四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角余弦公式直接求解.
【详解】已知则.
故选：D
2. 已知为共线向量，且，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量共线求出x，再求模长即可.
【详解】共线，则，得，
故.
故选：C
3. 已知，是第四象限角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由两角差的正弦公式求得，再根据同角三角函数基本关系求得，最后由正弦的两角和公式求解．
【详解】因为，
所以，则，
是第四象限角， ，
．
故选：D．
4. 的内角，，的对边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理角化边得，再利用余弦定理代值求解.
【详解】因为，由正弦定理得
又，则，
化简得.
故选：D
5. 已知向量非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由投影向量公式直接求解.
【详解】在方向上投影向量为.
故选：B
6. 的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）

A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】先根据图象确定的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据平移变换逐一验证选项即可得到结果．
【详解】函数的部分图象，可得，
，，则，
又，,则，
故．
对A, 向右平移个单位长度,得到，故A错误；
对B, 向右平移个单位长度,得到，故B错误；
对C, 向左平移个单位长度,得到，故C正确；
对D, 向左平移个单位长度,得到，故D错误.
故选：C．
7. 筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车按逆时针方向做一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：），则下列说法正确的是（ ）

①时，盛水筒P到水面的距离为；
②与时，盛水筒P到水面的距离相等；
③经过，盛水筒P共8次经过筒车最高点；
④记与盛水筒P相邻盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为．
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系判断①②，利用周期判断③，求出距离差的表达式结合三角变换求最值判断④即可．
【详解】依题意作图如下：

以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，
当刚露出水面时，与轴的夹角是，相邻盛水桶之间的夹角是，
当旋转时，旋转了，旋转到点，
此时点到水面的距离为，所以①正确；
②当时，旋转了周，即，此时的位置是点，
与轴正半轴的夹角是，
当时，旋转了，即点，与轴正半轴的夹角也是，
点与点到水面的距离相等，所以②正确；
③经过，则水车转过了个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；
④设在的上方，与轴负方向的夹角为，，
则与轴负方向的夹角为，
相邻两筒到水面的距离差为：
，
其中，，
当时取最大值为，故④错误；
故选：A．
8. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】因为所以
因为三点共线，
所以即,
又因，
所以,且为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，
所以
.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式，利用二倍角余弦公式及两角差的正切公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】对于A，原式，故A正确；
对于B ，原式 ，故B正确；
对于C ，原式，故C正确；
对于D ，原式，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知函数，则下列结论中正确有（ ）
A. 函数解析式化简后为：
B. 的对称轴为，
C. 的对称中心为，
D. 的单调递增区间为，
【答案】AD
【解析】
【分析】先利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐一判断选项即可．
【详解】，A正确；
对于B，令，则，对称轴为，故B错误；
对于C，令，，可得对称中心为，故C错误；
对于D，令，则，
单调递增区间为,故D正确．
故选：AD．
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量为
D. 若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断AB,由投影向量和投影判断CD得答案．
【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，
对于A，，故A错误；
对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故B正确；
对于C，在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设的夹角为则，其中表示在上的投影，
易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影最大，
易知为等腰直角三角形，且,
则在中，,
在等腰三角形中，则
.故D正确．

故选:ABD．
【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积及性质，关键是利用数量积的几何意义确定在上的投影的最大值解决D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解.
【详解】若,则，得.
故答案为：
13. 在中，已知，当时，的面积为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由数量积运算得到，再利用三角形面积公式求解.
【详解】设中，角所对的边分别为,
因为，则，当时, ,
故的面积为.
故答案为：.
14. 已知 ， 则 ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用角的变换将所要求解的角转化为已知的角表示，再利用二倍角公式求解即可．
【详解】设
则.
故答案为: ．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知，且与的夹角为，求
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求解即可.
（2）先求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
由平面向量数量积的定义得，
故的值为，
【小问2详解】
设向量与的夹角为
，
又，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
16. 已知函数，若相邻两条对称轴的距离为.
（1）求的解析式；
（2）在中，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期可求即可求解；
（2）由已知先求出，然后结合余弦定理求的值，再由三角形面积公式可求.
【小问1详解】
，
因为的相邻两条对称轴的距离为，
故的解析式为：；
【小问2详解】
由题意知：，
所以，
，
由余弦定理，可得，
解得，
.
17. 如图、在四边形中，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）若，，向量，的夹角为，，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量的线性运算计算即可证明；
（2）由平面向量的线性运算得，再由平面向量的数量积的性质计算即可．
【小问1详解】
证明：，分别为，的中点，
，，
，①
，②
①②得：，
．
【小问2详解】
，，
，
，向量，的夹角为，
，
．
18. 锐角的内角的对边分别为，已知
（1）求角的值；
（2）若求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及正弦定理的边角化，利用两角和的正弦公式及内角和定理，结合特殊值的三角函数即可求解；
（2）根据（1）的结论及正弦定理边角化，利用三角形的面积公式及两角差的正弦公式，再利用降幂公式及辅助角公式，结合锐角三角形的定义及三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
及正弦定理，
，
，
,
即，
又，.
【小问2详解】
在中，由正弦定理定理，可得，
是锐角三角形，
，解得，
由，得，
所以，于是有，
故面积的取值范围为.
19. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，矩形区域为停车场，其余部分建成绿地，已知扇形的半径为2（百米），圆心角分别为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上（如图2所示）；
（1）若按方案一来进行修建，求停车场面积的最大值；
（2）修建停车场的一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
【答案】（1）平方百米
（2）方案一更优，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接OE，设，将面积表示为的函数，结合三角变换化简函数表达式，求出面积最值，
（2）根据对称性转化为求中心角度为的扇形内接矩形面积最大值．连接OD，设，，将面积表示为的函数，结合三角变换化简函数表达式，求出求出面积的最大值，再比较即可．
【小问1详解】
连接OE，设，，
由条件知，，，，
在中，，得，
知，
，
因为，所以当时，矩形面积的最大值为平方百米；
【小问2详解】
如图，根据对称性转化为求中心角度为的扇形内接矩形面积最大值．
连接OD，设，，
由条件知，，，
，在中，，得，
知，
，
因为，所以时，圆心角为扇形中截面积最大值为平方百米；
，
因为方案一内接矩形面积更大，最大值为，故方案一更优．
【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数恒等变化，关键是合理设置角度，表示为函数关系求解.