广西壮族自治区南宁市良庆区银海三雅学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上。
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移前后，图形的形状，大小和方向，都不发生改变，进行判断即可．
【详解】解：∵平移前后，图形的形状，大小和方向，都不发生改变，
∴只有A选项符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查图形的平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
2. 下列四个图形中，和是对顶角的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角的定义即可作答．
【详解】对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
结合图形可知C项符合要求，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义．对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．掌握对顶角的定义是解答本题的关键．
3. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. B. 3.1415C. 0.5D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【详解】解：A.＝2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 一个角的补角一定大于这个角B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 对顶角相等D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是真假命题，掌握真假命题的判断方法是解题关键．
依据互补的概念、平行线的性质、对顶角的性质、平行线的判定、平行公理等知识点即可解答．
【详解】A．当一个角为直角时，补角等于这个角，为钝角时，其补角为锐角小于这个角，是假命题，故该选项不符合题意；
B．在平面内同旁内角互补，两直线平行，原表述是假命题，故该选项不符合题意；
C．对顶角相等是真命题，故选项符合题意；
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原表述是假命题，故该选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，是小宇在某动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图，若以大门为坐标原点，其他四个景点大致用坐标表示肯定错误的是（ ）
A. 熊猫馆B. 百鸟园C. 驼峰D. 猴山
【答案】B
【解析】
【分析】以大门为坐标原点建立直角坐标系，燃后根据各象限点的符号特征解答即可．
【详解】解：若以大门为坐标原点建立直角坐标系，如图，
则下列坐标符号分别是熊猫馆，猴山，百鸟园，驼峰，
所以可确定B错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了用坐标确定位置，关键是正确建立坐标系，掌握四个象限内点的坐标符号．
6. 如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B．根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C．根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：C．
7. 如图，，，，点D是线段上的动点，则A、D两点之间的距离可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点D是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案．
【详解】解：∵，，，点D是线段上的动点，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短．
8. 如图，，BC平分，，则∠B的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线性质得，，求出，利用角平分线的定义求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵BC平分，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质．两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
9. 已知，，为相邻整数，则的值为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握一个数的算术平方根是解题的关键．
10. 已知关于x，y的方程组的解为，则（ ）．
A. 3B. C. 5D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
①+②得：3m-4n=11，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，也考查了代数式求值．
11. 若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A. -1B. -3C. -2D. -3或-1
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵，
∴且，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
12. 《九章算术》中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各买得多少？设醇酒买得x斗，行酒买得y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设醇酒买得x斗，行酒买得y斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”列出方程组．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若，则__________（填“>”、“=”或“<”）
【答案】>
【解析】
【分析】根据不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得答案．
【详解】解：，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．
14. 已知点P的坐标是，若点P在y轴上，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0，进行求解即可．
【详解】解：点在y轴上，
，
故答案为：．
15. 已知正数的两个不同的平方根是和，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出的值．
【详解】解：∵正数的两个不同的平方根是和，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
16. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______．
【答案】##20度
【解析】
【分析】过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
又，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AM，根据点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），得到OA=4，OB=3，OM=3，过M作MP⊥AB于P交OA于N，则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接AM，
∵点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，OM=3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，
∵， BM=6，OA=4，AB=5，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短的应用，坐标与图形性质，三角形的面积公式，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先求算术平方根，绝对值，立方根，乘方，再计算加减即可．
【详解】解：
．
20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
21. 如图，三角形三个顶点的坐标分别为；，．将三角形向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形．

（1）画出三角形，顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ；
（2）求三角形的面积；
（3）已知点P在x轴上，以为顶点的三角形的面积为6，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）图见解析，，
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据点的平移规则“左减右加，上加下减”，确定出点的位置，即可求解；
（2）利用割补法，求解的面积即可；
（3）设点的坐标为，根据以为顶点的三角形的面积为6，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即所求，

由图像可知，，
【小问2详解】
；
【小问3详解】
设点的坐标为，
∵以为顶点三角形的面积为6，
∴
解得或
即点的坐标为或
【点睛】本题考查了作图-平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点，即可得到平移后的图形，解题的关键是熟练掌握平移的有关性质．
22 如图，直线相交于点 O，于点 O．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见详解 （2）的度数为，的度数为．
【解析】
【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得，，结合已知可得，再根据与互补，即可解答；
（2）根据，可得，再根据，，从而求出的度数，即可求出和的度数．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
，即，
．
的度数为；
∴
【小问2详解】
解：，
，
，
，即，
解得，
，．
的度数为，的度数为．
23. 如图，在中，D是AB边上一点，H是BC边上一点，过点H作交AB于点F，E是AC边上一点，连结DE，．
（1）判断DE与BC是否平行，并说明理由．
（2）若DE平分，，，求的度数．
【答案】（1）DE∥BC，理由见解析
（2）50°
【解析】
【分析】（1）只需要证明∠DCH=∠CDE，即可证明DE∥BC；
（2）根据DE∥BC得到∠B=∠ADE，∠DEC+∠BCE=180°，再根据，∠ACD=35°，∠BCD=∠EDC，求出∠EDC=50°，再由角平分线的定义求出∠ADE的度数即可得到答案．
【小问1详解】
解：DE∥BC，理由如下：
∵HF∥CD，
∴∠FHC+∠DCH=180°，
∵∠FHC+∠CDE=180°，
∴∠DCH=∠CDE，
∴DE∥BC；
【小问2详解】
解：∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠DEC+∠BCE=180°，
∵∠DEC=∠DCB+45°，
∴∠DCB+45°+∠ACD+∠BCD=180°，
∵∠ACD=35°，∠BCD=∠EDC，
∴2∠EDC=45°+35°=180°，
∴∠EDC=50°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC=50°，
∴∠B=∠ADE=50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
24. 观察下列算式的特征及运算结果，探索规律：
（1）观察算式规律，计算，
（2）用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ，
（3）计算：
【答案】（1）6，27
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可；
（2）根据原题的算式写出规律即可；
（3）利用（2）中找到的规律化简每个算式，再进行加减运算即可．
【小问1详解】
解：，，
故答案为：6，27；
【小问2详解】
由题意得到或；
【小问3详解】
；
【点睛】此题考查了二次根式的运算，读懂题意，熟练应用二次根式的运算法则，找到规律是解题的关键．
25. 元宵灯谜会是铁一曲江每年开学举办的重要项目，本学期伊始我校举行了“龙腾东方，喜闹元宵”主题猜灯谜活动．与此同时，语文组老师们为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个钢笔和1个笔记本需花费20元，购买1个钢笔和4个笔记本需花费38元．
（1）求钢笔和笔记本两种奖品的单价；
（2）学校需采购两种奖品共60个，要求购买钢笔和笔记本的总费用不超过400元，那么最多可以购买多少个笔记本？
（3）魏老师准备用120元购买钢笔和笔记本（两种都买），在钱刚好用完的条件下，她有哪几种购买方案？
【答案】（1）钢笔的单价为6元，笔记本的单价为8元；
（2）最多可以购买20个笔记本；
（3）共有4种方案：①钢笔4个，笔记本12个；②钢笔8个，笔记本9个；③钢笔12个，笔记本6个；④钢笔16个，笔记本3个．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔个，根据题意列出一元一次不等式求解即可；
（3）设购买钢笔a个，购买笔记本b个，根据题意列出二元一次方程，然后根据a，b都是正整数求解即可．
【小问1详解】
设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，
根据题意得，
解得
∴钢笔的单价为6元，笔记本的单价为8元；
【小问2详解】
设购买笔记本m个，则购买钢笔个，
根据题意得，
解得
∴最多可以购买20个笔记本；
小问3详解】
设购买钢笔a个，购买笔记本b个，
根据题意得，
整理得，
∵a，b都是正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，；
∴共有4种方案：①钢笔4个，笔记本12个；②钢笔8个，笔记本9个；③钢笔12个，笔记本6个；④钢笔16个，笔记本3个．
26. 如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M，F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设．
①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1），见解析
（2）①；②或，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．
（1）由平分，得到，又，所以
，证得；
①由平分，平分，得到，由可得，，，即可得到结果；
②当点G在点F的左侧时，由平分，平分，得到，由，得到，
，从而得到结果．
【小问1详解】
解：如图1，，
理由如下：
平分，
，
，
，
．
【小问2详解】
①如图2，平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
②和之间的数量关系为或．
理由如下：
当点G在点F的右侧时，由①得，
当点G在点F的左侧时，如图，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
综上得，和之间的数量关系为或．