【三轮冲刺】高考数学专题06 数列中的新定义问题（强化突破）（新高考新题型）.zip

这是一份【三轮冲刺】高考数学专题06 数列中的新定义问题（强化突破）（新高考新题型）.zip，文件包含三轮冲刺高中数学专题06数列中的新定义问题强化训练解析版docx、三轮冲刺高中数学专题06数列中的新定义问题强化训练原题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。

新定义题目简介
题型特点
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
解题策略
求解“新定义”题目，主要分如下几步：
对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；
对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。
1．已知有限数列，若满足，m是项数，则称满足性质.
(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质，请说明理由；
(2)若数列是，公比为的等比数列，项数为10，且具有性质，求的取值范围.
【答案】(1)数列3，2，5，1满足，数列4，3，2，5，1不满足，理由见解析
(2)
【分析】（1）结合题设中的性质的定义，即可判断两个数列是否满足性质；
（2）等比数列具有性质等价于对任意的，恒成立，对分类讨论后，即可求解.
【详解】（1）因为，所以数列3，2，5，1满足性质，
，所以数列4，3，2，5，1不满足性质；
（2）由题意可得，，
，，两边平方得，
整理得，（*）
当时，得，此时关于恒成立，
所以等价于时，，所以，
所以或，所以取；
当时，，，
得，此时关于（*）恒成立，
所以等价于时，，所以，
所以，所以取，
当时，，
当为奇数时，，，则（*）成立，
当为偶数时，，，则（*）不成立，
所以当时，不符合题意，舍去；
当时，，
若为奇数时，，，则（*）成立，
若为偶数时，，要使（*）恒成立，即使恒成立，
即当时恒成立，解得或，所以取，
综上，
【点睛】关键点点睛：本题以数列为背景的存在性问题的证明，关键是理解题意，由变形得到不等式成立的条件，再讨论后即可求解.
2．基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
【答案】(1)最小项为
(2)数列具有性质，理由见解析．
(3)证明见解析
【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；
（2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②；
（3）结合二项式定理及n元基本不等式求解.
【详解】（1），当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
（2）数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
（3）先证数列满足条件①：
．
当时，
则，
数列满足条件①．
再证数列满足条件②：
（，等号取不到）
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列.
3．在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的．
(1)试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？
(2)设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值；
(3)证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的．
【答案】(1)不是
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）取数列，结合题中定义验证可得出结论；
（2）由，得，进而，讨论①当时和②当，分别求得；
（3）设，令，，得，再利用定义证明、对前项之积都是封闭的．
【详解】（1）解：不是的，理由如下：
如等差数列，
所以不是任意一个无穷等差数列对前项之积是封闭的．
（2）解：是等比数列，其首项，公比，
所以，
所以，
由已知得，对任意正整数，总存在正整数，使得成立，
即对任意正整数，总存在正整数，
使得成立，
即对任意正整数，总存在正整数，使得成立，
①当时，得，所以；
②当时，得，
且，
综上，或.
（3）解：对任意的无穷等比数列，，
令，，则，
下面证明：是对前项之积是封闭的．
因为，所以，
取正整数得，，
所以对前项之积是封闭的，
同理证明：也对前项之积是封闭的，
所以对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，
使得，其中和对前项之积都是封闭的．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
4．对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．
①求q的取值范围；
②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”
【答案】(1)符合条件；
(2)①；②证明见解析.
【分析】（1）直接利用定义判断结论是否成立；
（2）①，根据的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，求q的取值范围；
②要证数列符合“条件”，只要证，构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，由条件只要证即可.
【详解】（1）公差为2的等差数列，设，
由，所以公差为2的等差数列符合条件．
（2）①首项为1，公比为q的正项等比数列，，
对恒成立，
若，则，符合．
若，数列单调递增，不妨设，
，，
设，由（*）式中的m，n任意性得数列不递增，
，，
但当，，矛盾．
若，则数列单调递减，不妨设，
，即，
设，由（**）式中m，n的任意性得，数列不递减，
，，
时，单调递增，
，，，
综上，公比q的取值范围为．
②：由①得，，，
当时，，要存在使得，只需即可；
当时，要证数列符合“条件”，
只要证存在，使得，，
不妨设，则只要证：，
只要证：，
设，由m，n的任意性，不递减，
只要证，
只要证：，，
，存在上式对成立．
存在正数使数列符合条件．
【点睛】关键点点睛：在判断数列是否符合“条件”时，分类讨论，根据的单调性去掉绝对值，通达构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，研究此数列不递减的条件即可.
5．设正整数，有穷数列满足，且，定义积值
(1)若时，数列与数列的S的值分别为，
①试比较与的大小关系；
②若数列的S满足，请写出一个满足条件的
(2)若时，数列存在使得，将，分别调整为，，其它2个，令数列调整前后的积值分别为，写出的大小关系并给出证明；
(3)求的最大值，并确定S取最大值时所满足的条件，并进行证明.
【答案】(1)①②（答案不唯一）
(2)，证明见解析
(3)的最大值为1，当且仅当时，取到最大值，证明见解析
【分析】（1）①根据定义求出两个积值，比较大小；②只要写出满足条件的一个解就可以了，注意限制条件；
（2）根据调整，对两个积值做差，根据限制条件可比较大小；
（3）利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）①依题意可得，，所以；
②不妨令为（答案不唯一），则，
因为，，符合题意.
（2）；
证明：不妨设，则；
则；
所以
；
所以；
（3）的最大值为1，当且仅当时，取到最大值.
证明：因为，且；
所以；
当且仅当时，等号成立.
【点睛】关键点点睛：对于新定义类问题解题关键在于理解新定义，第三问的关键是利用基本不等式.
6．若数列满足：存在和，使得对任意和，都有，则称数列为“数列”；如果数列满足：存在，使得对任意，都有，则称数列为“数列”；
(1)在下列情况下，分别判断是否“数列”，是否“数列”？①，，；②，；
(2)若数列，是“数列”，其中且，求的所有可能值；
(3)设“数列”和“数列”的各项均为正数，定义分段函数，如下：记为“不超过的最大正整数”，证明：若是周期函数，则是“数列”.
【答案】(1)①是“数列”，不是“数列”；②是“数列”也是“数列”
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）列举出①②中两个数列，结合“数列”、“数列”的定义判断可得出结论；
（2）分、、三种情况讨论，在第一种情况下，利用不等式的基本性质结合“数列”的定义验证即可，在第二种情况下，推导出的符号交替变化可得出结论，在第三种情况下，利用反证法推出矛盾，综合可得结果；
（3）设的周期为，假设不是“数列”，利用反证法推出矛盾，可证得对任意，都有为常数列，由此可证得结论成立.
【详解】（1）解：对于①，，，，
则数列的各项分别为：、、、、、、，
所以，，且，
故数列是“数列”，不是“数列”；
对于②，，，
则数列的各项分别为：、、、、、，
当时，，此时，数列是“数列”，也是“数列”.
（2）解：①若，则且，合题意.
③若，则且.
因为，所以数列的符号正负交替变化.不合题意.
④若，
首先，数列中不可能出现连续两项为.
（否则前一项为，依此类推，之前各项均为，不合条件）
假设是“数列”，则存在，对任意，都有或都有.
若都有，则，，出现矛盾；
若都有，则，，也出现矛盾；
故不是“数列”.
综上，.
（3）解：设的周期为（注意，不能确定，感觉是对的，似乎很难证.）
由题，存在和，对任意和，有，单调不减.
假设不是“数列”，则存在，使得.
以下推导矛盾：
对任意，数列是周期数列，必有最大值，设是最大值，其中.
一方面，因为的周期为，所以存在，使得.
另一方面，，与矛盾.
所以假设不成立，即对任意，都有为常数列.
所以是“数列”.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
7．若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
【答案】(1)数列不满足性质P；数列满足性质P，理由见解析
(2)证明见解析
(3)或．
【分析】（1）根据题意分析判断；
（2）根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集；
（3）先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断.
【详解】（1）对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
（3）设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
【点睛】关键点点睛：（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；
（2）对于周期数列满足性质，证明思路：先逐步缩小精确的取值可能，再检验判断.
8．由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i），；（ii）存在，，
【分析】（1）根据得到，计算，，得到答案.
（2）根据得到，计算，，确定，利用错位相减法得到，变换得到，根据数列的单调性计算最值得到答案.
【详解】（1），则，即，
解得，
则，，，
，
故.
（2）（i），，
故，，
.
（ii），
，
，
故，
故，
，即，取验证不成立，
整理得到，，
当时，，不成立；当时，；当时，；
现说明当时不成立：
设，，，则，，
故单调递增，，
设，，，，，
故单调递减，，，，，
故时，不成立，
综上所述：使成立的所有的正整数对为，.
【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义问题，数列求和，数列的单调性问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将定义中的新知识转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想是考查的重点，需要熟练掌握.
9．已知等差数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．
（说明：）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）采用分组求和和裂项相消法可求得，由取整运算定义可得，分类讨论可求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
则当时，；当时，；
当时，；
综上所述：.
10．已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明：；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
【答案】(1)数列和数列3，1
(2)证明见解析
(3)的最大值为512072
【分析】（1）根据k减数列的定义，即可写出答案；
（2）根据存在的6减数列，可得，即，继而分类讨论n的取值，说明每种情况下都有，即可证明结论；
（3）分类讨论数列中的项的情况，结合题意确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解，即可得答案.
【详解】（1）由题意得，则或，
故所有4的1减数列有数列和数列3，1.
（2）因为对于，使得的正整数对有个，
且存在的6减数列，所以，得.
①当时，因为存在的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以.
②当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以.
③当时，因为存在的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以.
综上所述，若存在的6减数列，则.
（3）若数列中的每一项都相等，则，
若，所以数列存在大于1的项，
若末项，将拆分成个1后变大，
所以此时不是最大值，所以.
当时，若，交换的顺序后变为，
所以此时不是最大值，所以.
若，所以，
所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大，
所以此时不是最大值，所以.
若数列A中存在相邻的两项，设此时中有项为2，
将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为，
所以此时不是最大值，
所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式.
设其中有项为2，有项为1，
因为存在2024的减数列，所以，
所以，
所以，当且仅当时，取最大值为512072.
所以，若存在2024的减数列，的最大值为512072.
【点睛】难点点睛：本题考查数列新定义问题，解答时要理解新定义的含义，并由此依据定义去解答问题，难点在于第3问中求参数的最大值问题，要分类讨论，确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解.
11．已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或
(1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”；
(2)己知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数；
(3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．
【答案】(1)；；；.
(2)11个
(3)37
【分析】（1）根据相邻数列的概念直接求解即可；
（2）任取的一个“相邻数列”，根据相邻数列的概念可得且，对于的取值分情况讨论，利用为递增数列可得是公差为1的等差数列，列不等式组求解即可；
（3）令可得对任意，设，证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，进而根据定义求解即可.
【详解】（1）根据“相邻数列”的概念可知，，
或，或，
所以的所有“相邻数列”有；；；.
（2）任取的一个“相邻数列”，
因为或，
或，
所以有且，
对于的取值分以下4种情形：
（a），
（b），
（c），
（d）
由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，
递增，，即，
由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列，
于是，则，即满足数列的有11个.
（3）令，所以对任意，
设，则且，
先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合．
若，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合，
因此，的分布只可能是如下三种情况：
（i），此时，对任意的，由得，
所以对任意的，注意到，所以，
等号当且仅当时取到；
（ii）存在整数，使得
对任意的，对任意的，所以
（iii）．此时，对任意的，与情形1类似，
对任意的，注意到，
所以，
综上，的最小值为．
【点睛】思路点睛：根据“相邻数列”的定义，按照或分类讨论不同情形，结合数列的定义求解即可.
12．设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”.
(1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由；
(2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列”
①求d的值和数列的通项公式：
②设，直接写出数列中最小的项.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)①，；②
【分析】（1）直接由“M数列”的定义进行判断即可.
（2）①由题意关于的方程即恒有正整数解，结合数论知识即可求解出；②由题意得，故当当时或当时，取最小值.
【详解】（1）数列不是“M数列”，理由如下：
∵，当时，，此时找不到，使得.
所以数列不是“M数列”.
（2）①是等差数列，且首项，公差，
则，
故对任意，总存在，使得成立，
则，其中为非负整数，
要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数，
又，所以，所以.
②∵，所以.
由的单调性知在为减函数，在为增函数，
当时，；当时，.
所以，当时，有最小值.即数列中最小的项为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是得到关于的方程恒有正整数解，由此得出，从而顺利得解.
13．若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：
(1)数列为等比数列；
(2)数列具有性质.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设，求出和，求出和的关系即可证明；
（2）由（1）求出，求出，设数列即可证明.
【详解】（1）设，则，
.
因此数列是首项为，公比为的等比数列，且；
（2）由（1），，所以，
取数列，则是等比数列，
并且，因此集合，
所以数列具有性质.
14．若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
【答案】(1)2；2；4
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）由数列具有性质的定义可得；
（2）由数列具有性质的定义和等差数列的定义可得.
（3）分、和三种情况讨论即得.
【详解】（1）由已知可得数列共有5项，所以，
当时，有，
当时，有，所以，
当时，有，所以，
（2）数列A具有性质，且为奇数，令，
可得，
设，
由于当时，存在正整数，使得，
所以这项均为数列A中的项，
且，
因此一定有
即，
这说明：为公差为的等差数列，再数列A具有性质，
以及可得，数列A为等差数列；
（3）当时，
设A：，，， ，，
由于数列具有性质，且满足，
由和，得，
当时，不妨设，此时：，，此时结论成立，
当时，同理可证，所以结论成立.
当时，不妨设，反例如下：
当时，不妨设，反例如下：
综上所述，符合题意.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
15．对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
【答案】(1)、均是周期数列，数列周期为1（或任意正整数），数列周期为6
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；
（2）由“同根数列”的定义求解即可；
（3）是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件,其次证明时存在数列满足条件．
【详解】（1）、均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．
因为，
所以．
所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．
（2）假设不成立，则有，即对于，都有．
因为，，所以．
又因为，，所以．
所以，
所以，与的最小值是3矛盾．
所以．
（3）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明时存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件，其次证明时存在数列满足条件．
16．对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.
(1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；
(2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；
(3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列；
（2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论；
（3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论.
【详解】（1）由题意，
各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为：
，，，
（2）由题意，
假设不存在使得成立，
根据数列定义可知，，
所以，则，
即，
所以，所以，这与已知矛盾，
故若此数列中存在使得，
则存在使得成立．
（3）由题意，
必要性：
，，，
则．
因为为单调递增数列，
所以对所有的，或，
否则．
因此，所有的同号或为，即，
所以为单调递增数列．
充分性：
因为为单调递增数列，，且，
所以只能，所以同号或为，
所以对所有的，或，
所以．
所以，即为单调递增数列．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性.
17．给定数列，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: ，，.
(1)判断数列 是否为“指数型数列” ? 若是，给出证明; 若不是，请说明理由;
(2)若 ，求数列的前 项和 .
【答案】(1)数列为指数型数列，证明见解析
(2)
【分析】（1）由可变形为，结合等比数列定义可得数列通项公式，验证是否有即可得；
（2）由数列通项公式可得数列的通项公式，代入即可得，运用裂项相消法求和即可得.
【详解】（1）由，两边同时除以 得，
所以，即，
且，
所以数列 是首项为2 ，公比为2的等比数列，
所以，
又，，
故，所以数列是指数型数列；
（2）由，有，
所以 ，
故，
所以.
18．已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P.
(1)判断下列数列是否具有性质P；
①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.
(2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
(3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)或
(3)存在，4045；一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045
【分析】（1）根据数列具有性质的定义进行判断即可求解.
（2）由具有性质，然后利用其性质对分奇偶进行讨论即可求解.
（3）根据具有性质，然后利用其性质分别对，分情况讨论，从而其存在最小值，即可求解.
【详解】（1）①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P.
②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P.
（2）对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数.
（i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以.
（ii）当为偶数时，都是偶数，所以.
所以.
时，在前项中任两项和的结果中未出现，
所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.
时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾.
时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立.
综上，或.
（3）存在最小值，且最小值为.
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以.
所以的值至少有个.
即的值至少有个，即.
数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件.
：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047，
考虑，根据等差数列的性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，
或者等于中的一个.
所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值.
即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值.
综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045.
【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列具有性质，根据其定义中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解.
19．已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
(2)若，证明：；
(3)设，若，求的最小值．
【答案】(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)8
【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；
（2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明；
（3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
【详解】（1）31是，1024不是，理由如下：
由题意可知，
当时，有，
显然若时，，
而，
故31是可表数，1024不是可表数；
（2）由题意可知若，即，
设，即使得，
所以，且成立，故，
所以若，则，
即中的元素个数不能超过中的元素，
对于确定的，中最多有个元素，
所以；
（3）由题意可设，使，
又，
所以，即，
而，
即当时，取时，为可表数，
因为，
由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，
使，
所以
，
令，则有，
设，
由的任意性，对任意的，
都有，
又因为，所以对于任意的，为可表数，
综上，可知的最小值为，其中满足，
又当时，，
所以的最小值为.
【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可.
20．设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．
【答案】(1)2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
(2)证明见解析
(3)12873．
【分析】（1）由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；
（2）讨论为偶数或奇数，结合新定义即可得证；
（3）在数列中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是的倍数，，讨论数列的项数超过8，推得数列的项数至多7项.讨论数列的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值.
【详解】（1）由不为整数，
可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；
数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，
则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
（2）证明：若为偶数，设，
考虑1，2，3，，这项，其和为.
所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；
若为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，，；
这项，其和为，
所以这项的算术平均数为：，
此数不是整数；
故数列：1，2，3，4，，不是“阶平衡数列”，其中；
（3）在数列中任意两项，，，
对于任意，在中任意取两项，，相异的项，
并设这项和为.由题意可得，都是的倍数，
即，，，为整数），可得，
即数列中任意两项之差都是的倍数，，
因此所求数列的任意两项之差都是2，3，，的倍数，
如果数列的项数超过8，
那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，
即，，，均为420的倍数，
为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），
，
即，这与矛盾，
故数列的项数至多7项.
数列的项数为7，
那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，
即，，，均为60的倍数，
为2，3，4，5，6的最小公倍数），
又，且，
所以，，，，
所以，
当且仅当，，，取得最大值12873；
验证可得此数列为“阶平衡数列”，，
如果数列的项数小于或等于6，由，
可得数列中所有项的之和小于或等于，
综上可得数列中所有元素之和的最大值为12873.
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力､推理能力，属于难题.
21．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为．
(2)
(3)①证明见解析；②假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列，理由见解析．
【分析】（1）求导得，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为当时，恒成立，求导得，然后分，以及讨论，即可得到结果；
（3）①根据题意，构造函数，求导可得在恒成立，即可证明；②根据题意，结合“源数列”以及“生成数列”的概念，然后假设存在，代入计算，即可得到方程无解，故不存在.
【详解】（1）当时，，，
令，则，解得或，
当时，；
当时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），
令，依题意，当时，恒成立，
由，得，，
又因为，所以，
当时，，所以在单调递增，
，不合题意；
当时，令，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递增，在单调递减．
若要使恒成立，则需，解得，
故此时；
当时，，
所以在单调递减，
所以，符合题意；
综上，实数a的取值范围为．
（3）①，，故，
构造函数，
，则
函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增，
故，即，，
当时，，
综上所述：恒成立，即．
②，则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，
故，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，无正整数解．
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题以及导数与数列的结合，难度较大，解答本题的关键在于理解题中“源数列”以及“生成数列”的概念，再由导数与数列的知识进行解答.
22．已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项数列．若数列A：，：，均为项数列，定义数列：，其中，．
(1)已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值；
(2)若数列A，均为项数列，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）直接根据定义计算得到答案.
（2）设数列：，考虑和两种情况，设数列：，根据定义计算得到，得到证明.
【详解】（1）；；
（2）设数列：，其中：，，
若，，则；
若，，则；
对于数列：，其中：，，
若，，则；
若，，则；
故，，故.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用利用构造新数列确定是解题的关键.
23．若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
【答案】(1)不是“”数列
(2)，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据“数列”的定义进行判断，说明理由；
（2）根据是首项为2的“数列”，求出，由是等比数列，设公比为，由，可得，作差可得，利用前三项数列，可以求解和，进而求解等比数列的通项公式；
（3）根据题意构造函数，求导并判断在上单调递增，由是 “数列”与，反复利用，可得对于任意的，,进而得到，推出，再利用在上单调递增，得到，通过已知条件变形推出.
【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故，
因为成立，成立，不成立，
所以不是“数列”.
（2）由是首项为的“数列”，则，，
由是等比数列，设公比为，
由，
则，
两式作差可得，
即
由是 “数列”，则，对于恒成立，
所以，
即对于恒成立，
则，即，
解得，，，
又由，，则，即
故所求的，数列的通项公式
（3）设函数，则，令，
解得，当时，，
则在区间单调递减，
且，
又由是 “数列”，
即 ，对于恒成立，
因为，则，
再结合，
反复利用，
可得对于任意的，,
则，
即，则，
即，，，，
相加可得，
则,
又因为在上单调递增，
所以，
又，所以，
即，
故.
【点睛】关键点睛：本题主要数列的新定义题型，紧扣题意进行求解，同时构造函数，利用导数判断单调是证明不等式的关键.
24．设数列，如果，且，，对于，，使成立，则称数列为数列．
(1)分别判断数列和数列是否是数列，并说明理由；
(2)若数列是数列，且，求的最小值；
(3)若数列是数列，且，求的最大值．
【答案】(1)是数列，是数列，理由见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）分别验证数列和数列中是否满足数列性质即可得出结论；
（2）利用反证法证明不成立，取特例可知当存在数列满足数列，即可得的最小值为；
（3）首先证明若为奇数，则必为奇数，又可得为偶数；利用数列性质可证明得出，解不等式即可求出.
【详解】（1）①是数列．
因为，，，
所以①是数列.
②是数列．
因为，，，所以②是数列．
（2）首先证明不能为．
假设，
由数列为数列知，
．所以，与已知矛盾，
故假设不成立．
所以不能为．
因为数列：
满足，，此时是数列，
所以的最小值为.
（3）（i）以下证明：若为奇数，则必为奇数．
假设数列中存在偶数，设是数列中第一个偶数，
因为数列是数列，
所以，使．
因为均为奇数，所以也为奇数，与为偶数矛盾．
所以若为奇数，则必为奇数．
因为为偶数，所以不能为奇数，只能为偶数．
（ii）以下证明：若，则（）．
若不然，设（）为第一个满足（）的项，
因为数列是数列，所以，使．
因为（），
所以，与（）矛盾；
所以若，则（）．
而（），所以．
同理，若，则（）．
而（）．所以．
同理，若，则（）．
而（），所以．
综上．
（3）当时，
因为数列是数列，
所以
由题意知，，解得;
所以的最大值为．
此时即为满足条件的数列
【点睛】关键点点睛：本题关键在于求解第（3）问时，首先证明只能为偶数，再利用数列性质分别验证的最小偶数取值，构造不等式即可得出其最大值.
25．已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质：
①；
②对任意，存在，使得，则称为数表．
(1)判断是否为数表，并求的值；
(2)若数表满足，求中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意数表，存在，使得．
【答案】(1)是；
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；
（2）根据条件讨论的值，根据，得到相关的值，
进行最小值求和即可；
（3）当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.
【详解】（1）是数表，
（2）由题可知.
当时，有，
所以.
当时，有，
所以.
所以
所以
或者，
或者，
或，或，
故各数之和，
当时，
各数之和取得最小值.
（3）由于数表中共个数字，
必然存在，使得数表中的个数满足
设第行中的个数为
当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，
则该行有条有向线段，
所以横向有向线段的起点总数
设第列中的个数为.
当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接，
则该列有条有向线段，
所以纵向有向线段的起点总数
所以,
因为,所以.
所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，
即存在
使得，
所以，
则命题得证.
26．已知函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
(1)已知 为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；
(2)已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
(3)已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意确定，，计算得到答案.
（2）确定，构造，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明.
（3）确定，，根据得到，确定，再假设存在得到，整理得到，无解，得到答案.
【详解】（1），，，故，
则；
（2），，故，
构造函数，，则，
函数在上单调递增，，
故在恒成立，单调递增，
故，即，，
当时，，
综上所述：恒成立，即.
（3），则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，
故，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，无正整数解.
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数导数和数列综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数确定函数的单调性得到是解题的关键，这种技巧是常考技巧，需要熟练掌握.
27．设是正整数，如果存在非负整数使得，则称是好数，否则称是坏数．例如：，所以2是好数．
(1)分别判断是否为好数；
(2)若是偶数且是好数，求证：是好数，且是好数；
(3)求最少的坏数．
【答案】(1)都是好数
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接由好数的定义验证即可.
（2）证明是好数时，分是否存在使得两种情况讨论即可，证明是好数时，将表达式中的数分成四类，即：，从而即可证明.
（3）注意到表达式，由此联系到用二进制表示，通过归纳得知最小的坏数是3，最小的坏数是11，最小的坏数是43，最小的坏数是171，且注意到，应该是在破坏数码和，通过分析得知，坏数要满足二进制至少有个数码是1，而且在二进制表示左右两头的1之间0段的数目至少是，由此即可猜出最小的坏数是，从而证明即可得解.
【详解】（1）因为，
所以22是好数；
因为，
所以23是好数；
因为，
所以24是好数.
（2）由题意是好数当且仅当，是非负整数，分以下两种情形来说明是好数，
情形一：若存在，不妨设为，此时或，
则当时，，或，
因此，或，
即此时是好数；
当时，，由题意，因此不妨取，即，
因为是偶数，所以，从而是好数；
情形二：若不存在，则任取，均有，当然也有，而此时或，
则当时，，或，
由情形一可知，当时，，
因此，或，
即此时是好数；
当时，，由题意，因此不妨取，即，
因为，从而是好数；
综上所述：若是偶数且是好数，则是好数.
若是偶数且是好数，接下来我们说明是好数，
即已知是偶数，是非负整数，
由以上分析可知或，或是偶数，
且，，，
不妨设，，
，，
所以，
因为均是偶数，
所以是偶数，是偶数，
所以，
，
综上所述，若是偶数且是好数，则 也是好数.
（3）记，设：
①若的二进制表示中只有至多有个1，那么显然是好数；
②若的二进制表示中有至少有个1，那么的二进制表示至多有位。
此时，的二进制表示中的那些0隔出了若干个1串。
如果一个1串的长度为1，它一定能表示为，
如果一个1串的长度大于1，它一定能表示为，
假设是坏数，长度为1的1串的数量为，长度大于1的1串的数量为，
那么就意味着，
记，
如果我们标出每个1串最左边和最右边的1，那么这些1两两不相邻，且总数目为，
但事实上，由于一共至多有位，所以，产生矛盾，
这就意味着一定是好数.
这就说明，小于的正整数都是好数，
接下来我们用反证法来证明是坏数，
假设是好数，
由于的二进制表示中，1的个数是大于的，
所以的那个表示里，肯定存在负号项，
也就是说可以表示成两个正整数之差，不妨设，
且的二进制中1的个数之和不超过，
而且我们还可以同时去掉的那些位数相同的1，全都变成0，
所以可以表示成两个正整数的差，的二进制中1的个数之和不超过，且没有相同位置的1，
那么就设的二进制表示中，1的数量分别是，
则，
那么：(1)的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有个；
(2)每给减掉一个（且的位为0），最左最右两个1之间的0段的数目至多增加1个，
增加1个当且仅当减掉的这个位置左边最近的1的左边还是1，且这个位置的右边是0.
(3)的二进制表示中，最左最右两个1之间有个0段.
由(1)(2)我们知道，的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有个，
结合(3)就可以知道必须等于，且(1)，(2)，(3)的每个不等关系都取等.
由于(1)的不等关系取等，
所以的最后一位必须是0；
但的最后一位是1，
所以的最后一位是1，
但是由于(2)的不等关系取等，
所以最后在减掉这步时，右边还有0，
而这不可能，因为已经是最后一位了，
所以假设不成立，
从而是坏数，
所以最小的坏数是，
因此最小的坏数是．
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，按新定义验证即可；第二问的关键主要是注意到表达式的结构，分类讨论即可；而第三问的关键是主要要联想到二进制表示，并且要通过归纳分析，演绎推理证明猜想，从而顺利求解.
28．如图，将数字1，2，3，…，全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为，，…，，第二行填入的数字依次为，，…，．记．
(1)当时，若，，，写出的所有可能的取值；
(2)给定正整数n，试给出，，…，的一组取值，使得无论，，…，填写的顺序如何，都只有一个取值，并求出此时的值；
(3)给定正整数n，求证：对于满足要求的任何填法，取值的奇偶性相同．
【答案】(1)
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）令，再根据定义计算即可；
（3）交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变，不妨设，记，，求出即可得证.
【详解】（1）因为，，，
所以的值都可为，
则，
所以的所有可能的取值为；
（2）令，
则无论，，…，填写的顺序如何，都有，
∵，∴，
∵，
所以
；
注：或均满足条件.
（3）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变，
不妨设，记，，其中，
则，
因为，
所以与具有相同的奇偶性，
又因为与具有相同的奇偶性，
所以与的奇偶性相同，
所以的所有可能取值的奇偶性相同．
【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义问题，解决问题的关键是把新定义理解透彻.
29．若无穷数列满足，是正实数，当时，，则称是“数列”.
(1)若是“数列”且，写出的所有可能值；
(2)设是“数列”，证明：是等差数列充要条件是单调递减；是等比数列充要条件是单调递增；
(3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1009
【分析】（1）利用递推关系，根据分类讨论思想求解即可；
（2）当是等差数列时，利用反证法可证明单调递减，根据等比数列的性质可证后者；
（3）先证是数列的最大项，再证明当是奇数时，是的奇数倍，当是偶数时，是的偶数倍，即可求出.
【详解】（1）由题可知，则或2，
因为，所以当时，，则或，
当时，，则或4，
因为，所以当时，，
则或，
当时，，则或2，
当时，，则或2，
当时，，则或8，
综上，的所有可能值为；
（2）因为，所以或，
当是等差数列时，假设，则，
此时，而，矛盾，所以，
于是公差，所以单调递减；
当单调递减时，对任意，，
又，所以，从而是等差数列；
综上，是等差数列的充分必要条件是单调递减；
当是等比数列时，，所以，所以公比，
又，所以单调递增，
当单调递增时，对任意，，
又，所以，即，
因为，所以是等比数列.
综上，是等比数列充要条件是单调递增.
（3）先证是数列的最大项，事实上，如果是第一个大于的项的脚标，
则由知，是的倍数，
假设都是的倍数，
则由知，
是的倍数，
所以由归纳法知，对任意，都是的倍数，但不是的倍数，
这与是周期数列矛盾，
所以是数列的最大项，从而当时，，
再证明当是奇数时，是的奇数倍；当是偶数时，是的偶数倍，
事实上，当时结论成立，假设时成立，
当时，由知，结论也成立，
所以，当，的值只能是奇数，
所以集合的元素个数最多有1009个；
下证集合的元素个数可以是的所有整数，
事实上，对于，可取数列为：
即所有的奇数项均等于，所有的偶数项均等于0，此时，数列为“Y﹣数列”，且，
对于任意整数，构造数列的前2018项如下：
，
由于数列是无穷数列，故可取，显然满足数列是“Y﹣数列”，
综上，集合的元素个数的所有可能值的个数是1009.
【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
30．设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
(1)若，写出的值；
(2)若，求；
(3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）通过公式即可求出的值；
（2）求出数列的前项和，对讨论其奇偶，即可求出；
（3）通过讨论为有限集和无限集时的不同情况下的值，即可证明结论.
【详解】（1）由题意，
，，，
∴，，
，，
，
∴
（2）由题意，
在数列中，，
∴.
若为奇数，则.
所以.
若为偶数，则当时，
所以.
所以.
（3）由题意证明如下，
在中，
若为有限集，设其最大元素为(若为空集，取)，
则当时，存在满足.
令，
则.所以;
若为无限集，设，其中，记，则.
①若数列中只有有限项为正数，记(若中没有正数项，取，则.
令，则.
所以;
②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中，则.
令，则.
所以.
综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列.
【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的项，数列求和，无穷数列的证明，符号函数，考查学生的计算能力，逻辑思维能力和分类讨论能力，具有很强的综合性.
31．对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；
(3)已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义分析判断即可；
（2）根据题意分析可知为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；
（3）根据“绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.
【详解】（1）对于数列：2，4，8，10，14，16；可得：
差数列为：2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”；
累次差数列为：2，，2，，满足，所以是“累差不变数列”，
对于数列：6，1，5，2，4，3；可得：
差数列为：，4，，2，，不满足，所以不是“绝对差异数列”；
累次差数列为：9，，5，，不满足，所以不是“累差不变数列”.
（2）因为，则，
反证：假设不是定值，即存在，使得，
可得，即，
这与既是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以为定值，
①若，即，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
当时，则
，
当时，符合上式，
综上所述：；
②若，同理可得；
综上所述：若，；
若，.
（3）因为，根据集合的互异性可知，，
则，
又因为数列是“绝对差异数列”，则，，
充分性：若，
可得，
即，所以，
若差数列为，符合的排序只能为；
若差数列为，符合的排序只能为或，
若差数列为，符合的排序只能为或，
若差数列为，符合的排序只能为或或或，
若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；
若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；
所以符合的排序只能为或，
利用数学归纳法证明：当差数列为，符合的排序为，
显然，符合题意；
假设在差数列有意义的前提下：
当差数列为，符合的排序为；
则当差数列为时，符合的排序为或，
当差数列为时，
对于可得符合的排序为；
对于，无法排序；
所以符合的排序为，
即当差数列为，符合的排序为；
所以当差数列为，符合的排序为，成立；
同理可证：当差数列为，符合的另一种排序为；
依次类推，可得其排列为或，
所以，故充分性成立；
若，则，
若差数列为，则符合的排序为或，
若差数列为，则符合的排序为或或或，
若差数列为，则符合的排序为或，
因为的排序为，不合题意，
的排序为，不合题意，
所以若差数列为，则符合的排序为，
若差数列为，则符合的排序为或，
若差数列为，则符合的排序为或，
利用数学归纳法证明：当差数列为时，符合的的排序为，
当时，成立；
假设在差数列有意义的前提下：
当差数列为，符合的排序为；
当差数列为，符合的排序为或，
当差数列为，
对于可得排序为，
对于则无法排序，
所以当差数列为，符合的排序为；
同理可证：当差数列为，符合的排序为；
此时满足数列是“绝对差异数列”的排序只有两种：
或，
则
，必要性成立；
所以的充要条件是.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.
…
…