2024年山西省阳泉市多校联考中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 2D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
先将减法转化为加法，然后再按照加法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
2. 古希腊数学家欧几里得编写了一本书，这本书以公理和原始概念为基础推演出更多的结论，这种方法为人们提供了一种研究问题的方法——公理化方法，标志着人类思维的一场革命，这本书的书名是（ ）
A. 《几何原本》B. 《九章算术》C. 《周髀算经》D. 《孙子算经》
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数学常识，根据《几何原本》的描述即可求解，熟练掌握数学常识是解题的关键．
【详解】解：古希腊数学家欧几里得编写了一本书，这本书以公理和原始概念为基础推演出更多的结论，这种方法为人们提供了一种研究问题的方法——公理化方法，标志着人类思维的一场革命，这本书的书名是《几何原本》，
故选A．
3. 中国轻工业联合会近日发布数据显示，2023年我国轻工业实现营业收入22.2万亿元，同比增长，有力支撑工业经济稳定发展．数据“22.2万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据“22.2万亿元”用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 工业铸件在工业领域有着重要的地位．近年来，我国工业铸件发展快速，产品丰富，产量居世界第一．如图，是一个工业铸件，它的截面是半个圆环，其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下看的，运用数形结合思想进行作答．
【详解】解：依题意，一个工业铸件的截面是半个圆环，
其俯视图为，
故选：A．
5. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行变形即可．
【详解】
故答案为：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的变形问题，掌握完全平方公式是解题的关键．
6. 在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（提示：）( )

A. 5VB. 10VC. 15VD. 20V
【答案】B
【解析】
【分析】将点带入即可得到答案．
【详解】解：将带入得，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的解析式，将点的坐标带入到解析式中是解题的关键．
7. 某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A. 40800元B. 91600元C. 60800元D. 48000元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可．
【详解】解：连接，如图2，
∵，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∴，
∴铺满该区域需要的费用为：（元），
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，．若点B的坐标为，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换．根据位似图形的概念得到，且相似比为，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，，
∴，且相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
故选：B．
9. 如图，直线，A、B是上两点，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点C，连接，分别以B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点D，作射线，交于点E，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，根据基本作图，得到，继而得到；结合，得到，结合得到，本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，直角三角形的特征，熟练掌握平行线的性质，基本作图，三线合一性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
根据基本作图，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
10. 如图，在等边中，，以为直径作，与，分别交于D，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，根据图中阴影部分的面积是求解即可，根据图形得出阴影部分的面积是是解题关键．
【详解】连接、，过点D作，

∵为圆的直径，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴
同理可证：，
∴，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，即可求解，
本题考查二次根式的乘法，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：
．
故答案为：2
12. 如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，第1个图案中有5个平行四边形，第2个图案中有9个平行四边形，第3个图案中有13个平行四边形，…按此规律摆下去，第n个图案中有______个平行四边形．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形规律，根据第1个图案中有5个平行四边形，第2个图案中有9个平行四边形，第3个图案中有13个平行四边形，得出第n个图案中有个平行四边形，即可作答．
【详解】解：依题意，
第1个图案中有个平行四边形，
第2个图案中有个平行四边形，
第3个图案中有个平行四边形，
……
则第n个图案中有个平行四边形，
故答案为：
13. 如图，是一块三角板，其中，．五边形是正五边形，且点E在上，则的度数为______．

【答案】##66度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，等腰三角形的性质．利用正多边形的性质求得，再利用等边对等角求得，据此求解即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 为激励更多中学生参与到消防安全教育活动中，在某平台参与学习一周的同学可以获得两次抽奖机会，如图所示的转盘被分成面积相等的六个扇形，指针位置固定，点击抽奖按钮转盘自由转动，转动停止后指针指向某区域的中间部分，则两次抽奖都获得积分的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用画树状图法计算即可，本题考查了放回式概率计算，熟练掌握画树状图是解题的关键．
【详解】设不中奖为A，奖品1为B，奖品2为C，100积分为D，300积分为E，1000积分为F，画树状图如下：
根据题意，一共有36种等可能性，两次都获得积分的等可能性有9种，
故两次抽奖都获得积分概率是．
故答案为：．
15. 在中，，，，是平分线，过点B作的垂线交于点E，过点D作的垂线交于点F，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，证明得，求出．证明得，利用求出，利用勾股定理求出，然后证明，求出，进而可求出的长．
【详解】解：如图，连接，

∵，，，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及解直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16 （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式及有理数的混合运算，熟知相关混合运算的法则是解题的关键．
（1）先算乘方，化简绝对值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）根据分式加法法则计算即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
17. 黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某商家计划购进一批大同黄花，据了解，斤甲品种黄花比斤乙品种黄花贵元；用元购进甲品种黄花和用元购进乙品种黄花的斤数相同．求甲品种黄花和乙品种黄花的进价．
【答案】甲品种黄花的进价元斤，乙品种黄花的进价元斤．
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，设甲品种黄花的进价为元斤，则乙品种黄花的进价元斤，根据用元购进甲品种黄花和用元购进乙品种黄花的斤数相同列出分式方程，求解检验即可，解题的关键读懂题意列出分式方程．
【详解】解：设甲品种黄花的进价为元斤，则乙品种黄花的进价元斤．
根据题意，得，解得
经检验，是原方程的根，
∴，
答：甲品种黄花的进价元斤，乙品种黄花的进价元斤．
18. 【数据的收集、整理与描述】
新修订的体育法明确国家实行青少年和学校体育活动促进计划，学校要保障学生每天一小时体育锻炼．某学校启动了阳光体育锻炼活动并对九年级学生肺活量进行测试，小敏随机抽取了20名同学的肺活量（单位：）并制成下表：
经过2个月的体育锻炼，学校第二次对所有九年级学生的肺活量进行测试．小敏对这20名同学第二次的肺活量进行整理并绘制出如下条形统计图．

【数据的分析】
小敏对这20名学生两次肺活量测试情况进行分析得到下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中 ， ， ；
（2）该校九年级共有360名学生，估计第二次测试肺活量为的人数；
（3）你认为两个月的体育锻炼是否促进该校九年级学生肺活量的提升？请你从表格中选择两个统计量进行说明．
【答案】（1）3000，3100，3200
（2）估计第二次测试肺活量为的人数为90人
（3）该校两个月的体育锻炼促进了该校九年级学生肺活量的提升，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a、b、c即可；
（2）用九年级学生数×第二次测试肺活量为所占的百分比即可解答；
（3）从中位数和方差两个因素分析即可解答．
【小问1详解】
解：第一次的肺活量的测量中出现6次，次数最多，故，
第一次的肺活量的测量的数据从小到大排列，处于第10和11位的数据为3000和3200，则第二次的中位数；
第二次的肺活量的测量中出现6次，次数最多，故．
故答案为：3000，3100，3200．
小问2详解】
解：人．
答：估计第二次测试肺活量为的人数为90人．
【小问3详解】
解：该校两个月的体育锻炼促进了该校九年级学生肺活量的提升，理由如下：
第二次测量的平均数高于第一次，第二次测量的中位数高于第一次，所以该校两个月的体育锻炼促进了该校九年级学生肺活量的提．
19. 阅读与理解
下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______；
A．数形结合思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 D．公理化思想
（2）请你用竖式除法计算：；
（3）若是的一个因式，则 ．
【答案】（1）B （2），见解析
（3）11
【解析】
【分析】（1）找到两种除法之间的共同点，是类比思想，
（2）根据多项式除以多项式的竖式除法，即可求解，
（3）多项式除以多项式的竖式除法，根据余数为，即可求解，
本题考查了多项式的除法，解题的关键是：掌握多项式除多项式的运算规则．
【小问1详解】
解：根据由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想，
故选：B，
【小问2详解】
解：
故答案为：，
【小问3详解】
解：
∵余式为，，
∴商式的最后一项为，，解得：，
故答案为：．
20. 项目化学习
项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系
项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习．
驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系
项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
研究步骤：（1）将两块平面镜竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为；
（2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为（如图2）；
（3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值；
（4）数据分析，形成结论．
问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务．
（1）根据表中信息可知，是的 函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与的函数关系式为 （）；
（2）请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式．
【答案】（1）一次，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数解析、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．
（1）先根据表格数据归纳出函数关系式，即可确定函数类型和关系式；
（2）根据平角的定义以及物理知识可得、，即，再结合即可证明结论．
【小问1详解】
解：根据表格数据可归纳出：，即是的一次函数．
故答案为：一，（或）．
【小问2详解】
解：如图，∵，
又∵，
∴．
同理：．
∵，
∴．
∴．
21. 北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务．如图，是地球的平面示意图，点是一颗北斗卫星，在北纬的点（即）观测，是点处的地平线（即与相切于点），测得，已知地球半径约为，图中各点均在同一平面内，请计算的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】的长约为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用和切线的性质，过点作，垂足为点，由三角函数，，得，，再根据切线的性质得，得，最后再根据三角函数和线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，
在中，，，，
∴，，，
解得，，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，，
在中，，，，
∴，
∴．
答：的长约为．
22. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师将两个具有公共顶点的全等三角形按图1所示摆放，，，，．老师让各小组在此基础上展开探究．
初步探究：（1）勤奋小组将图1中的延长，分别交于点O和点F，试判断与的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）善思小组固定，将绕点B逆时针旋转，如图2，当时，与相交于点P，过点P作于点Q，试判断与的数量关系并说明理由；
拓展延伸：（3）创新小组将图1中的绕点B逆时针旋转，如图3，当时，与相交于点M，过点M作于点N．若，，请直接写出的长．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）的长为
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，得到，证明出四边形是矩形，得到，从而得出；
（2）过点B作的垂线，交的延长线于点H，先证明，进而证明四边形是矩形，得到，进而推出；
（3）过点M作于点G，利用勾股定理求出的长，再根据，得到，推出，设，则，证明，根据，求出x的值，求出的长，再证明，通过即可求出最后结果．
【详解】解：（1），理由如下：
由题可知，
，
，
，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2），理由如下：
如图，过点B作的垂线，交的延长线于点H，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（3）如图，过点M作于点G，
则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，准确作出辅助线是解答本题的关键．
23. 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．
（1）求点C的坐标和抛物线的函数表达式；
（2）设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值．
（3）在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），抛物线的函数表达式为
（2）当时，取最小值
（3）存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：，
【解析】
【分析】（1）令时，，得出点C的坐标为，运用待定系数法解二次函数的解析式，即把，代入，解得，即可作答．
（2）先求出直线的函数表达式，再运用线段和差关系得出，，，根据，得出，证明四边形是矩形，得出，再代入，构建二次函数，运用二次函数的性质进行作答即可．
（3）要进行分类讨论并且作图，熟练运用数形结合思想，根据面积的割补法列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
令时，，
∴点C的坐标为，
把，代入，
得出
解得
∴抛物线的函数表达式；
【小问2详解】
解：设直线的函数表达式为
把和分别代入，
得出
解得
∴直线的函数表达式为
∵过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．且设点D的横坐标为m，
∴，
则
∵，
∴
∴在中，
∴
如图：过点D作轴
则
∴在中，
则
∵，，
∴四边形是矩形
∴
则
∵
∴当，有最小值，且为；
【小问3详解】
解：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：，，理由如下：
依题意，当时，则，
则，
设的解析式为，
把和代入，
得
解得
∴，
则点的坐标为
当点在对称轴的左边，如图：
∴ 设点P的坐标为，此时
∵四边形是面积为的平行四边形
∴，且
则
∴
解得，
同理当点在对称轴的右边
∴ 设点P的坐标为，此时
∵四边形是面积为的平行四边形
∴，且
则
∴
解得，
综上：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：，
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合以及图象性质，解直角三角形的相关性质，平行四边形的性质，一次函数的性质以及待定系数法解表达式，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．样本学生的肺活量
2500
2200
3000
2500
3500
3000
3300
2800
2000
3000
3000
2800
3000
2200
2500
2800
3600
3000
2500
2800
平均数/ml
中位数/ml
众数/ml
方差
第一次
2800
2800
a
167000
第二次
3065
b
c
159275
2024年×月×日 星期日
多项式除以多项式
我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式．
类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示：
如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？
经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下：
（1）先把被除式与除式分别按字母降幂排列；
（2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x；
（3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面；
（4）用减去得差，写在下面；
（5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式；
（6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面；
（7）两式相减得0，表示刚好能除尽；
（8）写出结果：．