【专项复习】高考数学专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 （题型训练）.zip

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1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（2023上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程：
(1)点到点、的距离之和为10；
(2)点到点、的距离之和为12；
(3)点到点、的距离之和为8．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果；
（2）根据椭圆的定义可求出结果；
（2）可知动点的轨迹是线段.
【详解】（1）因为，
所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，
这里，，即，，
所以，
所以动点的轨迹方程为.
（2）因为，
所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，
这里，，即，，
所以，
所以动点的轨迹方程为.
（3）因为，
所以动点的轨迹是线段，其方程为.
2．（2022上·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切；
(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；
（2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；
（3）设根据斜率公式得到方程，整理可得.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，
所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此圆心的轨迹方程为.

（2）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，则圆与圆外离，
设圆的半径为，由题意可得，所以，
所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，
设圆心的轨迹方程为，
由题意可得，则，，
因此圆心的轨迹方程为.

（3）设，则，，
根据题意有，
化简得
∴顶点的轨迹方程为.

3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程.
【答案】
【分析】设，根据题意列出方程，化简即可.
【详解】设，则，所以，化简得，
故的方程为.
题型二：直接法
1．（2024·全国·高三专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;
【答案】
【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程.
【详解】设点的坐标为，
因为，
所以，化简得.
故动点的轨迹方程为.
2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)说明点的轨迹是何种几何图形．
【答案】(1)
(2)点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点
【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意；
（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.
【详解】（1）由题意可知：直线与直线的斜率分别为，
则，整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）由（1）可知：点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点.
3．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.
(1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；
【答案】(1)答案见解析.
【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对m分类讨论确定曲线的类型即可.
【详解】（1）设动点，依题意有
，
整理，得，
∴动点M的轨迹方程为：,
时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
时，轨迹是圆，
时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，
且点不在曲线上．
题型三：代入法（相关点法）
1．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程．
【答案】
【分析】由三角形的角平分线的性质，得到，设点，根据向量的坐标表示，得到，代入圆的方程，即可求解.
【详解】由三角形的角平分线的性质，可得，所以，
设点，则，
所以，所以，
因为，所以，
又因为点在圆上，所以，即，
即点的轨迹方程为.
2．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程.
（2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程.
【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为，
∴圆的标准方程为.
（2）设，.
由，可得，
则，又点在圆上，所以，
即，化简得，
∴点的轨迹方程为.
3．（2024·全国·高三专题练习）已知点，点P是圆上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆的位置关系.
【答案】，两圆相外离
【分析】利用中点坐标公式及点在圆上，结合两点间的距离公式及圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】设，，则
由中点坐标公式得，.
因为在圆上，
所以，即.
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
两圆的圆心距，
而两圆半径之和为6，即，
所以这两圆相外离.
题型四：点差法
1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出A，B的坐标代入椭圆方程，利用点差法和中点坐标公式求出直线的斜率，再由已知建立斜率的等式关系，进而可以求解.
【详解】解：设，，
代入椭圆方程可得：，两式作差可得：
，
又的中点坐标为，所以，，
则，又直线的斜率为，
所以，而，
所以，，所以椭圆的方程为：，
故选：A.
2．（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出直线的斜率为，设，，再利用点差法求出直线的斜率为，利用斜率相等可得的值，从而得到椭圆方程.
【详解】
因为，，
所以直线的斜率为，
设，，则①，②，
①-②得：，
即，
因为是的中点，所以，，
所以，所以，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，所以椭圆的方程为，
故选：D.
三、专项训练
一、单选题
1．（【名校面对面】2022-2023学年高二大联考（12月）数学试题）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案.
【详解】设，，由，得，所以，
又因为点在圆上，
所以，即.
故选：C.
2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解.
【详解】设线段中点的坐标为，且点，
又由，可得，解得，
又由，可得，即，
故选：A
3．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.
【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，
所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，
设椭圆方程为，焦距为，
则，解得，故动点P的轨迹方程为.
故选：B
4．（2024上·贵州黔南·高二统考期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案.
【详解】由动点满足方程，
根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，可得，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：A.
5．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A．（）B．
C．（）D．（）
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为，
设动圆圆心，半径，
则根据题意有,
根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：.
故选：A
6．（2023上·全国·高二专题练习）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用双曲线定义确定曲线为双曲线，再利用题给条件即可求得曲线的标准方程.
【详解】在椭圆中，由题知，解得，
所以椭圆的焦点为，，
因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，
所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
所以曲线的虚半轴长为，
故的标准方程为：.
故选：A.
7．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.
【详解】因为，，所以，动点满足，
由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
设双曲线方程为，则有，，，
所以动点的轨迹方程为.
故选：D.
8．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习）与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由题意得到两定圆的圆心和半径，设圆的半径为，再由圆与圆、圆都外切得到，根据双曲线的定义，即可确定动点轨迹，从而求出轨迹方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
再由圆与圆、圆都外切，设圆的半径为，
则，，所以，
因此，由双曲线的定义可得圆心的轨迹为双曲线的右支，
且该双曲线的焦距为，实轴长为，
所以，故，
所以所求圆的圆心的轨迹方程.
故选：D.
二、多选题
9．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为B．
C．的最小值为D．的最大角为
【答案】ACD
【分析】由动点的轨迹求出方程验证选项A；由圆上的点到直线的最小距离验证选项B；由三点共线求距离之和的最小值验证选项C；由直线与圆的位置关系求的最大值验证选项D.
【详解】设，依题意有，化简得，
所以动点的轨迹方程为，A选项正确；
方程表示圆心为半径为2的圆，圆心到直线的距离，
所以的最小值为，B选项错误；
，当三点共线时，有最小值，
最小值为点到直线的距离，C选项正确；
的最大时，与圆相切，此时，，，D选项正确；
故选：ACD
三、解答题
10．（2024上·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3．
(1)求动点M的轨迹方程；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意，
动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数3，
∴，
整理化简可得：即，
∴动点M的轨迹方程为：