【专项复习】高考数学专题03 平面与平面所成角（二面角）（题型训练）.zip

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9526" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc9526 \h 1
\l "_Tc22558" 二、典型题型 PAGEREF _Tc22558 \h 2
\l "_Tc25514" 题型一：求二面角 PAGEREF _Tc25514 \h 2
\l "_Tc11626" 题型二：已知二面角求参数 PAGEREF _Tc11626 \h 4
\l "_Tc16244" 题型三：求二面角最值（范围） PAGEREF _Tc16244 \h 7
\l "_Tc24106" 三、专项训练 PAGEREF _Tc24106 \h 9
一、必备秘籍
1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作
棱的垂线、,则称为二面角的平面角.
2、二面角的范围：
3、向量法求二面角平面角
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
二、典型题型
题型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为BC，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．

(1)求到平面的距离；
(2)设为的中点，，平面平面，求二面角的大小．
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且.将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的大小.
4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，为等边三角形，平面，，，，为线段上一动点．

(1)若为线段的中点，证明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
题型二：已知二面角求参数
1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
2．（2023·吉林长春·一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

(1)求证：；
(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．
3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．
5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
题型三：求二面角最值（范围）
1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，点是线段上的点，点是线段上的点，且.

(1)证明：直线平面：
(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，.

(1)证明：四点共面
(2)当点在棱上运动时（包括端点），求平面与平面夹角余弦值的的取值范围.
3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形中，，为线段的中点，将沿直线AE折起，使得，如图（2）.
(1)求证：平面平面；
(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求的取值范围.
4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.

(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
三、专项训练
1．（23·24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体中，，，则平面与平面所成锐二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23·24高二上·山东济南·阶段练习）如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且，当四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3．（23·24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）

A．B．C．D．
4．（21·22高二·全国·单元测试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（20·21高一下·湖北·阶段练习）在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
二、填空题
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一个二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的大小为 .
7．（23·24高二上·山东德州·阶段练习）如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且．则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ．

8．（22·23高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时 ．

9．（23·24高二上·全国·单元测试）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是线段上一点，当二面角的平面角的大小为时， ．

三、解答题
10．（23·24高三上·四川成都·开学考试）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
11．（2023·新疆·三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
12．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，三棱锥中，，，，平面平面.

(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
13．（2023·辽宁·模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，，，．

(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．
14．（22·23高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
15．（22·23下·信阳·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，四边形为矩形，且平面，.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，且满足.若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.
16．（23·24上·山东·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，，点E在平面上运动．

(1)试确定一点E，使得平面，并说明点E的位置；
(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱上是否存在一点F，使得二面角的余弦值为．若存在，求的长，若不存在，请说明理由．
17．（23·24上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，；侧面为矩形，，且平面平面.

(1)求证：；
(2)设是线段上的动点，试确定点的位置，使二面角的余弦值为.