江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，．若，则（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.
【详解】由，知，解得.
故选：C.
2. “”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由已知点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案.
【详解】由题意，点圆外，则有，
，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.
故选：B
3. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选：A.
4. 我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（ ）
A. 16B. 12C. 10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求得数列的前8项，通过观察找到规律，即可求解.
【详解】因为，，，，
所以，
，
，
，
，
，…，
可以看出数列的前20项为，
故.
故选：C.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由求出，再由条件概率公式计算可得.
【详解】因为，，，
所以，
所以，则.
故选：D
6. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解.
【详解】令外接球的半径为，依题意，，，
过点作，则，所以，
又，所以，
所以圆台的侧面积，
球的表面积，
所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.
故选：C
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解．
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，
设的内切圆与，相切于点，如图所示，
则，，
所以，
所以的周长为，
由椭圆定义可得，，
所以，则，
故选：B．
.
8. 在斜中，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得出，由为斜三角形，得出，再根据诱导公式，两角和的正切公式，基本不等式求解即可．
【详解】因为，
所以为锐角，，则，即，
所以，即，所以，
当时，即,所以，不合题意；
当时，，
所以，
所以
当且仅当，即时等号成立，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 已知，互为共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由复数的四则运算和复数模长公式验证各选项即可.
详解】令，
对A，，
则不一定成立，故A选项错误；
对B，，故B选项正确；
对C，，故C选项正确；
对D，，故D选项正确.
故选：BCD
10. 已知函数满足，则（ ）
A. B. C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法求得，，可判断各选项的正误。
【详解】令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；
，则,，B选项错误；
函数，定义域为R，，
为偶函数，C正确，D错误.
故选：AC
11. 已知平行六面体的棱长均为2，，点在内，则（ ）
A. 平面B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由面面平行的判定及性质即可判断A；以为基底，证明出平面，即可判断B；由即可判断出D；由正弦定理，勾股定理及函数单调性即可判断出C．
【详解】对于A，连接，
由平行六面体得，平面平面，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面，故A正确；
对于B，以为基底，
则，，，
因为平行六面体的棱长均为2，，
所以，
，
所以，
因为平面，且，
所以平面，又平面，
所以，故B正确；
对于D，，
，即，
所以，当点共线时等号成立，故D正确；
对于C，因为平面，则交的外心，连接，
则，
在中，由正弦定理得外接圆直径，，则，，
设，
在中，，
在中，，
则，
所以，故C错误；
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：在平行六面体中，已知棱长均为2，，处理该几何体中的位置关系及数量关系时，以为基底，利用向量解决问题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，，则集合的元素个数为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用列举法求解集合，即可求解.
【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，
当时，时可满足，
时，，时，均不满足，
当时，可满足，时，，时，均不满足，
所以，故集合的元素有2个，
故答案为：2
13. 在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，利用勾股定理得到，再由两角和的正切公式及锐角三角函数求出、，最后根据计算可得.
【详解】连接，依题意，设，，则，
又，
即，即，
即，显然，则，即，
又，所以，整理得，
即，解得，所以，
所以
故答案为：
14. 已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】令得，四边形为菱形，由得，又，得，由，代入函数解析式求的值.
【详解】函数，，
若，恒成立，在上单调递增，不合题意，
时，，得，
则，，
四边形为菱形，则，
，故，，
，则，，
由，化简得，令，则，
即，解得，故，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点是用好四边形为菱形，由对角线互相垂直利用直线斜率得，利用对角线互相平分有，求出，由求的值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；
（2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】（1）X的分布列见解析，期望
（2）；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可
【小问1详解】
从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，
则随机变量的可能取值为1，2，3
，，，
的分布列为：
数学期望．
【小问2详解】
，，
，
．
关于的线性回归方程为；
在中，取，得．
预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．
16. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；
（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可．
【小问1详解】
当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即．
【小问2详解】
，令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，则，符合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，．
17. 在五面体中，平面，平面．
（1）求证：；
（2）若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面，平面，得，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理，即可得出答案．
（2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以,建立坐标系，利用向量垂直可得,求解两平面的法向量，进而可得求解．
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以．
【小问2详解】
由于平面，，所以平面，平面，故,
又因为平面，平面，
所以，
又，平面，所以平面
由于，则,故,
故为等腰直角三角形，所以,
如图以为坐标原点，所在的直线分别为，，轴建系，
设，则，
故
由于，所以，故，
设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,，
因为，，
所以，即
令，则，
因为，，
所以，即
令，则，
设成的角为，由图可知为钝角，
所以，故，
18. 已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).
（1）求E渐近线方程；
（2）若实数满足，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F，且，得，，可求渐近线方程；
（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出和，由求的取值范围．
【小问1详解】
抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，
设双曲线E的焦距为，则有，
又，则.
由，得，
所以E的渐近线的方程为
【小问2详解】
设，，
1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，
由，解得，，
.
设， 由，消去得，
则有，
，
由，，
有，即，
由，有，所以.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19. 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
（1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
（2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
（3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
【答案】（1）不是“X数列”
（2）证明见解析；，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依次求出，再根据“X数列”定义进行判断即可.
（2）由先求出数列通项公式，再依据“X数列”定义进行推算证明即可，接着由“余项数列”的定义公式进行计算即可.
（3）先探究得出“余项数列”公差情况，再讨论时推出矛盾得到，接着探究时若得出矛盾，从而得出，进而得出即可进一步推出.
【小问1详解】
由题，
所以有，，
故根据“X数列”的定义不是“X数列”.
【小问2详解】
因为，
所以当时，；
当时，；
则不满足，所以，
令，即，
则当时，有，；
当时，有；故即，
则对每一个，有且仅有一个且，使得，
综上，对任意，有且仅有一个，使得，
所以为“X数列”，
由上，，
即的“余项数列”通项公式为，.
【小问3详解】
因为是正项数列，所以单调递增，
所以，故，
因为，且为“X数列”，
所以，故由得，
的“余项数列”为等差数列，故其公差，
因为，所以，
若，则当时，，与矛盾，
故，所以，，即，
对于，若，则，与正项数列矛盾，
所以，故，
所以，故，
所以，
又，
所以，.
【点睛】关键点睛：证明的关键第一步是探究出“余项数列”公差；第二步是探究出时有矛盾得到；第三步是探究出时若有矛盾，从而得到，进而得出.超市
A
B
C
D
E
广告支出x
2
4
5
6
8
销售额y
30
40
60
60
70
1
2
3