记相关结论即可.
【详解】解：①是无理数，故①错误；
②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；故②错误；
③对顶角相等，相等的两个角不一定是对顶角；故③错误；
④过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故④错误；
故选：A ．
8. 一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据平方根的定义可知，解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴这个正数为，
故选：D．
9. 如图，在长方形纸片中，，，按如图1所示的方式剪开后，将四边形平移，使恰好与重合（图2），若图1中，则图2中（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是对以上知识的熟练掌握．
根据图1和图2转换方法对应到图1中得出，再根据平行线性质即可求解；
【详解】∵，
∴，
∵，
∴
根据题意可得在图1中，
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示的方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点P第2024次运动到点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．
观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可．
【详解】解：点的运动规律是每运动四次向右平移四个单位，
，
∴动点第2024次运动时向右个单位，
∴点此时坐标为，即点坐标为，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 8的立方根为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴8的立方根是2，
故答案为：2．
12. 如图，，O是上的一点，直线与的夹角，若要使，则直线绕点O按逆时针方向至少旋转________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记相关结论可得，即可求解；
【详解】解：若，
则，
∵
∴直线绕点O按逆时针方向至少旋转
故答案为：
13. 如图，有一只小虫子从点A水平向右爬行4个单位长度到达点，则m________n．（填“”“”或“”）
【答案】=
【解析】
【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
【详解】∵小虫从点出发，向右爬行4个单位长度到达点处，
∴点的坐标是，即．
故，
即，
故答案为：=．
14. 如图1，这是一款便携式折叠椅，图2为其截面示意图．若，，，则________．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质，首先根据平行线的性质得到，然后求出，然后利用邻补角互补求解即可．
【详解】∵，，
∴
∴
∴．
故答案为：40．
15. 我们知道，在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图，这是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，，对应中转口令为“相交”，最后输出口令为“平行”．按此方法，若输入数字密码，，则最后输出口令为________．
【答案】数学
【解析】
【分析】本题考查坐标平移，根据题意得出平移方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可．
【详解】解：由输入数字密码，，对应中转口令为“相交”，最后输出口令为“平行”可得：先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴若输入数字密码，，
对应中转口令为“文化”，最后输出口令为“数学”，
故答案为：数学．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）将下列各数按从小到大的顺序用“”号连接起来．
，，，2，．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和立方根，实数的大小比较；
（1）先计算算术平方根和立方根，再想加减即可；
（2）根据正数大于零，负数小于零，即可进行比较求解．
【详解】解：（1）
．
（2）．
17. 如图，，，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是对以上知识的熟练掌握．
根据两直线平行同旁内角互补和两直线平行内错角相等，解答即可．
【详解】解：，
．
，
．
，
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1．
（1）点A，B的坐标分别为________，________．
（2）作出点．
（3）在（2）的条件下，D为y轴左侧一点，且，，则点D的坐标为________．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系．
（1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标；
（2）根据平面直角坐标系作出点
（3）根据平面直角坐标系即可求出点D的坐标．
【小问1详解】
解：点A，B的坐标分别为，
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
由平面直角坐标系可得
∵，
∴点D的坐标为
19. 如图，直线分别交于G，H两点，平分，于点H，且，．
（1）求的大小．
（2）猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定、角平分线的定义，理解同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
（1）根据对顶角相等可得，再根据平分即可求解；
（2）根据条件可证明，即可求解．
【小问1详解】
解：，
．
平分，
．
【小问2详解】
．
理由：，
，
．
，
，
，
，
．
20. 为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根实际应用，设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为得到，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可．
【详解】解：设长方形的宽为，则长为．
依题意，得，
整理，得，解得（负值已舍去）．
∵正方形卡片的面积为，
∴正方形卡片的边长为．
，
正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
21. 阅读与思考
下面是莉莉同学的数学学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中的依据1是指：________________，依据2是指：________________．
（2）根据材料提供的方法，直接写出拓展应用的结果．
【答案】（1）若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等．
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理作出辅助线是解本题的关键．
（1）根据平行公理好平行线的性质解答即可；
（2）过点H作，根据第（1）问的思路解得即可．
【小问1详解】
材料中依据1是指：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行；
依据2是指：两直线平行，内错角相等
【小问2详解】
过点H作
∴
∴
22. 综合与实践
在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地．
数学思考：（1）求图1中草地的面积．
深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题
①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．
【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键．
（1）结合图形，利用面积公式求解即可；
（2）结合图形，利用平移的性质求解；
（3）结合图形，利用平移的性质求解．
【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)；
故答案为：；
（2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：(平方米)；
（3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线(图中虚线)长为：(米)．
故答案：．
23. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）若将线段平移，使点A与点重合，点B与点D重合，则点D的坐标为________．
（2）将线段平移，使点A落在y轴正半轴上的点E处，点B与第一象限内的点F重合，连接，且．
①求点E，F的坐标．
②若在y轴上有一动点P，使得，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①，；②点P的坐标为或
【解析】
【分析】该题主要考查了平面直角坐标系中的图形和性质，点平移规律等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意确定线段平移方式，即可解答；
（2）①连接OF，设点．确定出点，在根据，解得，即可解答；
②设点P的坐标为，则．根据，，列等式即可求解；
【小问1详解】
解：根据点平移后点重合，
故线段平移方式为向右平移5个单位，向上平移4个单位，
∴点向右平移5个单位，向上平移4个单位为，
故答案为：．
【小问2详解】
①如图，连接OF，设点．
点E在y轴上，点F在第一象限内，
线段先向右平移4个单位长度，再向上平移m个单位长度，
点，
则
．
，
，
解得，
点，．
②设点P的坐标为，则．
，，
，
，
解得或，
点P的坐标为或．
8
邻
补
垂
同
人
务
教
版
7
直
平
线
分
义
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数
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6
二
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号
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角
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5
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木
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可
问
文
位
学
4
流
程
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3
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以
重
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标
2
模
交
互
心
中
特
殊
情
1
况
型
插
图
即
为
所
求
1
2
3
4
5
6
7
8
课题
山西省景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算
图示
相关数据及说明
正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为．
计算结果
……
“猪蹄模型”巧解复杂题目
观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形抽象地称为“猪蹄模型”．猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，，E为之间的一点，连接，可以得到．
证明：如图2，过点E作．
，（依据1），
（依据2），，
．
拓展应用：如图3，，平分，将线段沿方向平移至．若，平分，求的大小．
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