天津市第一中学2023-2024学年高二下学期期中质量调查数学试卷（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的乘法法则求导判断．
【详解】；；；，
只有C正确．
故选：C．
2. 曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设 ， ，曲线在点处切线方程为 化为，故选B.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于简单难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
3. 已知，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值.
【详解】函数，则，
令代入上式可得，则，
所以，
则，
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题.
4. 若函数在处取得极值，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验.
【详解】因为，所以，
又函数在处取得极值，
所以，即．
此时，
当或时，，当时，，
故是的极大值点，故符合题意．
故选：D．
5. 函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数f（x）的导数，根据单调递增得最小值在x＝取到，进而计算即可．
【详解】，因为，所以，所以.
所以在上恒成立．得在上是增函数．
所以.
故选A
【点睛】本题考查了利用导数确定函数的单调性，求闭区间上的最值问题，属于基础题．
6. 已如的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式系数的单调性可得，即可由二项式系数和公式求解.
【详解】的展开式中第6项的二项式系数为，由于只有最大，所以，故二项式系数之和为，
故选：B
7. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0)B. C. (0,1)D. (0，＋∞)
【答案】B
【解析】
【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
8. 已知函数，则的图象大致为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊值的函数值符号排除A、C，利用函数的单调性判断B、D.
【详解】因为，所以A错误；
因为，所以C错误；
因为，所以D错误；
排除了ACD，而B选项中的图像又满足上述性质，故B正确.
故选：B
9. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算.
【详解】由题意可得：，
令，可得，
原题意等价于在上恒成立，
因为开口向下，对称轴，
可得在上单调递减，
当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
故选：A.
10. 已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用导数求出函数的单调区间及最值，从而可得出当时，函数零点的个数，即曲线与直线交点的个数，从而可得出答案.
【详解】解：令，
，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，当且仅当时，取等号，
所以当时，函数只有一个零点，
即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，
所以当时，曲线与直线没有交点，
所以.
故选：A.
第Ⅱ卷
二、填空题：（每小题4分，共24分）
11. 展开式中的系数为_________（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式的通项，从而计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
所以展开式中含的项为，
即展开式中的系数为.
故答案：
12. 若，则______．
【答案】2555
【解析】
【分析】分别赋值和即可求得答案.
【详解】因为，
所以令时，
，
即，
令时，
，
即，
所以
，
故答案为：2555.
13. 四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为______.（用数字作答）
【答案】1024
【解析】
【分析】利用乘法原理直接计算求解即可.
【详解】由题意可知，对于每个人，都有种借阅的可能，
根据乘法原理共有种不同的借阅方案，
故答案为：1024
14. 若函数的单调减区间是则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】由题设知上，利用根与系数关系有，即可求.
【详解】由题设，，
∴上，即是的两个根，
∴，可得.
故答案为：
15. 若函数在区间上有零点，则实数__________．
【答案】3
【解析】
【分析】先利用导数分析函数的单调性与极值，再根据零点存在性定理求出函数的零点所在区间，进而确定的值.
详解】由，
得，
令，则；令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数的极小值为，
又，
所以函数在上存在唯一零点，此时（舍去）；
因为，，
所以函数在上存在唯一零点，此时.
综上所述，.
故答案为：3.
16. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】对函数分成两段进行求解，当时，二次函数的对称轴，分成和两种情况讨论；当时，采用参变分离，构造函数求最值.
【详解】（1）当时，，过定点，对称轴为，
当时，，解得：，所以；
当时，在单调递减，且，所以；
所以在恒成立，可得.
（2）当时，恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以.
综合（1）（2）可得：.
【点睛】本题研究二次函数在的最小值时，利用函数恒过定点，使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴和两种情况.
三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列和期望；
（2）求小明至少答对一道题的概率.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据离散型分布列的解题步骤，结合数学期望的定义，可得答案；
（2）根据题意，求出小明答对0道题的概率，可得答案.
【小问1详解】
由题意可知，
则，，
，，
所以的分布列如下：
.
【小问2详解】
设小明至少答对一道题为事件
则.
故小明至少答对一道题的概率为.
18. 已知函数.
（1）求的单调区间与极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）最大值为54，最小值为.
【解析】
【分析】（1）利用导数研究的单调性，并求出极值即可；
（2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值.
【小问1详解】
由题设，令，得或，
当时，即，解得或，单调递增区间为和.
当时，即，解得，单调递减区间为.
函数极大值为，极小值为.
【小问2详解】
由，，，则
且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为.
19. 已知，.
（1）若，求函数的图象在处的切线方程；
（2）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）由参变量分离法可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，，
此时，函数的图象在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：对一切实数，不等式恒成立，即，
可得，即，
令，其中，
则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，则，解得.
20. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当函数有两个极值点，且.证明：.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）求出 ，然后对 和 分类讨论，由在不同区间内的符号可得原函数的单调区间，进而判断原函数的单调性；
（2）由（1）知，当时，有两个极值点且满足，由题意可知，可得 ，令， ，利用导数求其最大值可得结论 .
小问1详解】
函数的定义域为，则，
令，即，则
当，即时，，此时在上单调递减；
当，即当或时，若，
方程的两根为，则两根均为正根，
且，则时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
若，恒成立，所以在上单调递减；
综上，当，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
证明：由（1）知，当时，有两个极值点，满足，则
，
所以

令， 则
，
则当时，，单调递增，当，，单调递减，
所以，
即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.