广东省中山市中港英文学校2023-2024学年八年级下学期期中数学A卷（原卷版+解析版）

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1. 下列长度的三条线段可以组成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 4，5，6C. 1，2，3D. 5，7，11
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较短两边的平方和等于较长一边的平方能构成直角三角形，逐项判断即可．
【详解】解：A．，3，4，5三条线段可以组成直角三角形，故符合题意；
B．，4，5，6三条线段不以组成直角三角形，故不合题意；
C．，1，2，3三条线段不以组成直角三角形，故不合题意；
D．，5，7，11三条线段不以组成直角三角形，故不合题意；
故选：A．
2. 如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、利用邻补角求角的度数，先由平行四边形的性质得出，再由邻补角求解即可，熟练掌握平行四边形的对角相等是解此题的关键．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
，
，
故选：B．
3. 如图，表示y是x的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【详解】解：A、垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A符合题意；
B、垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象会有两个交点，故B不符合题意；
C、垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象会有两个交点，故C不符合题意；
D、垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象会有两个交点，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简，根据二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的性质逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等B. 对角相等
C. 对角线相等D. 对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．
6. 要使二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 为任意实数
【答案】A
【解析】
【分析】由二次根式的定义，被开方数，则问题可解.
【详解】解：∵
∴
故应选A
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答关键是根据被开方数为非负数构造不等式．
7. 把化成最简二次根式为（ ）
A. 27B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式运算法则化简即可求出答案．
【详解】解：原式＝=，
故选D．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
8. 如图，在中，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点，于点H，，则HE等于（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出
【详解】解：∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AC；
∵FD=8
∴AC=16
又∵E是线段AC的中点，AH⊥BC，
∴EH=AC，
∴EH=8．
故选C．
【点睛】本题综合考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．
9. 如图，在中，，，，将它锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：点为的中点，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
，
故选：D．
10. 如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（ ）

A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，再由勾股定理，从而可得出的值．
【详解】解：设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，
∵
∴，即．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，要注意的是本题中求不出两直角边的值，注意完全平方公式的灵活运用，有一定难度．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11. 计算的结果等于_______．
【答案】2
【解析】
【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，
故答案：2
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．
12. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝_____．
【答案】50°
【解析】
【详解】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
13. 菱形的两条对角线分别长为10cm，24cm,则菱形的面积为_____cm2.
【答案】120 cm2
【解析】
【分析】利用菱形的面积公式：对角线之积的一半进行计算即可得．
【详解】∵菱形的两条对角线分别长为10cm，24cm，
∴菱形的面积为：=120cm2，
故答案为120.
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于菱形对角线积的一半是解题的关键.
14. 如图，一只蚂蚁从长、宽、高是的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图1所示展开时：
，
此时；
如图2所示展开时：
，
此时，
，
它需要爬行的最短路线的长是，
故答案为：．
15. 如图所示的网格是正方形网格，则_______（点A，B，C，D，E是网格线交点）．
【答案】
【解析】
【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．
【详解】连接AD，如图：
∵，，，
即，
∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC，
∴∠ACD，
∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
16. 如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点．求证：四边形ADEF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理可得DEAC，EFAB，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
【详解】证明：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE AC，
∵E、F分别为BC、AC中点，
∴EFAB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，以及平行四边形的判定定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的乘除法，最后计算加减即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求边长，，；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【小问1详解】
解：（1），，，
，，；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是求边长，，．
19. 如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证．
【详解】证明：，，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
，
四边形是矩形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
20. 小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小敏去超市途中的速度是多少，在超市逗留了多少时间；
（2）小敏几点几分返回到家．

【答案】（1）300米/分， 30分；（2）8：55．
【解析】
【分析】（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段；
（2）求出返回家时的函数解析式，当y=0时，求出x的值，即可解答．
【详解】解：（1）速度为：3000÷10=300（米/分）
逗留的时间为：40－10=30（分钟）
（2）设返回家时，y与x的函数解析式为y=kx+b，把（40,3000），（45,2000）代入得：
解得：
∴函数解析式为：y=－200x+11000
当y=0时，x=55
∴返回到家的时间为8：55．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获取信息是解题关键．
21. 如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.

（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【解析】
【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；（2）易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险．
【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴AC=3米，BC=5米，
∴旗杆距地面3m处折断；
（2）如图，

∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米，
∴BD=8-1.75=6.25米，
∴AB==6米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22. 在四边形中，对角线交于点，点中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作，交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形（除外）．
【答案】（1）见解析 （2）图中所有与面积相等的三角形有，，，
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、利菱形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明得出，结合推出四边形是平行四边形，再结合即可得出四边形是菱形；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得出结论．
【小问1详解】
证明：，
，，
点是中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
图中所有与面积相等的三角形有，，，．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第23题10分，第24题12分，共22分）
23. 阅读下面问题：
试求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）试计算（n为正整数）的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据题目中的例子，计算即可得出答案；
（2）根据题目中的例子，计算即可得出答案；
（3）根据题目中例子得出，结合规律代入计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
…，
，
．
24. 如图，正方形的边在坐标轴上，点B坐标为．将正方形绕点A顺时针旋转角度，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段于点P，连，

（1）求证：；
（2）求的度数；并判断线段之间的数量关系，说明理由；
（3）当时，求的值；
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）；；
（3）；
（4）点坐标为或．
【解析】
【分析】（1）由，，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出即可．
（2）首先根据三角形全等的判定方法，判断出，再结合，可得，；然后根据，求出的度数；最后判断出线段、、之间的数量关系即可．
（3）首先根据，判断出；然后根据，，判断出当时，，而，求出；在中，利用勾股定理即可求解；
（4）根据题意，分两种情况：①当点在轴的负半轴上时；②当点在的延长线上时；根据是等腰三角形，求出点坐标是多少即可．
【小问1详解】
证明：∵正方形是正方形旋转得来的，
∴，，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：同理，
则；
∵，
；
又，
，
，
，
∴；
∵，
，
∵，
，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
，
又，，，
，
又，
，
又，
，
；
∴在中，，，
∴
解得；
【小问4详解】
解：①如图1，当点在轴的负半轴上时，

，点A坐标为，
点坐标为；
②如图2，当点在的延长线上时，

由（3），可得，
与的交点，满足，
点的横坐标是0，点横坐标为，
的横坐标是，纵坐标是3，
点坐标为，．
综上，可得点坐标为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等边三角形判定与性质，解题的关键是：（1）通过解含30度角的直角三角形求出的长度；（2）利用等腰三角形的性质确定点M的位置．