【专项复习】高考数学专题05 利用导函数研究恒成立问题（题型训练）.zip

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一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
二、典型题型
1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当时，，则，不符合题意；

当时，，
恒成立，
即恒成立，
设，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取得最大值，
所以，解得，
故选：C．
3．（2023·江西九江·统考一模）若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知得：，由，得
即，可得．
令，，则，
求导得，，解得；，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
且当时；当时，，函数图像如图所示．

，，，
由及的图像可知，恒成立，即成立，
而，，实数的取值范围是.
故选：C．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于任意的，都有，即，
令，
则，且对于任意的，都有.
①当时，，，所以，
所以在上单调递减，所以，符合题意；
②当时，令，则，令，得.
当时，则，
所以当时，在上单调递减，
所以当时，，即，
所以在上单调递增，所以，这与矛盾，不符合题意；
当时，则，
所以当时，，在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递减，，符合题意.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】恒成立问题方法指导：
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数，当时，恒有，则实数t的取值范围 ．
【答案】
【详解】因为时，恒有，所以，
即恒成立.
设，则，且，
令，则，
所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，
所以在恒成立，故在单调递增，
所以恒成立，即，所以恒成立，
令，则，，
所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；所以.
所以.
故答案为：.
6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，，
在中，，
在时有极小值.曲线在点处的切线方程为.
∴即 ，
，，
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递减.
当时，在时有极小值.
故符合题意，即为所求.
（2）由题意及（1）得，，
在中，，即对任意实数恒成立，
设，则.
当时，，则，故在上单调递增；
当时，，则，故在上单调递减；
当时，，则，
故时有极小值，也就是的最小值，
故即为所求.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法判断函数单调性，导数法解决函数恒成立问题，构造函数法，考查学生的计算能力和逻辑思维能力，具有很强的综合性.
7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【详解】（1）当时，，则，
由，得到，又，当时，，时，，
所以在处取到极小值，极小值为，无极大值.
（2）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，
又，所以恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
又，所以当时，，时，，
即时，，时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故，所以，即，
所以，实数的取值范围为.
【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知，且恒成立，则k的值不可以是（ ）
A．－2B．0C．2D．4
【答案】D
【详解】由，知，，则，即，
令，则，令，则，
函数在上单调递增，于是，即，
从而，令，则，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因此在时取得最小值2，即，
所以，即可取，不能取4.
故选：D
2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】不等式在上恒成立，
两边同除得在上恒成立，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
令，，
即在上恒成立，
所以只需即可，
令，则，
令，则在上恒成立，单调递增，
又因为，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
故选：B
3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
【答案】C
【详解】设，，
当时，，函数在上单调递增，
此时，在不恒成立，不合题意
当时，
时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
所以在时取得最大值，
由题意不等式在恒成立，只需
即，
所以，
，
设，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以在取得最小值为，
所以最小值为，
故选：C
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】已知，
当时，成立；
当时，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
当时，成立或成立；
当时，成立或无解；
当时，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最小值.
设
单调递减；
无最小值.
当时， 恒成立或成立；
当时，成立；或无解；
所以.
故选：BD .
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】，
故恒成立，转化成恒成立，
记，则在单调递增，故由得，故恒成立，
记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，
故由恒成立，即,故，
故选：AD
6．（2023·海南·模拟预测）若时，关于的不等式恒成立，则实数的值可以为（ ）
（附：）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】由题意知：当时，恒成立；
令，则，
令，则，
当时，恒成立，即恒成立，
在上单调递增，，
，即实数的取值范围为.
，，，.
故选：BD.
三、填空题
7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】易知，由可得，
即，则有，
设，易知在上单调递增，
故，所以，即，
设，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，则有，解之得．
故答案为：.
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】，则，
则时，，单调递增.
时，恒成立，即恒成立，
则在上恒成立，
则即在上恒成立，
令，，则
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
则当时取得最小值，则
则实数的取值范围是
故答案为：
四、问答题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)若对一切，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增
(2)
【详解】（1）当时，则．
记，则．
令，得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，恒成立，即恒成立．
①当时，，此时．
②当时，，即
记，，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，
综上可知，实数m的取值范围为．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；
(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由曲线在处的切线方程为，得，解得，，
所以，.
（2）当时，函数，求导得，
当时，，即函数在上单调递减，
不妨设，则，，
不等式恒成立，即恒成立，
则恒成立，设，
于是，恒成立
则在上单调递增，于是在上恒成立，
即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此，
所以m的取值范围为．
11．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若当时，，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
【详解】（1）当时，，，
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）设，由题意知当时，．
求导得．
设，则，
令，则，当当故函数在单调递增，在单调递减，所以；
令，可得，故在单调递增时，．
所以当时，．
故在上单调递增，
当时，，且当时，．
若，则，函数在上单调递增，
因此，，符合条件．
若，则存在，使得，即，
当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．
综上，实数的取值范围是．
12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)讨论在上的最大值；
(3)是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)存在，的取值范围是
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又因为当时，，，
所以仅有一个零点，.
（2），令，解得，
在区间内，
当（即）时，在上单调递减，，
当（即）时，在上单调递增，，
当（即）时，在上单调递增，在上单调递减，．
综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为.
（3）由（2）知在上，，
构造函数，由题意应使，
，令，解得．
所以，
所以使的实数只有，即的取值范围是．
单调递增
极大值
单调递减
1
单调递减
极小值
单调递增