【专项复习】高考数学专题04 构造函数法解决不等式问题（题型训练）.zip

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\l "_Tc16002" 二、典型题型 PAGEREF _Tc16002 \h 2
\l "_Tc30250" 题型一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc30250 \h 2
\l "_Tc6988" 题型二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc6988 \h 5
\l "_Tc8839" 题型三：构造或型 PAGEREF _Tc8839 \h 7
\l "_Tc22560" 题型四：构造或型 PAGEREF _Tc22560 \h 10
\l "_Tc2025" 三、专项训练 PAGEREF _Tc2025 \h 11
一、必备秘籍
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造或(，且)型
1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由当时，，
得，
设，则，
所以在上单调递增，
又函数为偶函数，
所以为偶函数，
所以在在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，A选项错误；
，即，所以，B选项错误；
，即，所以，C选项错误；
，即，所以，D选项正确；
故选：D.
2．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：设，则，
由，可知，所以在上是增函数，
又，所以，即，
故选：B.
3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，，
则，
∵当时，，
即，在单调递减，
∴，
∴，
即，
∴.
故选：D.
4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减，
由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，
不等式，
因此，解得，所以原不等式的解集是.
故答案为：
5．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【详解】记，则，
故当，，所以，因此在上单调递增，
又当时，，
因此为奇函数，故在上单调递增，
又，因此当和时，，
当和时，，
因此，即可得和，
故成立的的取值范围是，
故答案为：
题型二：构造或(，且)型
1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
，即，故A不正确；
，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；
故选：C
2．（2023上·四川内江·高三期末）已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，令函数，，求导得，
则函数在R上单调递增，，
而，则，因此有，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：C
3．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
令，则，
所以为偶函数，
当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，
根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，
因为，
所以，
所以，即，即，
即，则，
解得.故数a的取值范围为：
故选：B.
4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为 .
【答案】
【详解】设，则，
，
，
在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故答案为：.
5．（2018上·江西赣州·高三统考期中）函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，则＞0
∴在上单调递增，所以，
即＜⇒＜；
令，则
∴在上单调递减，所以，
即＞⇒＞
综上，＜ 且 ＞．
故答案为：
题型三：构造或型
1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
2．（2023·青海海东·统考模拟预测）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当时，，则由，得；
当时，，则由，得．
令，则，
故g（x）在上单调递增，在上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以是偶函数，
故，即，，
即．
与和的大小关系不确定．
故选：A．
3．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）定义在上的奇函数的导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】令，因为是定义在上的奇函数，
则，
所以为偶函数.
当时，，，
由已知，
所以，
则在上单调递增，
由可化为，
即，得；
当，，则，
即，
由为偶函数，则在上单调递减，
得，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
题型四：构造或型
1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数，
所以，
易知当时，，所以函数在上单调递减．
因为，则，
由，则，
且，
因为函数在上单调递减，且，
所以，即，
故选：C．
2．（2023下·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，
则在上单调递减.
所以，
故，，
故选：C
三、专项训练
一、单选题
1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【详解】记，则，
因为，即，
所以，所以在R上单调递增，
故，，
整理得，.
故选：B
2．（2023·河南开封·统考三模）设定义在上的函数的导函数，且满足，．则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
设，则，
令，则，
设，则，
∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴，
∴，在上单调递减，
又，理由如下：
如图，设，射线与单位圆相交于点，过点作⊥轴于点，
过点作⊥轴交射线于点，连接，
设扇形的面积为，
则，即，
解得，
其中，故，
∴．
故选：C
3．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】构造函数，则由题意可知当时，
所以函数在区间上单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，
所以在区间上单调递增，
又，，，
因为，，所以，
所以，即，正确.
故选：.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，则恒成立，故在上单调递增．
，
，即．
故选：A
5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】构造函数，则由题意可知当时，
所以函数在区间上单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，
所以在区间上单调递增，
，，，
因为，，
所以，所以，
即，
故选：B
6．（2023·全国·高三对口高考）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由.
若不是常函数，则在上单调递减，又，则；
若为常函数，则.综上，.
故选：A
7．（2023·云南·校联考三模）设函数在上的导数存在，且，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，
令，则，
所以在上单调递增，
当时，，即，
所以且.
故选：B
8．（2023下·湖北·高二校联考期中）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，构造函数，则，
所以函数在R上单调递增，又，即，
所以，即，解得.
故选：D.
9．（2023下·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，则，
因为，所以，所以，
所以函数在上单调递增，
而可化为，又
即，解得，
所以不等式的解集是．
故选：B
10．（2023下·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，
则在上递增，
又是偶函数，且是定义在R上的奇函数，
所以是定义在R上的奇函数，
则在上单调递增，
所以，即，故A错误；
，即，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故错误，
故选：C
11．（2023下·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知函数在上连续且可导，同时满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】构造函数，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以.
故选：C
二、填空题
12．（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，对任意，都有成立，
即．
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增．
不等式即，即．
因为，所以．
故由，得.
所以不等式的解集为，
故答案为：.
13．（2023下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，且，则的解集为 .
【答案】
【详解】令，可得
因为时，，
所以，
即函数在为单调递增函数，
又因为函数为偶函数，可得，
所以函数为偶函数，所以在为单调递减函数，
因为，
即，可得，即，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
14．（2021下·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考期中）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】令，则，
因为，所以，
因为，
所以，
所以在上为减函数，
由，得，
所以，
因为在上为减函数，
所以，
所以不等式的解集为，
故答案为：
15．（2022下·江苏·高二校联考阶段练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】变形为，
变形为，
故可令g(x)＝f(x)sinx，，
则，
∴g(x)在单调递减，
不等式即为g(x)＜g()，
则，
故答案为：.
16．（2021下·重庆江津·高二校考期中）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【详解】∵当时，有，令，
∴，
∴在上递增，
又∵在上的偶函数
∴，
∴在上是奇函数
∴在上递增，
又∵，
∴
当时，，此时，0＜x＜1，
当时，，此时，，
∴成立的的取值范围是．
故答案为：﹒
17．（2021下·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）设的定义域为，的导函数为，且对任意正数均有，设，，，，则的大小关系是
【答案】
【详解】由，得，
令，则恒成立，
故函数在上单调递增.
因，，则，
故，即，
变形得：①，
同理②，
①+②得：，
即，故.
故答案为：.
18．（2020下·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】解：
，
构造函数，
则，
当时，，
在单调递增，
不等式，
即
即，
故不等式的解集为.
故答案为：.
19．（2020·陕西·统考二模）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，则，
因为，所以，所以函数在为单调递减函数，
又由，
所以，即，所以，
即，所以，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
20．（2019下·江苏扬州·高二统考期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】函数的定义域为
构造函数：
已知：
所以，递减.

即
故答案为
21．（2017·河南·统考一模）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集 ．
【答案】
【详解】令，因为，且，所以，即函数在上单调递减，因为，即，所以，即，即不等式的解集为.
序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8