【专项复习】高考数学专题02 直线与平面所成角（线面角)（题型训练）.zip

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc19591" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc19591 \h 1
\l "_Tc15536" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15536 \h 2
\l "_Tc21289" 题型一：求线面角 PAGEREF _Tc21289 \h 2
\l "_Tc273" 题型二：已知线面角求参数 PAGEREF _Tc273 \h 10
\l "_Tc28877" 题型三：求线面角最值（范围） PAGEREF _Tc28877 \h 19
\l "_Tc3315" 三、专项训练 PAGEREF _Tc3315 \h 27
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、向量法
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，.
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（22·23上·河南·模拟预测）在三棱台中，平面ABC，，．

(1)证明：平面平面；
(2)记的中点为M，过M的直线分别与直线，交于P，Q，求直线PQ与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0
【详解】（1）取AC的中点D，则AD与平行且相等，
可得四边形为平行四边形，则有，
又，故．
又，，，AC，平面，故平面，又因为平面，故，
又因为，，，平面，故平面，
而平面，故平面平面；
（2）以A为原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，则，
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
设，，则，，
由题意知P，M，Q三点共线，可设，则，
解得，故，，
则，
故，
即平面，故所求线面角的正弦值为0．
2．（22·23上·河南·模拟预测）已知中，，，，，将沿折起，使点A到点处，．

(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，，可得，
又因为，所以， 即，
又，且平面，则平面，
因为平面，所以，
又因为，即，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，故平面平面．
（2）解：以为坐标原点，以DE，DB所在直线为x轴、y轴，以垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
在直角三角形中，，，则，
由（1）知平面，则为平面的法向量，且，
设直线CD与平面所成角的角为，
则，
故直线CD与平面所成角的余弦值为．

3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
取的中点，连接，因为分别是棱的中点，
则，，∴四边形为平行四边形，
所以，∵平面，平面，
平面；
（2）在平面中过点作于，连接，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
由菱形，，得，，
因为点为的中点，∴，故以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，解得，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
综上，直线与平面所成角的正弦值为.
4．（23·24上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．

(1)若点是的中点，求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）分别是中点，连接，则，

平面平面，则平面，
四边形是矩形，，同理有平面，
又，平面，故平面平面，
又平面，故平面.
（2）解法一：
在圆锥中，平面，平面
则平面平面，平面平面，作于点，连接，
则面是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，
在直角三角形中，，则，
平面，则平面，
在直角三角形中，，，则，
在直角三角形中，，
故，即直线与平面所成角的余弦为.
解法二：在圆锥中，平面，
在直角三角形中，，则，，
在直角三角形中，，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设是平面的法向量，则，
令得，
设直线与平面所成角为，则，
.
5．（23·24上·浙江·一模）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．

(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形为正方形，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
连接，则，
在中，，
所以，
因为，，平面，且，
从而平面，
又平面，
所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又平面，
所以，
又因为，所以，
又是中点，，所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以．

（2）由（1）知，平面，且，
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则、、、，
则，，，
由得，，所以，
所以，，
设面的法向量为，由得，，取，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
题型二：已知线面角求参数
1．（22·23下·抚顺·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，平面ABC，，侧面ABFE为正方形，，M为AB的中点，．

(1)证明：；
(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为，求实数λ的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为CD⊥平面ABC，，所以平面ABC，
因为侧面ABFE为正方形，，所以平面ABC，
又平面ABC，所以，
因为，所以，
又平面ABFE，所以平面ABFE，
又平面ABFE，所以，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，
又平面CDM，所以平面CDM，
又平面CDM，所以．
（2）由（1）可知，，M为AB的中点，所以．
取的中点为N，连接MN，则，
因为平面ABC，所以平面ABC．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则M（0，0，0），，，F（1，0，2），
所以，，，
设平面DME的法向量为，
由得，取，
则，
设直线MF与平面DME所成角为θ，
则，
由题意可知，，
解得（负值舍去），故实数λ的值为．

2．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为侧面为菱形，，，
所以为边长为的等边三角形，
作交于点，则点为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，可得，
又，，平面，可得平面，
因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，
，平面，所以平面；
（2）由（1）知，平面，，取做的中点，连接，
则，所以平面，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，
设，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，
可得，
解得舍去，或，所以.

3．（22·23下·广州·三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，
分别是线段的中点，，
底面四边形为正方形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，平面，
又平面，平面平面.
（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，；
设直线与平面所成角为，
，
解得：或（舍），，
平面，平面，；
，，平面，平面，
到平面的距离为，
.

4．（22·23·厦门·模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．

(1)求到平面的距离；
(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)存在；或
【详解】（1）因为，
所以不可能为四边形的对称轴，则为四边形的对称轴，
所以垂直平分，所以．
平面平面
所以平面．
所以到平面的距离．
（2）存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
过作平面，所以两两垂直.
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系

由（1）得平面平面，因为
所以．
设，
，
，
设平面的法向量，
，所以
令，则，
所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，，
．
所以或，所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为或．
5．（22·23·万州·模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；
(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在图1中，因为，，，
所以，，又，
所以，
因为，，
所以，故，

在图2中，因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，所以；
（2）由（1）知，，，
，平面，平面,
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故以为坐标原点，分别为轴，
在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
因为，平面AEB平面BCE，且，
所以点在平面的射影为中点，故，，
设，则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
不妨令，则，，
所以为平面的一个法向量．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以为中点，所以.
6．（22·23下·荆门·模拟预测）在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）因为四边形为菱形，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且.
理由如下：
取中点，连接，因为，所以，
又，所以为等边三角形，所以，
因为，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
以为原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，
.
因为平面平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
假设上存在一点，使与平面所成角的正弦值为，设，
则，所以，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，则，可取，
又，
所以，
即，解得，此时；
因此上存在点，使与平面所成角的正弦值为，且.
题型三：求线面角最值（范围）
1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱中，，，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分别取中点,则,即平面,
连接,因为,所以,
分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知,,,,,
则,
因为，
，
，
易知平面的一个法向量是，
设直线AP与平面所成角为，则，
，
所以时，，即的最大值是．
故选：B．
2．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.
因为异面直线与所成角的正切值为，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.
因为为正三角形所以，从而
由已知E，F分别是的中点，所以
则，所以，
所以，
因为，所以可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为.
3．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，，
在等腰梯形中，，为，的中点，
∴，
在正中，为的中点，
∴，
∵，，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
∵，，∴为二面角的平面角，即，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，即，
则可取，又，
设直线与平面所成角为，
∴，
∵，∴，
∴．
4．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，.
在正六棱柱中，
因为底面为正六边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，
因为为线段上的动点，所以平面，
所以平面.
（2）取的中点为Q，连接，.
因为底面边长为1，所以，
因为，所以，所以.
易得，，，所以平面，所以，
因为，所以平面，
即为平面的一个法向量.
连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，所以，，.
设（），
所以，
则，
因为，所以，所以的取值范围是.
5．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥中，，，平面平面.

(1)证明：平面平面；
(2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点A作于，

因为平面平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，可知，
而，平面
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）法1：由（1）知平面，平面，所以，
又，所以，
所以，，所以，
由平面ABCD，所以平面．
如图建立空间直角坐标系，则，，，设，
平面的一个法向量为，，
，所以，，即，
得 令，得，
，所以，
显然，当时，取最小值，
综上，当时，的最大值为．
法2：设点到平面的距离为，因为，平面，
所以平面，所以点A到平面的距离也为，
由（1），平面，所以，又，所以，
所以，所以，所以，
由（1），平面，所以，
由，在四边形中，当时，取最小值，
此时四边形显然为矩形，，所以的最大值为．
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱中，，，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分别取中点,则,即平面,
连接,因为,所以,
分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知,,,,,
则,
因为，
，
，
易知平面的一个法向量是，
设直线AP与平面所成角为，则，
，
所以时，，即的最大值是．
故选：B．
2．（23·24上·亳州·阶段练习）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，，，
如图所示，建立空间直角坐标系．

则，
∴
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
∴．
故选：D．
3．（23·24上·泰安·阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
平面ABC的一个法向量为，
设直线PN与平面ABC所成的角为，
，
当时，，此时角最大．
故选：D．

4．（22·23上·江西·阶段练习）如图，在长方体中，，，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
设
则
设平面的法向量为
则即令则
设直线与平面所成角为，
则
当时，最大，
故选:D.
二、填空题
5．（22·23上·厦门·期末）正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体的棱长为2，则;
；
设平面的一个法向量为，则，，
令，则.
设直线与平面所成角为，则.
故答案为：.
6．（23·24上·济宁·阶段练习）已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则、，设点，其中.
则，，
因为平面，所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
，
.
所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
故答案为：.
7．（21·22·全国·单元测试）如图所示，在正方体中，AB＝3，M是侧面内的动点，满足，若AM与平面所成的角，则的最大值为 .
【答案】
【详解】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
因为，
所以，
所以，则，
因为平面，
所以即为AM与平面所成角，即，
则，
所以当时，取得最大值.
故答案为：.
8．（22·23上·宁波·阶段练习）已知圆柱中，点在圆上，，，点、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 .
【答案】
【详解】取中点，则， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，则，
设，直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
故答案为：.
9．（21·22下·绵阳·期末）在正方体中，点Р在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是
【答案】
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
由题可设，则，
∴，即，
∴点在上，
又，，平面的一个法向量可取，
∴
，
又，
∴，，
即的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
10．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.
(1)求证：；
(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以为直径的圆O上异于A，B的点，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面平面.
所以
（2）由E，F分别是的中点，连结，所以，由（1）知，
所以，所以在中，就是异面直线与所成的角.
因为异面直线与所成角的正切值为，
所以，即
又平面平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以
所以在平面中，过点A作的平行线即为直线l.
以C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设.
因为为正三角形所以，从而
由已知E，F分别是的中点，所以
则，所以，
所以，
因为，所以可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为.
11．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，，
在等腰梯形中，，为，的中点，
∴，
在正中，为的中点，
∴，
∵，，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
∵，，∴为二面角的平面角，即，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，即，
则可取，又，
设直线与平面所成角为，
∴，
∵，∴，
∴．
12．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，.
在正六棱柱中，
因为底面为正六边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，
因为为线段上的动点，所以平面，
所以平面.
（2）取的中点为Q，连接，.
因为底面边长为1，所以，
因为，所以，所以.
易得，，，所以平面，所以，
因为，所以平面，
即为平面的一个法向量.
连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，所以，，.
设（），
所以，
则，
因为，所以，所以的取值范围是.
13．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥中，，，平面平面.

(1)证明：平面平面；
(2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点A作于，

因为平面平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，可知，
而，平面
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）法1：由（1）知平面，平面，所以，
又，所以，
所以，，所以，
由平面ABCD，所以平面．
如图建立空间直角坐标系，则，，，设，
平面的一个法向量为，，
，所以，，即，
得 令，得，
，所以，
显然，当时，取最小值，
综上，当时，的最大值为．
法2：设点到平面的距离为，因为，平面，
所以平面，所以点A到平面的距离也为，
由（1），平面，所以，又，所以，
所以，所以，所以，
由（1），平面，所以，
由，在四边形中，当时，取最小值，
此时四边形显然为矩形，，所以的最大值为．
14．（23·24上·沈阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且M是的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）∵平面，平面，
∴，又四边形是矩形，则，
∵，、平面，
∴平面，平面PAD，
∴，
又M是PD的中点，，则，
而，、平面，
所以平面；
（2）由题易知：两两互相垂直，
以A为空间坐标系的原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，故，
设平面MBC法向量为，则，
即，令，，则，即，
而，则，
设MA与平面MBC所成角为，则，
所以.
15．（23·24上·东莞·阶段练习）如图1，梯形中，，过分别作，垂足分别为，已知，将梯形沿折起，得空间几何体，如图2．
(1)在图2中，若，证明：平面．
(2)在图2中，若，在线段上求一点，使与平面所成角的正弦值最大，并求出这个最大值．
【答案】(1)证明见详解
(2)点与点重合；
【详解】（1）由已知四边形是正方形，且边长为，
在图2中，,
又，,
平面,平面,
则平面,
又平面,所以,
又,,
平面,平面,
所以平面.
（2）在图2中，
平面,平面,
则平面，
在梯形中，过点作,交于点连接,
由题意得又,根据勾股定理可得,
则
过作交于点,
可知两两垂直，
以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的一个法向量为，
则，
取，得
设，则，
设与平面所成角为，
则
故当，即时，点与点重合时，有最大值，
且此时最大值为.
16．（23·24上·河东·期中）如图，在四棱线中，底面为矩形，平面，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）连接，设和交点为，连接，因为底面为矩形，
所以为中点，又点是棱的中点，所以为中位线，，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）由题可知，平面，所以，又底面为矩形，
所以，故互相垂直，以方向为轴，方向为轴，
方向为轴建立空间直角坐标系，设，
，易得，故，
又
，故，
化简得，即，故，
所以，
，所以，
，设平面的法向量为，
由得，令得，
设直线与平面所成角的正弦值为，与夹角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．（23·24上·广东·阶段练习）已知正方形的边长为4（图1），、分别为、的中点，以为棱将正方形折成如图所示的二面角，且，点是线段上的动点（图2）．

(1)若为的中点，为的中点（图3），证明：直线平面；
(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时点到平面的距离，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)是靠近或的四等分点，此时点到平面的距离为.
【详解】（1）若是中点，连接交于，为的中点，又为矩形，易知是中点，
由，则是平行四边形，又为的中点，
所以为中位线，即，
由面，面，故直线平面；
（2）若为中点，作面，构建空间直角坐标系，

设，则，
所以，，，
令是面一个法向量，则，
若，则，
所以，则，
当，则，，故；
当，则，，故；
综上，是靠近或的四等分点，此时点到平面的距离为.
18．（23·24上·西青·阶段练习）四棱柱中，底面，为的中点．

(1)求证：；
(2)求面与面夹角的余弦值
(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，

为中点，
，
，
．
（2）设平面的法向量，
．
取，得．
设平面的法向量，
，
．
取，得．
设面与面所成角为．
则．
面与面所成角的余弦值为．
（3）设点，
点在线段上，
，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为，
平面的法向量，
，
解得，或（舍），
．
线段的长为．
19．（23·24上·温州·阶段练习）已知几何体，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上．
(1)求证：；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【详解】（1）因为四边形、、均为正方形，则两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，设，
可得，，
因为，所以.
（2）由（1）知：，，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
假设存在点，使得直线与平面所成的角为，则，
可得，解得：，
又因为在棱上，则，所以，
故当点在棱上，且时，直线与平面所成的角为.
20．（23·24上·湖南·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示，
因为，是的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为，，且平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：设的中点为，则，又，所以，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
设，
则，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，解得，，所以，
又由，
所以，
解得或（舍去），
所以点为的中点，因为，
所以.