【专题复习】高考数学 专题8 极值点偏移问题.zip

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函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现与函数极值点偏移有关的函数与不等式问题（如2022高考全国卷甲理22）,已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点,我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.此类问题背景新颖,教材中又没有涉及,不少同学望而生畏,本专题给出此类问题的常用解法,共同学们参考.
二、解题秘籍
(一) 通过对称化构造新函数破解极值点偏易问题
【以例及类】已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数的图像与的图像关于直线对称,证明：当时,；
(3)如果,且,证明：．
【分析】(1)由可得在上递增,在上递减；
(2),构造函数,,由单调性可得时；
(3)假设,由(2)得,即,由在上递增,可得.
该题的三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程,直观展示如下：
该题是这样一个极值点偏移问题：对于函数,已知,,证明．
再次审视解题过程,发现以下三个关键点：
= 1 \* GB3 ①,的范围；
= 2 \* GB3 ②不等式；
= 3 \* GB3 ③将代入（2）中不等式,结合的单调性获证结论．
小结：用对称化构造的方法求解极值点偏移问题大致分为以下三步：
= 1 \* GB3 ①求导,获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围（数形结合）；
= 2 \* GB3 ②构造辅助函数（对结论,构造；对结论,构造）,求导,限定范围（或的范围）,判定符号,获得不等式；
= 3 \* GB3 ③代入（或）,利用及的单调性证明最终结论．
下面给出第(3)问的不同解法
【解析】法一：,易得在上单调递增,在上单调递减,时,,,时,, 函数在处取得极大值,且,如图所示.
由,不妨设,则必有,
构造函数,
则,所以在上单调递增,,也即对恒成立.
由,则,
所以,即,又因为,且在上单调递减,
所以,即证
法二：欲证,即证,由法一知,故,又因为在上单调递减,故只需证,又因为,
故也即证,构造函数,则等价于证明对恒成立.
由,则在上单调递增,所以,即已证明对恒成立,故原不等式亦成立.
法三：由,得,化简得…,
不妨设,由法一知,.令,则,代入式,得,反解出,则,故要证：,即证：,又因为,等价于证明：…,
构造函数,则,
故在上单调递增,,从而也在上单调递增,,即证式成立,也即原不等式成立.
法四：由法三中式,两边同时取以为底的对数,得,也即,从而,
令,则欲证：,等价于证明：…,
构造,则,
又令,则,由于对恒成立,故,在上单调递增,所以,从而,故在上单调递增,由洛比塔法则知：,即证,即证式成立,也即原不等式成立.
【例1】（2023届贵州省威宁彝族回族苗族自治县高三数学样卷）已知函数.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若函数有两个极值点，证明：.
【解析】（1）当时，在恒成立，
令，，
则，
函数在上单调递减，
，
，
的取值范围是．
（2）函数，．
则，
函数有两个极值点，，
有两个正实数解方程有两个正实数解函数与函数，的图象有两个交点．
，令，解得，
当时，则单调递增，当时，则单调递减，
函数的极大值即最大值为．
又时，且当时，，又，
．
不妨设，
要证明，．
令，，．
所以
，
当且仅当，即时取等号，
函数在单调递增，
，，即，
因此成立．
(二) 含参函数问题可考虑先消去参数
含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.由于可导函数的极值点是的零点,也是方程的实根,所以有些与零点或方程实根有关的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决.
【一题多解】已知函数,为常数,若函数有两个零点,
试证明：
【分析】法一：消参转化成无参数问题：
,是方程的两根,也是方
程的两根,则是,设,,则,从而,此问题等价转化成为【例1】,下略.
法二：利用参数作为媒介,换元后构造新函数：
不妨设,
∵,∴,
∴,欲证明,即证.
∵,∴即证,
∴原命题等价于证明,即证：,令,构造,利用单调性求解,下略.
法三：直接换元构造新函数：
设,
则,
反解出：,
故,转化成法二,略.
【例2】（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）函数有两个极值点．其中，为自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由于，
由题知有两个不同实数根，即有两个不同实数根．
令，则，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，故的图象如图所示，

当时，有两个零点且．则或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值点为，极小值点为．
故有两个极值点时，实数的取值范围为．
（2）由于
若设，则上式即为
由（1）可得，两式相除得，即，
由得
所以，令，
则在恒成立，由于，
令，则，，
显然在递增，
又有，所以存在使得，
且易得在递减，递增，又有，
所以存在使得，且易得在递减，递增，
又，则时，时，，所以易得在上递减，在上递增，则，
所以的取值范围为．
(三) 对数平均不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时,等号成立.
【例3】设函数其图象与轴交于两点,且.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：为函数的导函数）；
【分析】（1）,,当时,在R上恒成立,不合题意
当时,
当,即时,至多有一个零点,不合题意,故舍去；
当,即时,由,且在内单调递减,故在有且只有一个零点；由
令,则,故
所以,即在有且只有一个零点.
（2）由（1）知,在内递减,在内递增,且
所以,因为,
,即,所以
所以,要证：,只须证,即
故,,
所以,所以
因为,所以,而
所以成立,所以
【评注】根据对数平均不等式求解的步骤是：
1.通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出,
2.通过等式两边同除以构建对数平均数,
3.利用对数平均不等式将转化为后再证明（或）. 两种方法各有优劣,适用的题型也略有差异.
(四) 一题多解赏析
【例4】已知,．若有两个极值点,,且,求证：
【分析】解法一
欲证,需证．
若有两个极值点,,即函数有两个零点．又,所以,,是方程的两个不同实根．
于是,有,解得．
另一方面,由,得,
从而可得,．
于是,．
又,设,则．因此,,．
要证,即证：,．即：当时,有．构造函数,,利用为上的增函数求解.
解法二
欲证,需证．若有两个极值点,,即函数有两个零点．又,所以,,是方程的两个不同实根．显然,否则,函数为单调函数,不符合题意．
由,问题转化为证明,构造函数
函数,根据在上递增,可得=0,
所以,设,由在上递增可证.
解法三
由,是方程的两个不同实根得,令,,由于,因此,在,．
设,需证明,只需证明,只需证明,即,即．来源： 微信公众号 中学数学研讨部落
即,,故在,故,即．令,则,因为,,在,所以,即．
解法四
设,,则由得,设,则,．欲证,需证,把代入整理得
,构造证明.
设,,则由得,设,则,．欲证,需证,即只需证明,即,设,,故在,因此,命题得证．
(五) 2022届高考全国卷甲理22题解析
极值点偏移问题前几年高考曾经考查过，2022年高考全国卷甲理再次考查极值点偏移问题，该题有一定难度，但用前面介绍的方法可以轻易解决，下面给出两种解法，共同学们参考：
【例5】已知函数．
（1）若,求a的取值范围；
（2）证明：若有两个零点,则．
【解析】解法一：
（1）因为,
令,得
当单调递减；当单调递增,
所以,
若,则,即,
所以的取值范围为.
（2）由（1）知, 单调递减；当单调递增,
若有两个零点,则一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设
要证,即证,
因为,即证,因为,即证
即证,
即证,
下面证明时,,
设,
则
,
设,
所以,而,
所以,所以,
所以在单调递增
即,所以
令
,
所以在单调递减,
即,所以；
综上, ,所以.
解法二：
（1）因为,
设,则,
所以时,递减,时,递增,
,
设,则为增函数,,
若,则,即,
所以的取值范围为.
（2）由（1）知有两个零点,则方程有两个实根,
因为时递减,时递增,
不妨设,
由得,
所以要证,即证,即证,
即证,
设,即证,
设,则,
所以为增函数,,
所以成立.
三、典例展示
【例1】（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若不等式有解，求实数t的取值范围；
(3)若函数有两个零点x1，x2，证明：．
【解析】（1），
单调递增；
单调递减；
（2）有解，
所以，，
，
单调递增，
单调递减；
单调递增；
所以，
所以.
（3）有两个零点x1，x2，
有两个根x1，x2， 不妨设，由（1）可知两根也是与的两个交点，
且，，于是，由于在单调递减，故等价于．
而，故等价于．①
设，则①式为．
因为．
设，
当时，，故在单调递增，
所以，从而，因此在单调递增．
又，故，故，于是．
【例2】（2024届浙江省名校协作体高三上学期7月适应性考试）已知函数有两个零点.
(1)证明：；
(2)求证：①；②.
【解析】（1）由，当时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，
当时，，所以，
若，即时，则时，此时在上不存在零点，
要使有两个零点，故.
（2）①要证，不妨设，则证，
因为在上单调递增，即证，
令，，则，
所以在单调递增，所以，即，得证；
②引理1：当时：
证明：当时，得证.
利用引理1：，所以①，
引理2：：
证明：令，
则，当时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
利用引理2，因为，所以，
所以，所以②，
由①，②知：.
【例3】（2023届江苏省常州市高三上学期期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在两个零点，，求a的取值范围，并证明：.
【解析】（1）因为函数的定义域为，，
当时，，在上递增；
当时，由得，，
时，，递增；
时，，递减.
综上，当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减.
（2）由（1）知，且，解得，
当时，，所以在上存在唯一零点，记为；
因为，所以，因为，
设，，则，
所以在上递减，
所以，即，
所以在上存在唯一零点，记为，
因为a的取值范围是.
因为，令，
则，得，
所以，
要证，只要证，只要证，
设，，
则，所以在上递增，
所以，得证．
【例4】（2023届江西省九江第一中学高三上学期12月月考）已知函数有两个极值点，.
(1)求的取值范围；
(2)证明：.
【解析】（1）,
有两个极值点，，则在上有两个实数根，，
所以在上有两个实数根，，
则解得，
故的取值范围为，
（2）由（1）知，且，
，
令，，
令在上恒成立，
所以在单调递减，故，
因此在单调递减，故，
故，得证.
【例5】（2023届广东省高三上学期第一次联考）已知函数，．
(1)若，判断函数的单调性；
(2)若函数的导函数有两个零点，证明：．
【解析】 (1)若，则，
所以，
由，得；
由，得．
所以在上单调递增，在上单调递减．
(2)因为函数，所以，
所以．
若函数有两个零点，
则方程的判别式，
，
所以．
又，所以，即，
，
欲证，只需证，
即证．
设，其中，
由，得．
因为，所以，
由得；由得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
从而成立．
四、跟踪检测
1.（2023届河北省部分高中高三三模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若为函数的导函数，有两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
2．（2023届云南师大附中高考适应性月考）已知函数，且，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，函数有三个零点，，，且，试比较与2的大小，并说明理由．
3．（2024届四川省绵阳市高中高三突击班诊断性考试）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，且. 若，证明：.
4．（2023届海南省海口市海南华侨中学高三模拟测试）已知函数（）有两个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数的两个零点分别为，，证明：.
5．（2023届湖南省常德市第一中学高三下学期5月月考）已知函数
(1)求的单调区间;
(2)若存在实数，使得方程有两个不相等的实数根，求证：
6．（2023届北京市通州区高三考前查漏补缺）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明.
7．（2023届安徽省皖江名校高三最后一卷）已知函数有两个极值点，且.
(1)求的取值范围；
(2)若，证明：
8．（2024届山东省新高考质量检测联盟高三第一次质量检测）已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.
9．（2023届海南省海口市等5地高三上学期12月期末）已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．
10．（2023届江苏省镇江中学高三三模）已知函数.
(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.
(2)在（1）的条件下，求证：.
11．（2023届福建省宁德市五校教学联合体高三下学期3月质量监测）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、，证明