山东省济南市长清区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟．
答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解．
【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形，
故选：B ．
2. 如图，直线ab，直线c是截线，如果，那么等于（ ）
A. 60°B. 100°C. 120°D. 140°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由平角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵直线ab，∠1=60°，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
3. 甲型流感病毒的直径大约是米，将用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，
故选：C
4. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
B．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
C．，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D．，能构成三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据单项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式的计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
6. 如图，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，根据即可求解；
【详解】解：由题意得：
∵，
∴
解得：
故选：B
7. 如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A、B、C、结果送到B快递点的快递员先到．理由是（ ）
A. 垂线段最短B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线D. 经过一点有无数条直线
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知送到B快递点快递员先到的理由是：垂线段最短；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂线段，熟练掌握“垂线段最短”是解题的关键．
8. 如图，，如果，，那么度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9. 根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是（ ）
A. 8B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的计算，根据即可求解；
【详解】解：∵，
∴
故选：C
10. 在数学中，为了书写简使，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．例如：简记为； 简记为；已知，则的值是（ ）
A. 6B. C. D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给的求和运算方式，将所给算式进行展开即可解决问题．本题考查数字形式的规律，理解题中所给的求和运算是解题的关键．
【详解】解：由题知，
，
因为，
则项的系数为2，
所以此等式的右边只有两项，
故，
则，
所以，，
所以．
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本题共6个小题，满分24分）
11. 已知，则余角的度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据和为的两个角互为余角，计算即可．
【详解】因为，
所以的余角的度数为=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了互为余角即和为的两个角互为余角，熟练掌握定义是解题的关键．
12. __________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握相关运算法则即可．
把系数、同底数幂分别相除，结果作为商的因式即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
13. 如图，相交于点，，，则的度数为__________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及对顶角相等，由三角形内角和定理求出，由对顶角相等得出，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为__________．
【答案】##35度
【解析】
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，利用作图得到，利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：，
∵，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，为边上的中线，已知的周长为，则的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中线的定义，根据题意得，分别表示出、的周长即可求解．
【详解】解：∵为边上的中线，
∴
∵的周长,
∴
∴的周长
故答案为：
16. 快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留，然后按原路原速返回，快车比慢车晚到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时的关系如图所示．下列说法：
①甲乙两地之间的路程为
②慢车的速度是
③出发，快慢两车第一次相遇
④快慢两车相距时，两车出发的时间为或．
其中正确的有__________．（填序号）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息；点表示快车到达乙地，据此可判断①；根据快车比慢车晚到达甲地，求出慢车所需时间，即可判断②；求出快车的速度，从而可求出快慢两车第一次相遇的时间，即可判断③；分类讨论两车相遇前，两车相遇后，快车返回甲地，三种情况即可判断④；
【详解】解：由题意得：点表示快车到达乙地，故甲乙两地之间的路程为，故①正确；
由图象可知，快车从甲地到乙地所需时间为，
∴点表示的时间为：
∵快车比慢车晚到达甲地，
∴慢车所需时间为
∴慢车的速度是，故②正确；
快车的速度是，
∴出发，快慢两车第一次相遇，故③错误；
两车相遇前，，解得：；
两车相遇后，，解得：；
快车返回甲地，，解得：；
∴快慢两车相距时，两车出发的时间为或或．故④错误；
故答案为：①②
三、解答题（本题共10个小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，计算负整数指数幂和零指数幂，然后计算乘法，最后算加减法，
【详解】解：原式
．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，运用平方差公式和单项式乘以多项式展开，然后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
19. 如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，已知A、B、C都是格点请按以下要求作图（注：下列求作的点均是格点）
（1）过点B作一条线段，使平行且等于；
（2）过点A作线段的垂线段；
（3）求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据垂线段的定义画出图形；
（3）根据三角形的面积看成长形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意正确作出图形．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图线段即为所求；
【小问3详解】
解：．
20. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式得乘法及完全平方公式，化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．注意计算的准确性．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
21. 小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v米分，所用时间为m分钟；第二阶段的平均速度为米分，所用时间为n分钟．
（1）第一阶段的路程为__________米；第二阶段的路程为__________米；（用含v，m或n的代数式表示）
（2）下山时，小明的平均速度保持为米分，已知小明上山的路程和下山的路程相同，那么小明下山用了多长时间？
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，抓住路程平均速度时间是解题关键．
（1）根据路程平均速度时间，即可求解；
（2）由（1）求出总路程即可求解；
【小问1详解】
解：第一阶段的路程为米，第二阶段的路程为米，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵总路程，
∴，
即：小明下山用分钟．
22. 给下列推理补全过程和理由．
已知：如图，在中，点D是上的一点，，，求的度数．
证明：（已知）
__________（_________________________________________________）
（已知）
__________（_________________________________）
（_________________________________）
（_________________________________）
（已知）
（_______________________）
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定定理结合已给推理过程进行证明即可．
【详解】证明：（己知）
（两直线平行，同旁内角互补，）
（己知）
（同角的补角相等）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
（等量代换）
23. 如图所示，在中，是三角形的高，且厘米，厘米，厘米，点E是上的一个动点，以2厘米/秒的速度由点B向点C运动．在点E的运动过程中，运动时间t（秒）变化时，的面积y（厘米）也随之变化．
（1）运动时间为__________秒时，点E到达C点；
（2）当t由1秒变化到3秒时，面积y由__________厘米变化到__________厘米；
（3）求在点E的运动过程中，的面积y（厘米）与运动时间t（秒）之间的关系式．
【答案】（1）5 （2）20，4
（3）点E在上运动时，；点E在上运动时，
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数关系以及有理数混合运算的应用．
（1）先求出，然后根据时间路程速度计算即可．
（2）分别计算当当秒时和当秒时，的面积，即可得出答案．
（3）根据点E在上运动时和点E在上运动时，列出y关于t的函数关系式即可．
【小问1详解】
解：，
∴（秒）
故答案为：5．
【小问2详解】
当秒时，的面积，
当秒时，的面积，
故的面积y由20厘米变化到4厘米，
故答案为：20，4．
【小问3详解】
点E在上运动时，，
点E在上运动时，．
24. 王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据：
（1）在这个问题中，自变量是__________，因变量是__________；
（2）该轿车油箱的容量为__________L，行驶时，油箱中的剩余油量为__________L；将油箱加满油后，轿车最多能行驶__________；
（3）油箱剩余油量与行驶的路程的关系式：_____________________；
（4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，王师傅离A地的距离与离开A地的时间之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题：
①A地与B地的路程是__________；王师傅中途有事停了__________h；
②王师傅从A地到B地的平均速度是__________；
③王师傅到达B地后，继续开车到C地，到达C地时油箱中的剩余油量（中途不加油）为，请直接写出B、C两地之间的距离是__________．
【答案】（1）行驶的路程s，油箱剩余油量Q
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了函数的相关概念，学会解读表格数据与函数图象是解题关键．
（1）油箱剩余油量随着行驶的路程变化而变化，据此即可求解；
（2）根据表格数据即可求解；
（3）根据每增加，随着减少，即可求解；
（4）根据图象即可求解①②；③求出王师傅到达B地后油箱中的剩余油量即可求解；
【小问1详解】
解：∵油箱剩余油量随着行驶的路程变化而变化，
∴自变量是行驶的路程s，因变量是油箱剩余油量Q
故答案为：行驶的路程s，油箱剩余油量Q
【小问2详解】
解：由表格数据可知：当时，；当时，；
∴该轿车油箱容量为L，行驶时，油箱中的剩余油量为 L；
∵每增加，随着减少，
∴将油箱加满油后，轿车最多能行驶，
故答案为：
【小问3详解】
解：由（2）可知：
故答案为：
【小问4详解】
解：由图象可知：①A地与B地的路程；王师傅中途有事停了h；
②王师傅从A地到B地的平均速度是：；
③∵，
∴王师傅到达B地后油箱中的剩余油量为：
∵到达C地时油箱中剩余油量（中途不加油）为，
∴B地开车到C地共耗油：
∴B、C两地之间的距离是
故答案为：
25. （1）计算：_______________________________；
（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：
图2：________________________________；
图3：________________________________；
（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系；
做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即．
（4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度．
【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，勾股定理的证明以及应用．
（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据图形的两种面积计算方法即可得出答案；
（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证；
（4）先利用勾股定理求出，再根据等面积法即可求得．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）图二：；
图三：；
故答案为：，；
（3）证明：在图4中，
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简得：．
（4）在中，
，
∴由勾股定理，得：，
，
，
，
．
26. 如图1，，定点E，F分别在直线上
（1）在平行线之间有一个动点P，满足
探究：之间满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线之间的一个动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图2，当点P在的左侧时，请求出之间的数量关系．
②如图3，当点P在的右侧时，直接写出满足的数量关系为________________________；
（2）如图4，点P在的右侧时，的角平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图5，在（2）的条件下，若与的角平分线交于点与的角平分线交于点，以此类推，试写出与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
【答案】（1）①，理由见解析；②
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点P作，则，利用平行线的性质即可求解；
（2）根据角平分线的定义，结合（1）①中结论，即可求解；
（3）类比（2）中结论，可得答案．
【小问1详解】
解：①当点P在的左侧时，过点P作，则，
，
，
；
②当点P在的右侧时，过点P作，则，
，
，
；
故答案为：．
【小问2详解】
解：，
理由如下： 分别平分和，
∴设，
由①得，
，
；
【小问3详解】
解：由（2）知，
，
类比可得，
，
……
以此类推，可得．行驶的路程
0
100
200
300
…
油箱剩余油量
45
35
25
15
…