安徽省芜湖市市区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（答题时间120分钟，满分150分）
温馨提示：本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：A、，无意义，故本选项不正确，不符合题意；
B、，故本选项不正确，不符合题意；
C、，本选项正确，符合题意；
D、，故本选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、中被开方数能开方，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数不含分母，不含能开方的因数或因式，是最简二次根式，符合题意，
故选：D．
3. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先计算出原式等于，再根，即可求解，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴值应在7和8之间，
故选：D．
4. 如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子顶端离地面的距离为（ ）米．

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：梯子顶端离地面距离为m．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
5. 勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（ ）
A. 数形结合思想B. 分类思想C. 函数思想D. 归纳思想
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：．
6. 在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）种植花草，尺寸如图，则的长度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意求出是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可．
【详解】如图所示，

∵，
∴是的中位线
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质．
7. 如图，在四边形中，对角线和交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定条件逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选B．
8. 如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）

A. 的长B. 的长C. 的长D. 与的和
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先得到，，为平行四边形，然后根据对边相等得到图形的周长为解题即可．
【详解】解：延长，交，于点G，H，

∵，，
∴四边形，，为平行四边形，
∴，，
∴图形的周长为，
∴需要知道的长即可，
故选：C．
9. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可．
【详解】解：，，，
，
设，则，
由折叠的性质可得，，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选B．
10. 如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点，连接，推出三点共线，进而得到点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，进而得到三点共线时，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
取的中点，连接，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴三点共线，
∴点在直线上运动，
作点关于的对称点，连接交于点，连接，作，
∴，垂直平分，
∴当三点共线时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∴的最小值是；
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的中位线，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题, 解题的关键是确定点的运动轨迹．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 试写出一组勾股数___________________．
【答案】3、4、5（答案不唯一）．
【解析】
【详解】解：最常见的勾三股四弦五，勾股数为3，4，5．
故答案为：3、4、5（答案不唯一）．
12. 已知：，，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，计算出及，再把原式因式分解，代入及即可求解．解题的关键是熟知因式分解的应用．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
13. 我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)∶ 若 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a， b， c， 则 这 个 三 角 形 的 面 积．若一个三角形的三边长，，分别为，则这个三角形的面积为__________
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，计算得出答案即可．
【详解】解：根据题意，该三角形的三边长，，分别为，
∴该三角形的面积
．
故答案为：．
14. 如图，C为平行四边形外一点，连接，分别交边于点F，E，使，，，若，，则（1）的长为______；（2）的长为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质证明．可得，过点作于点，利用含30度角的直角三角形可得，，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得的长．本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
．
．
故答案为：2，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图，化简．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．掌握二次根式的基本性质是解题关键．
【详解】解：由图知：，
，．
原式．
16. 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将这些点依次用线段连接．

（1）点关于轴对称的点的坐标为______；
（2）在轴上有点，则的最小值为______；
（3）试说明是直角三角形．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是：
（1）关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等；
（2）连接，交y轴于点D，此时最小，然后利用两点间的距离公式求出即可；
（3）利用两点间的距离公式计算出的三边长，利用勾股定理逆定理进行验证即可．
小问1详解】
解：如图，

点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，点D即为所求，

此时，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，，，
∴，
∴是直角三角形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 请观察式子：，，仿照上面的方法解决下列问题：
（1）化简：①；②；③．
（2）把中根号外的因式移到根号内，化简的结果是___________．
【答案】（1）①，②，③．
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．
（1）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可．
（2）根据公式当时，，把根号外的因式，平方后移入根号内再化简即可．
【小问1详解】
解：①，
②，
③．
【小问2详解】
，
故答案为：
18. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于边上一点E，且．
（1）求证：；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，三角形内角和定理等等：
（1）由平行四边形的性质得到，进而由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得．即．
（2）由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则，据此利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形平行四边形，
∴，
，
、的角平分线交于边上一点，
∴，，
．
．即．
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，，
，，
，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，交于点G，交于点H，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质，根据平行四边形的性质及可证得，，进而可求证结论，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：在平行四边形中，，，
∴，
∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
∴，
，
∴四边形是平行四边形．
20. 定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是______三角形；
（2）若，，，求边上的“中高距”．
【答案】（1）等腰 （2）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的特征，勾股定理、线段垂直平分线的性质，等度三角形的判定：
（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解
（2）在中，根据直角三角形的性质可得，从而得到，在中，可得，从而得到的长，即可求解。
熟练掌握直角三角形的特征是解题的关键．
【小问1详解】
解：边上的“中高距”为0，
边上的高线垂直平分，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【小问2详解】
在中，，
，
，
在中，，
，
，
点为的中点，
，
，
六、（本题满分12分）
21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
（1）求物体从的高空落到地面的时间．
（2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【答案】（1）
（2）；严禁高空抛物
【解析】
【分析】（1）根据公式，代入计算即可．
（2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可．本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．
【小问1详解】
∵，,
∴．
【小问2详解】
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
对人构成伤害，
故严禁高空抛物．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，，延长到点D，在边上取一点H，连接，设E和F分别是和的中点，连接，若恰好与垂直，垂足为K．已知，试求的长．
【答案】
【解析】
【分析】分别取，的中点P、Q，连接，，作垂足为M，得到分别是、的中位线，进而求出，，然后利用含角直角三角形性质得到，然后利用勾股定理求出，然后证明出四边形为平行四边形，得到．
【详解】解：如图，分别取，的中点P、Q，连接，，作垂足为M．
∵点、F分别为、的中点，
∴分别是、的中位线，
∴，．
∴，．
∵，
∴．
∵P、Q分别为的中点，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形性质，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
八、（本题满分14分）
23. 和中，点D在边上，，．
（1）若．
ⅰ）如图1，当时，连接，证明：；
ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长；
（2）如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长．
【答案】（1）ⅰ）证明过程见详解；ⅱ）；
（2）
【解析】
【分析】（1）ⅰ）用证明，进而证得是直角三角形，即可得结论；
ⅱ）连接，作交的延长线于点G，用证明，得，都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，用证明，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
【小问1详解】
ⅰ）证明：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G，
，，，
，都是等边三角形，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即线段的长为．
【小问2详解】
解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
中，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，，
是线段的垂直平分线，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
所以线段的长为．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．