【三轮冲刺】2024年高考数学新结构模拟卷（一）.zip

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12
13 /
14
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出角；
（2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出，进而求出周长.
【详解】（1）由，得
由正弦定理，得．
．
．
又，
．
又，
．
又，
．
（2）由（1）知，
①
又，故，
，②
又，
由①②，得，故，
∴，
故，周长为.
16．（满分15分）
【答案】(1)
(2)点为的中点
【分析】（1）由题设条件建系，表示出相关点，分别计算坐标和平面的法向量坐标，利用线面所成角的空间向量计算公式即得；
（2）在原有坐标系中，设出参数表示出点的坐标，分别计算平面与平面的法向量，利用面面所成角的空间向量计算公式列出方程解之即得.
【详解】（1）
如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则
于是，,设平面的法向量为，
则
故可取.设直线与平面所成角为，
则
即直线与平面所成角的正弦值是.
（2）
如图，设，，则，因，故，解得：，
则,设平面的法向量为，
则故可取.
又,设平面的法向量为，
则故可取.
设平面与平面的夹角为，则，
解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为.
17．（满分15分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出即可;
（2）错位相减后得到结果，再用错位相减法进行计算，即可求解.
【详解】（1）设，
由题意得，即，解得或（舍去）
.
（2）由（1）可得，
则，①
可得：，②
①-②可得：，
设.③
，④
③-④可得：
，
则，
，
.
18．（满分17分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可；
（2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明.
【详解】（1）的定义域为，.
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为，解得.
经验证符合题意，故实数a的值为.
（2）当时，，故要证，即证.
令，则，.
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证.
19．（满分17分）
【答案】(1)证明见解析
(2)不可信
【分析】（1）利用马尔科夫不等式的证明示例证明即可；
（2）由题意可知治愈的人数为服从二项分布，由二项分布计算均值与方差，再结合切比雪夫不等式说明即可.
【详解】（1）法一：对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式，
有．
法二：设的分布列为
其中，记，则对任意，
.（2）设在100名患者中治愈的人数为．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下，．
由切比雪夫不等式，有．
即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
C
C
A
D
D
序号
9
10
11
答案
BC
ABD
ABD