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江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题原卷版docx、江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B. 了解全国八年级学生身高
C. 考察人们保护海洋的意识
D. 了解一批圆珠笔的使用寿命
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了全面调查与抽样调查，正确理解全面调查与抽样调查的意义是解题关键．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，故本选项符合题意；
B、了解全国八年级学生身高的现状，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C、考察人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D、了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A. 条形统计图B. 扇形统计图
C. 折线统计图D. 频数分布统计图
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意，要求直观反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选：C.
4. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A. 6个B. 15个C. 13个D. 12个
【答案】D
【解析】
【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．
∴，解得：x=12．
经检验：x=12是原方程的解
∴白球的个数为12个．
故选D．
5. 在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
根据平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形平行四边形，
∴，
故选：B．
6. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．根据旋转的性质和从而求得，，从而求得．
【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选：A．
7. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A. AB＝36mB. MN∥ABC. MN＝CBD. CM＝AC
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线性质解答即可.
【详解】解：因为M、N是AC，BC的中点，
∴MN//AB，B正确；MN＝AB，
∵MN的长为18m，
∴AB=2MN=36 m，A正确；
∵CM=AC，D正确.
∵AB不一定等于CB，C错误.
故本题选C.
【点睛】本题考查三角形中位线，熟悉掌握相关性质是解题关键.
8. 如图，菱形中，，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故选：A
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
9. 小明通过一个有红绿灯控制的十字路口时遇到绿灯，这是______事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的定义．根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：小明通过一个设有红绿灯的十字路口时遇到绿灯，
可能发生也可能不发生，故属于随机事件，
故答案为：随机．
10. 为了解某校七年级1000名学生每天的阅读时间，从中抽取了100名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是___________．
【答案】100
【解析】
【分析】根据样本容量的定义，即可求解．
【详解】解：这个问题中，样本容量是100．
故答案为：100
【点睛】本题主要考查了样本容量，熟练掌握样本容量则是指样本中个体的数目是解题的关键．
11. 一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，26，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】直接利用频数与频率的关系得出第5组的频数，进而得出答案．
【详解】解：∵一组数据共100个，第5组的频率为0.20，
∴第5组的频数是：100×0.20＝20，
∵一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，26，20，
∴第6组的频数为：100−20−10−14−26−20＝10．
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确得出第5组频数是解题关键．
12. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和1个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率公式，理解概率公式，明确所有等可能结果数量、满足要求的结果数量是解题的关键．根据概率公式求解即可．
【详解】解：因为一共6个球，其中2个红球，所以从袋中任意摸出1个球是红球的概率是．
故答案为．
13. 在四边形中，，要使四边形是平行四边形，只需添加一个条件，这个条件可以是____（只要填写一种情况）．
【答案】（或等）（答案不唯一）
【解析】
【分析】由平行四边形判定方法确定添加的条件即可．
【详解】解：∵，
∴添加，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴添加，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：（或等）（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是添加条件判断平行四边形，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键．
14. 如图，平行四边形中，平分线交于，，，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】在平行四边形中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
15. 如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则菱形的边长为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理．过A作轴于点E，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过A作轴于点E，
∵点A的坐标是，
∴，，
∴，
∴菱形的边长为5，
故答案为：5．
16. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为_______．
【答案】9.6
【解析】
【分析】以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分为两种情况，或者，根据垂线段最短求得最值．
【详解】以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分为两种情况，或者
①，
②当时，过点作边上的高,过点作，
，
，
，
根据题意要使得最小，即当时，取得最小值，
此时，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．）
17. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）；
（2）若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ；
（3）若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值．
【答案】（1）
（2）14 （3）1
【解析】
【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于，
（2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；根据盒子里有14个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）得白球的概率为，
故盒子里白球的数量为：(个)，
∴盒子里有个黑球，
∵若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，盒子里有14个黑球，“摸出白球”为必然事件，
，
故答案为：14；
【小问3详解】
由（2）知白球6个，黑球14个，
根据题意得：
解得：，
则值为1．
18. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“5种你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图，其中A：电话，B：短信，C：微信，D：，E：其它．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人；将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为 ；
（3）如果我国有13亿人在使用手机，请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数．
【答案】（1）2000；如图所示
（2）
（3）5.2亿人
【解析】
【分析】（1）根据喜欢用电话沟通的人数和百分比求得总人数，根据总数求得使用短信沟通的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据使用微信沟通的人数占总人数的百分比乘以即可求得圆心角的度数；
（3）用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可得出答案．
【小问1详解】
喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为，
此次共抽查了（人），
喜欢用短信沟通的人数所占百分比为，
喜欢用短信沟通的人数为（人），
如图：
【小问2详解】
表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
由题意知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“微信”进行沟通的人数由800人，
所以在我国有13亿人在使用手机，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键．
19. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，cm．
（1）求的度数；
（2）求矩形对角线的长．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、含角直角三角形的性质等知识点，掌握含 角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
（1）根据矩形性质得出，根据等腰三角形的性质即可求出；
（2）先根据含角直角三角形的性质求出的长，再根据矩形的对角线相等即可解答．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴,
∵
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，且四边形是正方形．
（1）求证：；
（2）已知平行四边形的面积为20，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）1
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据正方形的性质可以得到，根据平行四边形的性质可以得到，然后证明，即可证明；
（2）根据平行四边形的面积，可以得到的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，从而可以求得的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵平行四边形的面积为，四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
21. 如图，四边形是平行四边形，点E是边的中点，延长交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）8
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，证出，由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，由平行线的性质证出，求出，即可得出的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
，
，
在中，，
，
．
22. 如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理：
（1）先证，结合菱形的性质证明四边形是平行四边形，再结合可证四边形是矩形；
（2）由菱形的性质得，推出，再用勾股定理解即可．
【小问1详解】
解：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
23. 操作与实践
在矩形中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
【初步思考】
（1）如图1，若点P落在矩形的边上，当点E与点B重合时， ；
【深入探究】
（2）如图2，当点E在上，点F在上时．
①求证：四边形为菱形；
②当时，求菱形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点F与点D重合，点E在上，射线与射线交于点M．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析；②菱形边长为；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得到等角，进而求解；
（2）①由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形；
②设，，勾股定理求得，得菱形边长；
（3）如图中，连接．可证，于是，设，则，中，运用勾股定理，，解得，．
【详解】解：（１）如图，当点E与点B重合时，
；
故答案为：；
（2）①如图，
由折叠可知，，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴四边形为菱形；
②时，设，则
则，
解得，
∴
所以菱形边长为；
（3）如图中，连接．
∵，，，
∴，
∴，设，则，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．摸球的次数n
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到白球的次数m
14
33
95
155
241
298
602
摸到白球的频率
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B. 了解全国八年级学生身高
C. 考察人们保护海洋的意识
D. 了解一批圆珠笔的使用寿命
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了全面调查与抽样调查，正确理解全面调查与抽样调查的意义是解题关键．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：A、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，故本选项符合题意；
B、了解全国八年级学生身高的现状，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C、考察人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D、了解一批圆珠笔的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A. 条形统计图B. 扇形统计图
C. 折线统计图D. 频数分布统计图
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意，要求直观反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．
故选：C.
4. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )
A. 6个B. 15个C. 13个D. 12个
【答案】D
【解析】
【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．
∴，解得：x=12．
经检验：x=12是原方程的解
∴白球的个数为12个．
故选D．
5. 在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
根据平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形平行四边形，
∴，
故选：B．
6. 如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．根据旋转的性质和从而求得，，从而求得．
【详解】解：∵将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选：A．
7. 如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A. AB＝36mB. MN∥ABC. MN＝CBD. CM＝AC
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中位线性质解答即可.
【详解】解：因为M、N是AC，BC的中点，
∴MN//AB，B正确；MN＝AB，
∵MN的长为18m，
∴AB=2MN=36 m，A正确；
∵CM=AC，D正确.
∵AB不一定等于CB，C错误.
故本题选C.
【点睛】本题考查三角形中位线，熟悉掌握相关性质是解题关键.
8. 如图，菱形中，，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
故选：A
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
9. 小明通过一个有红绿灯控制的十字路口时遇到绿灯，这是______事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的定义．根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：小明通过一个设有红绿灯的十字路口时遇到绿灯，
可能发生也可能不发生，故属于随机事件，
故答案为：随机．
10. 为了解某校七年级1000名学生每天的阅读时间，从中抽取了100名学生进行调查，在这个问题中，样本容量是___________．
【答案】100
【解析】
【分析】根据样本容量的定义，即可求解．
【详解】解：这个问题中，样本容量是100．
故答案为：100
【点睛】本题主要考查了样本容量，熟练掌握样本容量则是指样本中个体的数目是解题的关键．
11. 一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，26，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】直接利用频数与频率的关系得出第5组的频数，进而得出答案．
【详解】解：∵一组数据共100个，第5组的频率为0.20，
∴第5组的频数是：100×0.20＝20，
∵一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，26，20，
∴第6组的频数为：100−20−10−14−26−20＝10．
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确得出第5组频数是解题关键．
12. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和1个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率公式，理解概率公式，明确所有等可能结果数量、满足要求的结果数量是解题的关键．根据概率公式求解即可．
【详解】解：因为一共6个球，其中2个红球，所以从袋中任意摸出1个球是红球的概率是．
故答案为．
13. 在四边形中，，要使四边形是平行四边形，只需添加一个条件，这个条件可以是____（只要填写一种情况）．
【答案】（或等）（答案不唯一）
【解析】
【分析】由平行四边形判定方法确定添加的条件即可．
【详解】解：∵，
∴添加，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴添加，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：（或等）（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是添加条件判断平行四边形，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键．
14. 如图，平行四边形中，平分线交于，，，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】在平行四边形中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
15. 如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则菱形的边长为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理．过A作轴于点E，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过A作轴于点E，
∵点A的坐标是，
∴，，
∴，
∴菱形的边长为5，
故答案为：5．
16. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为_______．
【答案】9.6
【解析】
【分析】以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分为两种情况，或者，根据垂线段最短求得最值．
【详解】以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分为两种情况，或者
①，
②当时，过点作边上的高,过点作，
，
，
，
根据题意要使得最小，即当时，取得最小值，
此时，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．）
17. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）；
（2）若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ；
（3）若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值．
【答案】（1）
（2）14 （3）1
【解析】
【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于，
（2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；根据盒子里有14个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）得白球的概率为，
故盒子里白球的数量为：(个)，
∴盒子里有个黑球，
∵若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，盒子里有14个黑球，“摸出白球”为必然事件，
，
故答案为：14；
【小问3详解】
由（2）知白球6个，黑球14个，
根据题意得：
解得：，
则值为1．
18. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“5种你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图，其中A：电话，B：短信，C：微信，D：，E：其它．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人；将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为 ；
（3）如果我国有13亿人在使用手机，请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数．
【答案】（1）2000；如图所示
（2）
（3）5.2亿人
【解析】
【分析】（1）根据喜欢用电话沟通的人数和百分比求得总人数，根据总数求得使用短信沟通的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据使用微信沟通的人数占总人数的百分比乘以即可求得圆心角的度数；
（3）用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可得出答案．
【小问1详解】
喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为，
此次共抽查了（人），
喜欢用短信沟通的人数所占百分比为，
喜欢用短信沟通的人数为（人），
如图：
【小问2详解】
表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
由题意知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“微信”进行沟通的人数由800人，
所以在我国有13亿人在使用手机，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键．
19. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，cm．
（1）求的度数；
（2）求矩形对角线的长．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、含角直角三角形的性质等知识点，掌握含 角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
（1）根据矩形性质得出，根据等腰三角形的性质即可求出；
（2）先根据含角直角三角形的性质求出的长，再根据矩形的对角线相等即可解答．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴,
∵
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，且四边形是正方形．
（1）求证：；
（2）已知平行四边形的面积为20，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）1
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据正方形的性质可以得到，根据平行四边形的性质可以得到，然后证明，即可证明；
（2）根据平行四边形的面积，可以得到的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，从而可以求得的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵平行四边形的面积为，四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
21. 如图，四边形是平行四边形，点E是边的中点，延长交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）8
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，证出，由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，由平行线的性质证出，求出，即可得出的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
，
，
在中，，
，
．
22. 如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理：
（1）先证，结合菱形的性质证明四边形是平行四边形，再结合可证四边形是矩形；
（2）由菱形的性质得，推出，再用勾股定理解即可．
【小问1详解】
解：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
23. 操作与实践
在矩形中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
【初步思考】
（1）如图1，若点P落在矩形的边上，当点E与点B重合时， ；
【深入探究】
（2）如图2，当点E在上，点F在上时．
①求证：四边形为菱形；
②当时，求菱形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，若点F与点D重合，点E在上，射线与射线交于点M．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析；②菱形边长为；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得到等角，进而求解；
（2）①由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形；
②设，，勾股定理求得，得菱形边长；
（3）如图中，连接．可证，于是，设，则，中，运用勾股定理，，解得，．
【详解】解：（１）如图，当点E与点B重合时，
；
故答案为：；
（2）①如图，
由折叠可知，，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴四边形为菱形；
②时，设，则
则，
解得，
∴
所以菱形边长为；
（3）如图中，连接．
∵，，，
∴，
∴，设，则，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．摸球的次数n
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到白球的次数m
14
33
95
155
241
298
602
摸到白球的频率
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