最新中考数学思想方法讲与练 【新定义问题】圆中的新定义问题

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
圆中的新定义问题
知识方法精讲
1．解新定义题型的方法：
方法一 :从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
2．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
3．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
4．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
一．填空题（共2小题）
1．（2021•禄劝县模拟）如图，是正三角形，曲线叫做“正三角形的渐开线”，其中弧、弧、弧的圆心依次按、、循环，它们依次相连接．若，则曲线的长是 ．
【考点】等边三角形的性质；弧长的计算
【分析】曲线的长由弧，弧，弧组成，它们所对的圆心角都为，而半径分别为1，2，3，根据弧长公式分别计算三个弧长，求它们的和即可．
【解答】解：是正三角形，
，
又，
，，，
弧的长度；
弧的长度；
弧的长度；
所以曲线的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．
2．（2020•成都模拟）如图，在中，，分别是两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧，例如，图中是其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点，，，在中，，分别是，的中点，的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围是 或 ．
【考点】坐标与图形性质；三角形中位线定理；垂径定理
【分析】先判断出点在线段的垂直平分线上，再求出点，，的坐标，再分点在上方和下方，即可得出得出结论．
【解答】解：如图，连接，
由垂径定理可知，圆心一定在线段的垂直平分线上，
作的垂直平分线，
，分别是，的中点，且，，，
，，，
若圆心在线段上方时，
设由三角形中内弧定义可知，圆心在线段上方射线上均可，
，
当圆心在线段下方时，
，
，
，
，
作交直线于，，
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点的下方（含点的直线上时也符合要求；
，
综上所述，或，
故答案为或．
【点评】此题主要考查了新定义，垂径定理，三角形的中位线，线段的垂直平分线定理，找出点在线段的垂直平分线上是解本题的关键．
二．解答题（共18小题）
3．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．点P，Q为⊙O外两点，给出如下定义：若⊙O上存在点M，N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是⊙O的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是 B、C ；
（2）点E（t，t）在第一象限，点F与点E关于x轴对称，若点E，F是⊙O的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；
（3）点G在y轴上，若直线y＝4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标yG的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据⊙O的“成对关联点”的定义，利用数形结合的方法判断即可；
（2）由题意可得点E（t，t）在直线y＝x上，利用点和圆的位置关系和⊙O的“成对关联点”的线段的长度不大于圆的直径列出不等式，解不等式即可得出结论；
（3）利用分类讨论的思想分析得到点G的大致位置，通过计算点G，H的最大临界值即可求得结论．
【解答】解：（1）如图所示，
在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是：B，C，
故答案为：B，C．
（2）∵点E（t，t）在第一象限，
∴点E（t，t）在直线y＝x上，
设直线y＝x与⊙O交于点M（a，a），可知OM＝2，
∴a2+a2＝OM2＝4，
解得：a＝±，
∵点M在第一象限，
∴a＞0，
∴a＝．
由⊙O的“成对关联点”的定义可知：⊙O的“成对关联点”在圆外，
∴OE＞OM，
∴t＞．
∵点F与点E关于x轴对称，
∴EF＝2t，
由题意：EF≤2×2＝4，
∴2t≤4．
解得：t≤2．
∴若点E，F是⊙O的“成对关联点”，t的取值范围：＜t≤2．
（3）当yG＝4时，如图所示：
显然，直线y＝4上不存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”；
当yG＜4时，如图所示：
显然，直线y＝4上不存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”；
当yG＞4时，显然，直线y＝4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，
如图所示：点G，H是⊙O的“成对关联点”，MN为⊙O的直径，
∵GH≤MN，
∴此时，GH取得最大值，yG取得最大值．
设yG＝m，m＞4，直线y＝4与y轴交于点K，
则OG＝m，GK＝m﹣4．
则四边形GHNM是矩形，
∴GH＝MN＝4，∠M＝∠MGH＝90°．
∴∠MGO+∠HGK＝90°，
∵GK⊥KH，
∴∠HGK+∠GHK＝90°．
∴∠MGO＝∠GHK．
∵∠M＝∠GKH＝90°，
∴△MGO∽△KHG，
∴．
∴．
解得：m＝2±2．
∵m＞4，
∴m＝2+2．
∴点G的纵坐标yG的取值范围：4＜yG≤2+2．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关概念及性质，圆的直径，矩形的性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解题干的新定义并熟练应用是解题的关键．
4．（2021秋•海淀区期末）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为．对点及图形给出如下定义：点为图形上任意一点，若，两点间的距离有最大值，且最大值恰好为．则称点为图形的“倍点”．
（1）如图1，图形是半径为1的．
①图形上任意两点间的距离的最大值为 2 ；
②在点，，中，的“倍点”是 ；
（2）如图2，图形是中心在原点的正方形，点．若点是正方形的“倍点”，求的值；
（3）图形是长为2的线段，为的中点，若在半径为6的上存在线段的“倍点”，直接写出所有满足条件的点组成的图形的面积．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）①根据定义解答可；②分别找出、、的最大值，再根据定义判断即可；
（2）正方形上的任意两点间的距离最大值为，若点是正方形的“倍点”，则点到上点的最大距离好为．结合图形即可求解；
（3）分线段在内部和在外两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）①图形是半径为1的，
图形上任意两点间的距离的最大值为2．
故答案为：2；
②如图1，连接并延长交于点，
，
，
不是的“倍点”；
到上各点连线中最大距离为，
不是的“倍点”；
到上各点连线中最大距离为，
是的“倍点”．
故答案为：．
（2）如图2，在正方形中，
正方形上任意两点之间距离的最大距离，
，
由图可知当点在如图所示的位置时，是正方形的“倍点“，
，
的值为：3或．
（3）上，，
当线段在内部时，组成的图形为半径为4的圆，；
当线段在外部时，组成的图形为半径为8的圆，，
故点所构成的图形的面积为或．
【点评】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
5．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：若图形和图形有且只有一个公共点，则称点是图形和图形的“关联点”．
已知点，，，．
（1）直线经过点，的半径为2，在点，，中直线和的“关联点”是 点 ；
（2）为线段中点，为线段上一点（不与点，重合），若和有“关联点”，求半径的取值范围；
（3）的圆心为点，，半径为，直线过点且不与轴重合．若和直线的“关联点”在直线上，请直接写出的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）利用“关联点”的定义进行判断即可；
（2）由题意判定出为等边三角形，过点作于点，交于点，依据“关联点”的定义判定出圆心的位置，利用即可得出结论；
（3）由题意判定出和直线的“关联点” 的轨迹是以为直径的半圆，除外），根据题意求得直线的两个临界值即可得出结论．
【解答】解：（1），，，
，，
点到的距离为2．
的半径为2，
是的切线．
直线与有且只有一个公共点，
直线与相交，而过点的直线有无数条，
在点，，中直线和的“关联点”是点．
故答案为：点；
（2）由题意画出图形如下，过点作于点，交于点，
为线段中点，，
．
．
，
，．
为的垂直平分线．
．
，
．
为等边三角形．
，
，
是的垂直平分线．
点是的外心．
．
为线段上一点（不与点，重合），和有“关联点”，
点在线段上与，不重合），半径．
平分，
．
，
．
．
，
由题意：，
．
半径的取值范围为：；
（3）设直线与相切于点，如图，
则点为直线与的“关联点”．
，，的半径为，
是的切线．
由切线长定理可得：．
和直线的“关联点” 的轨迹是：以点为圆心，为半径的半圆（与轴的交点，除外），
即点的轨迹是以为直径的半圆，除外）．
由题意：．
和直线的“关联点”在直线上，
当直线经过点时，，
解得：．
设直线与轴交于点，与轴交于点，
则，．
．．
．
．
和直线的“关联点”在直线上，
当直线与以为直径的半圆相切时，取得最大值，
设切点为，此时于点，
，
．
．
．
．
，
的取值范围为：．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，圆的切线的判定与性质，点的坐标与图形，等边三角形的判定与性质，点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，用点的坐标表示出相应线段的长度，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
6．（2021秋•大兴区期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，以点为圆心的圆与轴交于，两点，对于点和，给出如下定义：若抛物线经过，两点且顶点为，则称点为的“图象关联点”．
（1）已知，，，，，，在点，，，中，的”图象关联点”是 ， ；
（2）已知的“图象关联点” 在第一象限，若，判断与的位置关系，并证明；
（3）已知，，当的“图象关联点” 在外且在四边形内时，直接写出抛物线中的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由抛物线及圆的对称性可知，的”图象关联点”在线段的垂直平分线上，由此可判断；
（2）连接，过点作于点，证明即可；
（3）求出点纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断的取值范围即可．
【解答】解：（1）抛物线经过，两点且顶点为，
则顶点的横坐标为，
在点，，，中，点和点的横坐标为：，
在点，，，中，的”图象关联点”是，；
故答案为：，．
（2）与的位置关系是：相切．
为的直径，
为的中点．
，，
．
．
连接．
为的“图象关联点”，
点为抛物线的顶点．
点在抛物线的对称轴上．
是的垂直平分线．
．
过点作于．
．
．
与相切．
（3）由（1）知，顶点的横坐标为，由（2）知的半径为1.5，
已知，，当的“图象关联点” 在外且在四边形内时，
顶点的坐标范围大于1.5且小于2，
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线的解析式为：，把点代入得，；
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线的解析式为：，把点代入得，；
的取值范围为：．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题关键是根据图象关联点的定义，得出点的横坐标；涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，综合程度较高，需要学生认真理解题意．
7．（2021秋•海淀区校级期末）平面内的和外一点，过点的直线与交于，两点在，之间），点为平面内一点．若以为边的正方形的面积等于分别以，为一组邻边的矩形的面积，则称正方形为点关于的“原本正方形”，该正方形的中心称为点关于的“原本点”．
如图所示，正方形的面积等于矩形的面积，其中，称正方形为点关于的“原本正方形”，该正方形中心点称为点关于的“原本点”．特别的，当点恰好在上时，称此时正方形的中心为点关于的“单纯原本点”．
（1）在平面直角坐标系中，的半径为4，．
①过点的直线与轴重合，则点关于的“原本正方形”的边长为 ；
②过点的直线与轴夹角为，则点关于的“原本点”中，横纵坐标均为整数的点有 个．
（2）的圆心为，半径为1．点为坐标平面上一点，且，过点的直线与交于，两点．直线与，轴分别交于点和点，若线段上存在点关于的“原本点”，求的取值范围．
（3）的圆心为，，半径为．点为坐标平面内一点，过点的直线与有两个交点，且．若直线上存在点，使得点为点关于的“单纯原本点”，直接写出的最小值．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）①根据新定义设点关于的“原本正方形”的边长为，得出、的坐标，即可求得答案；
②根据圆内接四边形的性质可证得，得出，再由横纵坐标均为整数的点即可得出答案；
（2）根据“原本正方形”的定义，分别求出的最小值和最大值，即可得出答案；
（3）如图4，过点作于，交于，连接，以为边长作正方形，连接、交于点，过点作于，先求出，，，利用三角函数得出，根据直线上点为点关于的“单纯原本点”，求出、，再根据三角函数定义建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①设点关于的“原本正方形”的边长为，如图1，
的半径为4，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
②如图2，，直线与交于、，连接、，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
由①知：，
四边形是正方形，
，
根据，可知或3，或3，
或或或，或，
横纵坐标均为整数的点有8个，
故答案为：8．
（2）如图3，，的圆心为，半径为1，
，即点关于的“原本正方形”的面积为4，
点关于的“原本正方形”的边长为2，
先求的最小值，过点作于点，点在线段上，
则，，
，
直线与，轴分别交于点和点，
，，
，
，
，
，
，
再求的最大值，，
，
的取值范围为．
（3）如图4，过点作于，交于，连接，以为边长作正方形，连接、交于点，过点作于，
直线与轴、轴分别交于点、，
，，，
，，半径为，
，
，
，
直线上点为点关于的“单纯原本点”，
点为正方形的中心，
，
，，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，即，
解得：，
的最小值为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，圆内接四边形的性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，一次函数图象和性质等，解题关键是理解并正确运用新定义．
8．（2021秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．
（1）如图1，如果，线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为 60 ．
（2）如图2，如果、，、，、．
那么的“关联线段”有 （填序号，可多选）．
①线段
②线段
③线段
（3）如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是 ．
（4）如图4，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是 ．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）画图确定相切位置确定关联角即可；
（2）连接，，，，根据线段扫过的位置判断即可；
（3）根据点的运动轨迹判断的最小值即可得出取值范围；
（4）结合题意作图得出的最大值和最小值即可得出的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，作与相切于点，
，
，
，
，，
的“关联角”为，
故答案为：60；
（2）如图2，连接，，，，
，
绕旋转无法与相切，
故不是的“关联线段”，
，，，
是的“关联线段”，
，
是的“关联线段”，
故答案为：②③；
（3）如图3，
点旋转路线在半径为1的上，
当与相切时，
由（1）知，，
当时，线段是的“关联线段”，
故答案为：；
（4）如图4，当取最大值时，
点运动最小半径是到过的直线的距离是，
，，
，
，
的最大值为4，
如图5，当取最小值时，
开始时存在与相切，
，，
，
，
，
综上，的取值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的综合题型，准确理解关联线段与关联角的定义是解题的关键．
9．（2021秋•海淀区校级期末）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形的叫的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．
（1）已知是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线；②直线；③双曲线，是的关联图形的是 ①③ （请直接写出正确的序号）．
（2）如图1，的圆心为，半径为1，直线与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．
（3）如图2，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线
上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据的关联图形的定义判断即可．
（2）直线的临界状态是和相切的两条直线和，求出两种特殊情形的点的横坐标即可解决问题．
（3）分两种情形：如图中，当点在点是上方时，连接，交于点，当圆心在轴上时，点与点重合，此时，得到的最大值为2．如图中，当点在点是上方时，直线，交于点，当圆心在轴上时，点得到的最小值为，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意①③是的关联图形，
故答案为①③．
（2）如图1中，
直线是的关联直线，
直线的临界状态是和相切的两条直线和，
当临界状态为时，连接为切点），
，，且，
是等腰直角三角形，
，，
，，
把，代入中，得到，
同法可得当直线是临界状态时，，
点的横坐标的取值范围为．
（3）如图中，当点在点是上方时，连接，交于点，当圆心在轴上时，点与点重合，此时，得到的最大值为2，
如图中，当点在点是上方时，直线，交于点，当圆心在轴上时，点得到的最小值为，
综上所述，，．
【点评】本题属于圆综合题，考查了的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
10．（2021秋•工业园区校级期中）在平面直角坐标系内，过（半径为外一点引它的一条切线，切点为，若，则称点是的“沙湖点”．
（1）当的半径为1时，
①在点，，中，的“沙湖点”是 ， ；
②点在直线上，且点是的“沙湖点”，求点的横坐标的取值范围；
（2）的圆心为，半径为2，直线与轴，轴分别交于点，．若直线上的所有点都是的“沙湖点”，求的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据的“沙湖点”的定义判断即可．
②如图2中，设点的坐标为，构建方程求出两种特殊位置时点的坐标即可解决问题．
（2）求出几种特殊位置时的值即可判断．①如图中，设是的切线，当时，线段上的所有点都是的沙湖点．②如图中，设是的切线，连接，则．③如图中，当在直线的左侧与相切时，设切点为，连接．分别求出的值，结合图形即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1中，
，，，
切线的长，
切线的长，
切线的长，
点，是，的沙湖点，
故答案为：，．
②如图2中，设点的坐标为，
当过点的切线长为时，
，
，
解得，．
结合图象可知，点的横坐标的取值范围是．
（2）由题意，．
①如图中，设是的切线，当时，线段上的所有点都是的沙湖点，此时．
观察图象可知：当时，线段上的所有点都是的沙湖点．
②如图中，设是的切线，连接，则，
当时，，此时，
③如图中，当在直线的左侧与相切时，设切点为，连接．
，，
，，
，
是切线，
，
，
，
，
，
，
，
此时，
结合图象可知，当时，线段上的所有点都是的沙湖点，
综上所述，的取值范围是或．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆的沙湖点的定义，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
11．（2021秋•溧阳市期中）概念认识：
平面内，为图形上任意一点，为上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到的“最近距离”，记作．例：如图1，在直线上有、、三点，以为对角线作正方形，以点为圆心作圆，与交于、两点，若将正方形记为图形，则、两点间的距离称为图形到的“最近距离”．
数学理解：
（1）在平面内有、两点，以点为圆心，5为半径作，将点记为图形，若，则 3或7 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作圆．
①将点记为图形，则 ．
②将一次函数的图记为图形，若，求的取值范围．
推广运用：
（3）在平面直角坐标系中，的坐标为，的半径为2，、两点的坐标分别为、，将记为图形，若，则 ．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据图形到的“最近距离”的定义即可解决问题．
（2）①如图2中，连接交于．求出的长即可．
②如图，设直线与相切于，．连接，．求出直线，直线的解析式即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图中，当点在内部时，作于，交于．②如图中，当点在的外侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
，
，
，
，．
故答案为：3或7．
（2）①如图2中，连接交于．
，
，
，
，
．
故答案为：3．
②如图，设直线与相切于，．连接，．
，，，，
，，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，
观察图象可知满足条件的的值为且．
（3）如图中，当点在的右边时．
，
，
，
．
如图中，当点在的外侧时，由题意可知，，．
综上所述，满足条件的的值为8或．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形到的“最近距离”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
12．（2021•常州一模）在平面直角坐标系中，的半径是，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，使平移后的线段成为的弦（点，分别为点，的对应点），线段长度的最小值成为线段到的“优距离”．
（1）如图1，中的弦、是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是 平行 ；在点，，，中，连接点与点 的线段长度等于线段到的“优距离”；
（2）若点，，线段的长度是线段到的“优距离”，则点的坐标为 ；
（3）如图2，若，是直线上两个动点，记线段到的“优距离”为，则的最小值是 ；请你在图2中画出取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据平移的性质，可以得到，由图可以得到的长度等于线段到的“优距离”；
（2）根据定义和（1）提示，可以知道，平移，使对应点落在圆上，即在圆上满足，，这样的只有两条，别切位于圆心两侧，根据题意画出草图，可以得到如图1的位置，线段是线段到的优距离，利用和坐标，求出直线解析式，从而得到直线的比例系数，同时可以得到为等腰直角三角形，因为，过作，利用垂径定理和勾股定理，求出，利用，得到为等腰直角三角形，过作轴于点，从而可以求得，得到直线解析式为，设，过作轴于，在△中，利用勾股定理，列出方程即可求解；
（3）由（2）可知，经过平移，对应点落在圆上，，，符合条件的只有两条，并且位于点两侧，如图2，根据垂线段最短，当时，最小，过作，分别交于，交于，用（2）中方法求解和，得到的长度，即可解决．
【解答】解：（1）平移得到，
，
同理，，
，
由图可得，连接点与点的线段长度等于线段到的“优距离”，
故答案为：平行，，；
（2）如图1，过作轴于，则，
，，
，
设直线为，代入点，得，
直线为，
设直线交轴于，
轴，
轴，
，
由（1）可得，平移，使对应点落在上，此时，且，
这样的对应线段有两条，分别位于圆心点两侧，
所以当在如图位置时，线段的长度是到的“优距离”，
过作，分别交于，交于
，
，
，
连接，
，
，
在△中，，
过作轴于，
，
，
，
，
设直线为，代入点，得，
直线为，
设，过作轴于，
在△中，，
，
或3，
，
，
，
故答案为：；
（3）由（2）可知，经过平移，对应点落在圆上，，，
符合条件的只有两条，并且位于点两侧，
如图2，根据垂线段最短，当时，最小，
，，
四边形为平行四边形，
，
为矩形，
，
令，则，
，
同理，，
，
为等腰直角三角形，
过作，分别交于，交于，连接，
，
在△中，，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
即的最小值为．
【点评】本题是以圆为背景的新定义题目，能在题目中提炼出定义的内容，是本题的突破口，借助特殊三角形和勾股定理，垂径定理，求解相关的线段和角度，是解决此类问题的基本功．
13．（2021•建邺区二模）【概念学习】
在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，，，则对线段的“最近覆盖距离”为3．
【概念理解】
（1）对点的“最近覆盖距离”为 4 ．
（2）如图②，点是函数图象上一点，且对点的“最近覆盖距离”为3，则点的坐标为 ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数的图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，求的取值范围．
（4）、，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是 ．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）由题意即可求解；
（2）由题意可知，到圆的最小距离为3，即到圆心的距离为4，设，则，即可求解；
（3）考虑临界状态，当时，函数图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，利用三角形相似求出；同理，另一个临界状态为，即可求解；
（4）由题意可知，是一条倾斜角度为，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦，，如果落在弧上，或者落在弧上，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，对点的“最近覆盖距离”为4，
故答案为：4；
（2）由题意可知，到圆的最小距离为3，
即到圆心的距离为4，
设，
则，
解得，
故点的坐标为或，，
故答案为：或，；
（3）如图，考虑临界状态，
当时，函数图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，
，，
，
，
则，
设，则，
由勾股定理可得：，
解得（舍，
，
此时．
同理，另一个临界状态为，
经分析可知，函数相比临界状态更靠近轴，则存在点，
或；
（4）由题意可知，是一条倾斜角度为，长度为的线段，
可在圆上找到两条与之平行且等长的弦，，
如果落在弧上，或者落在弧上，则成立，
当时，到弧的最小距离为，
此时，
当时，到弧的最小距离为，
此时，
综上，，
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形相似、新定义等，数形结合是本题解题的关键．
14．（2021•石景山区二模）在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点．
（1）当的半径为2时，
①在，，，三个点中，是的二倍点的是 、 ；
②已知一次函数与轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，求的取值范围．
（2）已知点，，，的半径为2，若线段上存在点为的二倍点，直接写出的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）①的半径为2时，的二倍点到的距离小于2，且大于1，求出，，，与圆心的距离即可得答案；
②过作于，一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，，且且，用的代数式表示，列出不等式，即可解得的范围；
（2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式即可解得范围．
【解答】解：（1）对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点，
的半径为2时，的二倍点到的距离小于2，且大于1，
①，，，，
，，，
的二倍点的是、，
故答案为：、．
②若，则在第二象限的图象是一条射线（不含端点），不可能所有点都是的二倍点，故，
又时，，即直线过定点，过作于，如图：
由，可得，
而可得，
一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，一次函数与轴的交点是，
且
，
解得；
（2）①当从左侧沿正方向移动时，线段上存在点为的二倍点，如图
则满足，且，
，且，
解得，且或，
结合图形可得，此时线段上存在点为的二倍点，，
②当移动到右侧，线段上存在点为的二倍点，如图：
则满足，且，
，且，
解得或，且，
结合图形可得，此时线段上存在点为的二倍点，，
综上所述，线段上存在点为的二倍点，则或．
【点评】本题考查圆的综合知识及新定义问题，解题的关键是理解二倍点的定义，找到“临界点”，题目难度较大．
15．（2020•雨花区校级一模）在平面直角坐标系中，对于点和正实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的“倍雅圆”
例如，在图1中，点的“1倍雅圆”是以点为圆心，2为半径的圆．
（1）在点，中，存在“1倍雅圆”的点是 ．该点的“1倍雅圆”的半径为 ．
（2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，点在第一象限内，且满足，试判断直线与点的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；
（3）如图3，已知点，，将直线绕点顺时针旋转得到直线．
①当点在直线上运动时，若始终存在点的“倍雅圆”，求的取值范围；
②点是直线上一点，点的“倍雅圆”的半径为，是否存在以点为圆心，为半径的圆与直线有且只有1个交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）求出圆的半径，而，即可求解；
（3）①利用全等求出点，得到直线的表达式为，设点，当始终存在点的“倍雅圆”时，则且△成立，即可求解；
②，假设存在以点为圆心，为半径的圆与直线有且只有1个交点，则，即可求解．
【解答】解：（1）对于，圆的半径为，故符合题意；
对于，圆的半径为，故不符合题意；
故答案为，10；
（2）如图1，过点作于点，
则点，，则圆的半径，
则中，，
，
直线与点的“2倍雅圆”的位置关系为相交；
（3）①过点作直线于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
设点，
将直线绕点顺时针旋转得到直线，则，故，
，，
，
，，
，
，，即，，
解得：，，故点；
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
设点，
始终存在点的“倍雅圆”时，则圆的半径恒成立，
且△成立，即且△，
解得：；
②存在，理由：
如图2，过点作于点，
由点、的坐标同理可得，直线的表达式为，
设点，
由点、的坐标得，，则，
则，则，
假设存在以点为圆心，为半径的圆与直线有且只有1个交点，
则，
解得：，
故点的坐标为：．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了一次函数和二次函数基本知识、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
16．（2020•丰台区二模）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．
在平面直角坐标系中，点．
（1）已知点，，，分别以，为圆心，1为半径作，，以为圆心，2为半径作，其中是点和轴的点线圆的是 ， ；
（2）记点和轴的点线圆为，如果与直线没有公共点，求的半径的取值范围；
（3）直接写出点和直线的最小点线圆的圆心的横坐标的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）由点线圆的定义画出图形可得出答案；
（2），经过点，且与轴和直线都相切，此时的半径，经过点，且与轴和直线都相切，切点分别为，，连接，，，过作轴于点，设，即得出．解出．可得出答案；
（3）画图可知点和直线的最小点线圆的圆心的轨迹，则可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，由点线圆的定义可知：
是点和轴的点线圆，
如图2，不经过点，故不是点和轴的点线圆，
如图3，由点线圆的定义可知：是点和轴的点线圆，
故答案为：，．
（2）如图4，经过点，且与轴和直线都相切，此时的半径，
如图5，经过点，且与轴和直线都相切，切点分别为，，连接，，，
过作轴于点，
设，
，
，
，
，
，
，
．
由勾股定理得，，
即．
解得：（舍去），，
．
（3）如图6，点和直线的最小点线圆的圆心在直径为1的圆上，
，
，
圆心的横坐标的取值范围是或．
【点评】本题属于圆综合题，直线和圆的位置关系，勾股定理，一次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
17．（2020•海淀区一模），是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称为关于的内直角，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称为关于的最佳内直角．如图1，是关于的内直角，是关于的最佳内直角．在平面直角坐标系中．
（1）如图2，的半径为5，，是上两点．
①已知，，，在，，中，是关于的内直角的是 ， ；
②若在直线上存在一点，使得是关于的内直角，求的取值范围．
（2）点是以为圆心，4为半径的圆上一个动点，与轴交于点（点在点的右边）．现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使是关于的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）判断点，，是否在以为直径的圆弧上即可得出答案；
（2）求得直线的解析式，当直线与弧相切时为临界情况，证明，可求出此时，则答案可求出；
（3）可知线段上任意一点（不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点在该圆的最高点时，有最大值2，再分点不与点重合，点与点重合两种情况求出临界位置时的值即可得解．
【解答】解：（1）如图1，
，，，
，，，
不在以为直径的圆弧上，
故不是关于的内直角，
，，，
，，，
，
，
是关于的内直角，
同理可得，，
是关于的内直角，
故答案为：，；
（2）是关于的内直角，
，且点在的内部，
满足条件的点形成的图形为如图2中的半圆（点，均不能取到），
过点作轴于点，
，，
，，
并可求出直线的解析式为，
当直线过直径时，，
连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，
，，
，
，
是半圆的切线．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，直线的解析式为，
直线的解析式为，此时，
的取值范围是．
（3）对于线段上每一个点，都存在点，使是关于的最佳内直角，
点一定在的边上，
，，线段上任意一点（不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2，
当点在该圆的最高点时，有最大值，
即的最大值为2．
分两种情况：
①若点不与点重合，那么点必须在边上，此时，
点在以为直径的圆上，
如图3，当与相切时，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
当与重合时，，
此时的取值范围是，
②若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，，
此时的取值范围是，
综合以上可得，的取值范围是．
【点评】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
18．（2020•延庆区一模）对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，以为半径作，使得图形上的所有点都在的内部（或边上），当最小时，称为图形的点控制圆，此时，的半径称为图形的点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，其中点．
（1）已知点，正方形的点控制半径为，正方形的点控制半径为，请比较大小： ；
（2）连接，点是线段上的点，直线；若存在正方形的点控制圆与直线有两个交点，求的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据控制半径的定义，分别求出和的值即可得解．
（2）如图所示：和的半径均等于，分两种情况：①当直线与相切于点时，连接，则，②当直线与相切于点时，连接，则；分别求得两个切点的坐标，进而得出值，则可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：，，
，
故答案为：．
（2）如图所示：和的半径均等于，
当直线与相切于点时，连接，则，
则直线的解析式为：，
设，
，
，
，
解得：或（舍，
，
，，
将，代入得：，
解得：．
当直线与相切于点时，连接，则，
同理，设直线的解析式为：，将代入得：
，
，
直线的解析式为：，
设，
，
，
，
（舍或，
，
，，
将，代入得：，
解得：，
存在正方形的点控制圆与直线有两个交点，此时的取值范围为：．
【点评】本题是圆的新定义综合题，综合考查了勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、解方程及切线的性质等知识点，正确理解控制圆和控制半径的定义是解题的关键．
19．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，以为直径作，点在轴上，且在点上方，过点作的切线，为切点，如果点在第一象限，则称为点的离点．例如，图1中的为点的一个离点．
（1）已知点，为的离点．
①如图2，若，则圆心的坐标为 ，线段的长为 ；
②若，求线段的长；
（2）已知，直线．
①当时，若直线上存在的离点，则点纵坐标的最大值为 ；
②记直线．在的部分为图形，如果图形上存在的离点，直接写出的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）①由，，以为直径作，得出，由切线的性质得出，求出，，由勾股定理即可得出的长；
②过作轴于点，连接，．求出．由勾股定理得．得出．求出．由勾股定理进而得出答案；
（2）①当时，，设，的纵坐标为4时，与圆相切，设，求出的解析式为，得出点横坐标为，得出，则，由得出方程，得出或，即可得出答案；
②求出经过定点，由切割线定理得出，当时，点的在端点和之间运动，求出当时，当时，的值，即可得出答案；当时，同理即可得出答案．
【解答】解：（1）①，，以为直径作，
，
过点作的切线，为切点，
连接，则，如图2所示：
在中，，
点，
，
，
故答案为；
②如图3，过作轴于点，连接，．
，，
．
．
在中，由勾股定理可得．
．
，，
．
在中，由勾股定理可得．
在中，由勾股定理可得．
（2）①如图1：当时，，
设，
，
的纵坐标为4时，与圆相切，
设，
，，
，
的解析式为，
点横坐标为，
，
，
，
，
，
或，
的最大值为6；
故答案为：6．
②，
经过定点，
是圆的切线，是圆的弦，
，如图4所示：
当时，
点的在端点和之间运动，
当时，，
以为圆心，长为半径的圆与轴交于点，
此时，
当时，，
，
，
，
，
；
当时，
当时，，
以为圆心，长为半径的圆与轴交于点，
此时，
当时，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是圆的综合题目；考查了切线的性质、新定义、坐标与图形性质等知识；熟练掌握圆的切线的性质，构造直角三角形，结合直线与圆的位置关系解题是关键．
20．（2020•渠县校级一模）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：若平面上一点到圆心的距离，满足，则称点为的“随心点”．
（1）当的半径时，，，，，，中，的“随心点”是 、 ；
（2）若点是的“随心点”，求的半径的取值范围；
（3）当的半径时，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上存在的“随心点”，直接写出的取值范围 ．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）分别判断、、、四个点到圆心的距离是否符合规定即可．
（2）先算出长度，再根据“随心点“的定义列出不等式组解出的取值范围．
（3）已知，因此先算出和的值，由解析式可得、坐标，由于直线与垂直，故联立两直线方程可解出交点的坐标，然后用两点间的距离公式可得长度（注意的符号未知，表示长度应加绝对值符号），线段上存在“随心点“，则意味着且，列出不等式组即可解出的取值范围．
【解答】解：（1），
，，
，
，
不是“随心点”；
，
，
是“随心点”；
，，
，
不是“随心点”；
，，
，
是“随心点”；
综上所述，的“随心点”是、．
故答案为：、；
（2），
，
因为是的“随心点”，
，即，
解得．
（3），
，，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
过点且与直线垂直的直线解析式为，
联立方程组：，解得：
直线与直线交点坐标为，，
，
线段上存在的随心点，
，
解得或．
【点评】本题为圆的综合题，主要考查了点与圆的位置关系的判断、两点间的距离公式、直线与直线交点坐标的求解、解不等式组等重要知识点．深刻理解“随心点”的定义是解答本题的关键．