广东省阳江市江城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份广东省阳江市江城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，若是整数，则整数的值是，如图，在矩形中，，则，下列命题的逆命题成立的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．二次根式中的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角相等
C．对角线相等D．对角线互相垂直
6．若是整数，则整数的值是（ ）
A．1或3B．3或6C．3或12D．6或12
7．如图，在矩形中，，则（ ）
A．24B．23C．20D．12
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．正方形的四个内角都是直角B．矩形的对角线相等
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．若，则
9．如题图，四边形是菱形，于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．如题图，正方形中，点在上，且，点是的中点，点是的中点，延长，与的延长线交于点．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．比较大小： 7（选填“”、“”、“”）．
12．最简二次根式与可以合并，则
13．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是AD的中点.若AB=10，则EF= ．
15．如题图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为

16．如题图，已知正方形的边长为2，为的中点，，求阴影部分的面积
三、解答题：本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长．
19．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别为的中点，连接．求证：．
20．已知，，求的值．
21．如图所示，某公路一侧有两个送奶站，为公路上一供奶站，和为供奶路线，现已测得，若有一人从处出发，沿公路边向右行走，速度为，问：多长时间后这个人距送奶站最近？
22．如图，矩形沿着直线对折，点恰好落与边上的点重合，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的面积．
23．如图，在四边形中，，，，为的中点，连接，．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)连接，若，，求的长．
24．在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
，，
．．
．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：
(1)______；
(2)化简；
(3)若，求的值．
25．数学活动 实验、猜想与证明
问题情境
（1）数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．

解决问题
（2）小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，由题意得出，求解得出的取值范围，即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件为：被开放数为非负数是解此题的关键．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
二次根式中的取值可以是，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意，
B、是最简二次根式，符合题意，
C、，不是最简二次根式，不符合题意，
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了勾股数，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可得出答案．
【解答】解：A．不是正整数，故，，不是勾股数，不符合题意；
B．，，不是正整数，故，，不是勾股数，不符合题意；
C．，，，不是勾股数，不符合题意；
D．，，，是勾股数，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可．
【解答】解：A选项：和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误；
B选项：，故本选项的计算错误；
C选项：，故本选项的计算正确；
D选项：，故本选项的计算错误．
故选：C
5．B
【分析】本题考查了对平行四边形的判定定理得应用．平行四边形的判定定理：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，据此进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误，不符合题意；
B、如图：
一组对边平行，一组对角相等，
∵，
∴，
，
，
，
四边形是平行四边形，
同理，或或，
可得另外一组对边平行，
四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平形四边形，例如：筝形，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了二次根式的性质，将整理得，根据是整数，也为整数，得出或，求解即可得出答案．
【解答】解：，
是整数，也为整数，
或，
解得：或，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．根据矩形的性质可得，，根据勾股定理即可解答．
【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴在中，．
故选：A
8．C
【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称头另一个命题的逆命题，熟知相关知识是解答的关键．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否成立，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】A、正方形的四个内角都是直角的逆命题是四个内角都是直角的四边形是正方形，逆命题是假命题，不符合题意；
B、矩形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，逆命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的对角线互相平分，逆命题是真命题，符合题意；
D、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
9．A
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理．
先根据菱形的性质得，再利用勾股定理求得，然后根据菱形的面积公式得到，代入即可求解．
【解答】解：如图，设对角线，的交点为O，
∵四边形是菱形，
， ， ，
∴在中，
∵，
∴，
．
故选：A
10．D
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
设正方形边长为，求出、、，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．
【解答】设正方形边长为，
∵四边形是正方形，
，
∵，点是的中点，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴是直角三角形，故②正确；
，
是中位线，
，故①正确；
在中，
，
，
，
∴，故③正确；
，
，故④正确；
故选：D．
11．
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算、比较无理数的大小，由二次根式的性质得出，估算出，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，即，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．因为最简二次根式与可以合并，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程，解出m即可．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：2．
13．5或
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
14．
【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝AB＝5，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
∵点F、E分别是AD、AC的中点，
∴EF＝CD＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．##45度
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．
根据勾股定理得到，，的长度 ，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．
【解答】解：如图，连接，

∵，，，
， ，
是等腰直角三角形，且，
．
故答案为：
16．
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，设交于，交于，连接，，证明得出，结合，得出，同理可得，再求出，最后由计算即可得解．
【解答】解：如图，设交于，交于，连接，，
，四边形是正方形，且边长为2，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
为的中点，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：
17．
【分析】本题主要考查的是二次根式运算，先化简二次根式再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：
18．
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得到，得到由旋转得到，即可得到结论．
【解答】解：，线段，
在中，
由题意可知：，
∴．
19．证明见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．
根据平行四边形的性质的，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，
点分别为的中点，
，
，
，
，
．
20．16
【分析】本题考查了二次根式的减法和乘法运算、完全平方公式、求代数式的值，能求出和的值是解此题的关键．
首先求出，，然后将利用完全平方公式变形代数求解即可．
【解答】解：∵，，
，，
．
21．小时
【分析】该题主要考查了勾股定理和直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据勾股定理逆定可证明是直角三角形，然后计算出的度数，再根据直角三角形的性质算出的长，然后根据速度和路理可计算出多长时间后这人距离送奶站最近．
【解答】解：如图，过作公路于，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
在中，
，
，
．
，
小时后这人距离送奶站最近．
22．(1)是等腰三角形，理由见解析．
(2)40
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．
（1）由矩形得到，由折叠得到，从而，根据等角对等边得到，即可解答；
（2）由矩形的性质与折叠得到由折叠的性质知：，设，则，在中，由可构造方程，求解得到，根据三角形的面积公式即可解答．
【解答】（1）解：是等腰三角形．理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质知：，
∴，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵四边形是矩形，
，
由折叠的性质知：，
设，则，
∵在中，，
即，
解得，
，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由，得出四边形为平行四边形，再证明，即可得出结论；
（2）连接，由菱形的性质可得，证明出四边形为菱形，再由菱形的性质结合勾股定理计算即可得解．
【解答】（1）证明：，是的中点，
∴，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
（2）解：连接，如图所示，
由（1）得：四边形为菱形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，
，
．
24．(1)
(2)14
(3)2024
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，以及
，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】（1），
故答案为：；
（2）原式
；
（3），
，
，
，即，
∴．，
∴
．
25．（1）MD=MC；（2）证明见解析；（3）∠BME=3∠AEM，证明见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC，∠A=∠B=90°，然后利用SAS证出△AMD≌△BMC，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的判定证出四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形，利用平行线分线段成比例定理证出CF=EF，从而得出MN垂直平分CE，根据垂直平分线的性质即可证出结论；
（3）根据平行四边形的性质可得AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC，然后根据平行线的性质、三线合一和等边对等角证出∠AEM=∠EMF、∠BMC=∠NMC、∠EMF=∠NMC，从而证出结论．
【解答】解：（1）MD=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠B=90°
∵点M为AB的中点
∴AM=BM
在△AMD和△BMC中
∴△AMD≌△BMC
∴MD=MC
（2）∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AM=BM，CN=DN
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴AM=BM= CN=DN
∴四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN
∴
∴CF=EF
∵CE⊥AD
∴CE⊥MN
∴MN垂直平分CE
∴ME = MC
（3）∠BME=3∠AEM，证明如下：
∵四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC
∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC
∵AB=2BC，AB=CD=2CF
∴CF=MN
∴∠NCM=∠NMC
∴∠BMC=∠NMC
∵ME = MC，MF⊥CE
∴∠EMF=∠NMC
∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM
即∠BME=3∠AEM
【点拨】此题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握矩形的性质、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解决此题的关键．