【专题复习】高考数学 专题3 用导数研究函数的极值.zip

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函数与导数一直是高考中的热点与难点, 研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题求解问题.
二、解题秘籍
(一) 求函数的极值
1.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
3.对极值理解：
(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值．
(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大；
(4)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的驻点,但从f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数可知,x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件,函数y＝f′(x)的变号零点,才是函数的极值点；
(5)函数f(x)在［a,b］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．
【例1】(2024届四川省叙永第一中学高三上学期入学考试) 已知函数,其中,.
(1)当时,求函数的极值；
(2)若方程恰有两个不相等的实数根,求的取值范围.
【解析】（1）当时,,.
,当时,；当时,.
函数单调递减区间为,单调递增区间为.
的极小值为,无极大值.
（2）,,由方程,得,
令,则.
令,则.
当时,；当时,.
函数在上单调递增,在上单调递减.
,方程有唯一解.
方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解.
等价于方程有两个不相等的实数解.
构造函数,则.
,当时,；当时,.
函数在上单调递增,在上单调递减.
,；,.
只需要,即.
构造函数,则.
当时,；当时,.
函数在上单调递减,在上单调递增.
,当时,恒成立.
的取值范围为.
(二)函数极值点的个数问题
可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点是不可导的.
【例2】（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数.
(1)当时,求的单调区间；
(2)求证：当时,函数有三个不同的极值点.
【解析】（1）当时,,
,
所以在区间单调递增,
在区间单调递减.
所以的增区间为；减区间为.
（2）依题意,
,
对于函数,
,
所以有两个零点,设为,则,
不妨设,
所以在区间单调递减；
在区间单调递增,
所以有三个不同的极值点.
(三)由函数极值点个数确定参数范围
此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解.
【例3】（2024届福建省龙岩市上杭县高三第一次月考）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设有两个极值点、,且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
【解析】（1）解：因为,该函数的定义域为,且.
①当时,对任意的,,则函数的增区间为；
②当时,由可得,由可得或,
此时,函数的减区间为,增区间为、.
综上所述,当时,函数的增区间为；
当时,函数的减区间为,增区间为、.
（2）解：（i）有两个极值点、,
则,令,可得,
由题意可知,直线与函数的图象有两个公共点（非切点）,
令,则,
令,则,
所以,函数在上为增函数,
当时,；当时,.
所以,函数的减区间为,增区间为.
所以,函数在取得最小值,即,如下图所示：
由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个公共点（非切点）,
且当或时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
故当时,函数有两个极值点.
因此,实数的取值范围是；
证明：（ii）因为,由（i）可知,
且函数的增区间为、,减区间为,
令,其中,
则,令,
则,
所以,函数在上为增函数,故当时,,
因为,则,
又当时,,
因为、,则,
所以,.
(四)含参数的函数极值的讨论
求含参数函数的极值,通常转化为不等式或的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论.
【例4】（2023届河南省郑州市等3地高三下学期6月冲刺卷）函数,．
(1)讨论的极值的个数；
(2)若在上恒成立,求a的取值范围．
【解析】（1）定义域为,
,令,
当a＝0时,,在上单调递增,在上单调递减,
所以有一个极大值；
当时,①,为图象开口朝下的二次函数,,
∴的两根为,显然,,
∴在上单调递增,在上单调递减,所以有一个极大值；
②,可知,
∴在,上单调递增,
在上单调递减．所以有2个极值,一个极大值,一个极小值；
③时,可得,∴在上单调递增,所以无极值．
综上所述,当时,有一个极大值；
当时,有一个极大值,一个极小值；当时,无极值．
（2）设,,,
∴,
∴,两边同时取倒数,
∴,∴,
又∵,∴即可,由,可得,
设,,
∴设,,
∴,∴,∴单调递减,
∴,∴,
∴a的取值范围为．
(五)由极值点满足条件求解不等式问题
此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解.
【例5】（2023届上海市曹杨第二中学高三模拟）已知函数．
(1)若是定义域上的严格增函数,求a的取值范围；
(2)若,,求实数a的取值范围；
(3)设、是函数的两个极值点,证明：．
【解析】（1）依题意,.
若是定义域上的严格增函数,
则对于恒成立,即对于恒成立,
而,当且仅当,即时,等号成立.
所以,即a的取值范围为；
（2）由（1）知.
①当时,在上,所以在上单调递减,
所以,所以不符合题设.
②当时,令,得,解得,,
所以当时,所以在上单调递减,
所以,所以不符合题设.
③当时,判别式,所以,
所以在上单调递增,所以.
综上,实数a的取值范围是.
（3）由（2）知,当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以是的极大值点,是的极小值点.
由（2）知,,,则.
综上,要证,只需证,
因为
,
设,.
所以,
所以在上单调递增,所以.
所以,即得成立．
所以原不等式成立.
【例6】（2024届四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）已知函数,.
(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点,求实数a的值；
(2)设,若有两个极值点为,,且不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为,
由,得,则,
因为经过点的直线与函数的图像相切于点,
所以,
所以,解得,
（2）,则,
因为有两个极值点为,,
所以在上有两个不同的根,
此时方程在上有两个不同的根,
则,且,解得,
若不等式恒成立,则恒成立,
因为
不妨设,
则,
因为,所以,
所以在上递减,所以,
所以,
即实数的取值范围为.
三、典例展示
【例1】（2023届海南省文昌中学高三模拟预测）已知函数.
(1)若存在两个极值点,求实数的取值范围；
(2)若,且在上有两个极值点,求证：.
【解析】（1）由函数,可得,
因为存在两个极值点,即方程有两个不等实根,
即方程有两个不等实根,
所以,解得,所以实数的取值范围为.
（2）由,
可得,
因为在上有两个极值点,即是方程的两个根,
令,则满足,解得,
因为,且
由
,
将代入上式,可得,
根据题意,只需证,
令,其中,
可得,
当时,,则在上单调递减,即,
即当时,,所以.
【例2】（2023届甘肃省张掖市高三下学期第四次模拟）已知函数,为的导函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时,,求k的取值范围．
【解析】（1）,记,则．
①当时,,在R上单调递减,故无极值．
②当时,令,得,
当时,,单调递增；
当时,,单调递减．
所以在处取得极大值,且极大值为．
综上所述,当时,无极值；当时,的极大值为,无极小值．
（2）可化为,
当时,,此时可得；
当时,不等式可化为,
设,则,
设,则,
所以单调递增,所以当时,,,
当时,,,
所以函数在和上都为增函数,
取,则,
设,
则当时,,
所以在上单调递增,
所以当时,,
所以当时,,
所以的最小值为,即,
所以当和时,没有最小值,
但当x趋近－1时,无限趋近,
且,又恒成立,所以,所以．
综上,k的取值范围为．
【例3】（2023届安徽省亳州市第一中学高三最后一卷）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当,方程有两个不同的实根时,且恒成立,求正数的取值范围.
【解析】（1）由题可得设,,
①当时,递增,且,所以有一个变号零点,
②当时,在上递增,在上递减,且,
[1]当时,即时,所以无变号零点；
[2]当,即时,,
由取,则,所以有两个变号零点；
综上：当时,有1个极小值点,无极大值点；
当时,有1个极小值点和1个极大值点；
当时,无极值点.
（2）时,即即有两个不同的根,
,,
,
即,即,
.
下证对恒成立,
设,
①当时,,
；
②当时,,
使得时,,所以在上,,在上,,不存在使不等式成立；
综上：.
【例4】（2024届湖南省部分重点学校高三上学期入学摸底考试）已知函数,．
(1)当时,求曲线在处的切线方程；
(2)若存在极值点,且,求的值,并分析是极大值点还是极小值点．
【解析】（1）当时,,,
,又,
在处的切线方程为：,即.
（2）,,即①；
,,
,,又,,即,
,,代入①式得：,
令,,则,
当时,；当时,；
在上单调递减,在上单调递增,,
有唯一解,此时；
当时,,,
令,则,令,解得：,
当时,；当时,；
在上单调递减,在上单调递增,
又,,,
当时,,即；当时,,即；
在上单调递减,在上单调递增,
是的极小值点.
四、跟踪检测
1.（2024届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时,有解,求的取值范围．
【解析】（1）,
当时,恒成立,函数在区间上单调递减,无极值；
当时,令 ,得,
,得,函数在区间上单调递减,
,得,函数在区间上单调递增,
当,函数取得极小值,
综上可知,时,函数的单调递减区间是,无增区间,无极值；
时,函数的单调递增区间是,单调递减区间,极小值,无极大值.
（2）由题意可知,,时有解,
则,在时有解,即,
设,,
,
令,得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以的最大值为,即,
所以实数的取值范围是.
2．（2024届山西省吕梁市高三上学期质量检测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若的两个极值点分别为,,证明：．
【解析】（1）依题意,,
当时,,所以在上单调递减；
当时,令,解得或,令,解得
,所以在上单调递增,在
上单调递减,在上单调递增；
当时,,所以在上单调递增．
（2）不妨设,由（1）知,当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以是的极大值点,是的极小值点,所以,所以．
由（1）知,,,则．
要证,只需证．
因为
,
设,．
所以,
所以在上单调递增,所以．
所以,即得成立．
所以原不等式成立．
3．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)当时,求函数的极值.
【解析】（1）,
若,由,得；由,得,
的递减区间为,递增区间为.
若,由,得；由,得,
的递减区间为,递增区间为.
（2）当时,,
.
由,得或.
当变化时,与的变化情况如下表：
,
.
4．（2024届辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体高三第一次摸底）已知函数．
(1)当时,求证；
(2)令,若的两个极值点分别为,求证：．
【解析】（1）令,
则,
令,则,
所以在上单调递增,则,
所以在上单调递增,则,所以；
（2）由题可得,
则．令,
当时,,则,
令,则,所以在R上单调递减,
又,,
所以存在,使得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
又,所以,,
因为,,
所以曲线在处的切线方程为,
在处的切线方程为．
令,
则,
令,则,所以在R上单调递增,
又,所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,所以,
即；
令,则,
令,
则,所以在R上单调递增,
又,所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,所以,
即．
所以当时,曲线在,处的切线,均不在图象的下方,
所以,
,
得,．
所以,即．
5．（2024届江苏省镇江中学高三上学期学情检测）已知函数.
(1)当时,判断的单调性；
(2)当时,记的零点为的极小值点为,判断与的大小关系,并说明理由.
【解析】（1）当时,,的定义域为,
所以,
令,解得：,令,解得：,
所以在上单调递增,在上单调递减.
（2）因为,则,
当时,则,故在上单调递增,
又,
所以存在唯一的,使,
因为,则,
令,则,
所以在上单调递增,即在上单调递增,
又,
所以存在,使,
则当时,；当时,；
所以在单调递减,在上单调递增,
所以为的极小值点,故,
由可得,故,
所以,
又,所以,
又因为,且在上单调递增,
所以.
6．（2024届湖南省衡阳市高三上学期8月测试）已知,.
(1)证明：当,有且只有2个零点；
(2)讨论是否存在使有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整,有明确的结论）
【解析】（1）因为,所以定义域为,,
因为,所以令得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以有最大值为,
因为,所以,所以,
因为当时,单调递减,且,所以在上只有一个零点；
因为当时,单调递增,且,
所以在上只有一个零点；
综上,当,有且只有2个零点.
（2）令,
则定义域为,,
令,则,
因为,所以令得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,取得最大值,
当,即时,,即恒成立,
所以单调递减,此时不满足题意；
当,即时,
由于当时,,当时,,
所以有两个解,即有两个解,且从递增到一个正数,然后再递减到,
所以存在极小值,
即存在使得有极小值.
7．（2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期开学联考）已知函数
(1)若,求曲线在点处的切线方程；
(2)若是的极大值点,求的取值范围.
【解析】（1）当时,,则,
,又,
在点处的切线为：,即.
（2）由题意知：,恒成立；
是的极大值点,
存在,使得当时,；当时,；
令,
则,.；
①若,即时,存在,使得当时,,
在上单调递增,则当时,,
在上单调递增,不合题意；
②若,即时,；
令,则,
当时,；当时,；
在上单调递增；在上单调递减；又,
当时,,在上单调递减,
,当时,,当时,,
在上单调递增,在上单调递减,符合题意；
③若,即时,存在,使得当时,,
在上单调递减,
,当时,；当时,；
在上单调递增,在上单调递减,符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
8．（2023届西藏昌都市第一高级中学高三高考全真仿真考试）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若为函数的极值点,求证：．
【解析】（1）定义域为,
则,
①当时,恒成立,
所以在上单调递增；
②当时,,,
所以单调递增区间为,单调递减区间为；
综述：①当时,单调递增区间为；
②当时,单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）（）
则,
因为是函数的极值点,
所以,即：,
要证,
只需证,即证：,
令,则,
当时,,单调递增；
当时,,单调递减；
所以,即：,
所以,
所以,
①当时,
因为,,
所以.
②当时,
因为,
所以,
所以,
要证,
只需证,
即证对任意的恒成立,
令（）,
则,
当时,,单调递增；
当时,,单调递减,
所以,
即当时,成立.
综述：原不等式成立.
9．（2023届四川省绵阳市测试）已知函数．
(1)若在上存在单调减区间,求实数的取值范围；
(2)若在区间上有极小值,求实数的取值范围．
【解析】（1）函数,求导得,
因为函数在上存在单调减区间,则不等式在上有解,
即在上成立,而函数在上递减,显然,于是,
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知,,即,解得,
当或时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,因此函数在处取得极小值,
于是,即,当时,不等式成立,当时,解得,则,
所以实数的取值范围是.
10．（2024届广东省华南师范大学附属中学高三上学期开学测数）已知函数
(1)当时,函数在上有极小值,求实数的取值范围
(2)若,,证明
【解析】（1）题意知在上有极小值,
则在有解,
故,设,
显然在单调递增,
又,,所以.
当时,在单调递增,
又,,
由零点存在定理可知,且,
此时当时,,当时,,
所以在上单调递减,
在上单调递增,故在上有极小值点.
因此实数的取值范围.
（2）由题得,,,
在上小于,在上大于.
在上单调递减,在上单调递增.
最小值为
只需证明,即,即,
因为,
所以, 该式子显然成立,即.
11．（2024届湖北省腾云联盟高三上学期8月联考）已知函数.
(1)证明：有唯一的极值点；
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】（1）证明：定义域为,
由,得,
令,则,
所以在上单调递增,
因为,且,,且当时,,
所以的值域为,
所以有唯一的零点,使得,
当时,,单调递减；当时,,
单调递增,所以有唯一的极值点,
（2）由（1）知,在取得极小值点,也是最小值点,
由得,
所以
,
当时,,,所以；
当时,,,所以,
因为,所以
设,则
所以在上单调递减,
所以,即
12．（2024届贵州省高三上学期入学考试）定义函数,其中．
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间上,有且只有两个不同的极值点．
【解析】（1）当时,,则,
所以,
故所求切线方程为．即；
（2）由题意得,
当时,．
函数,,
所以在R上单调递增,并且当 趋于时趋于,当x趋于时y趋于,
所以存在唯一实数,使得,
又当时,,
所以当时,；当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故是在区间上唯一的一个极值点；
同理可证,存在唯一的,使得,此时,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
故是函数在上唯一的一个极值点；
又,不是函数的极值点,
所以在区间上,有且只有两个不同的极值点．
综上,所求的切线方程为.2
-
0
+
0
-
递减
极小值
递增
极大值
递减