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最新中考数学思想方法讲与练 【整体思想】解方程中的整体思想
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这是一份最新中考数学思想方法讲与练 【整体思想】解方程中的整体思想，文件包含中考数学思想方法讲与练整体思想解方程中的整体思想教师版docx、中考数学思想方法讲与练整体思想解方程中的整体思想学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
解方程中的整体思想
知识方法精讲
1．整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
用整体思想解方程，就是先考虑方程中的某一个代数式整体去代入，然后再解出方程中的未知数的值就可以。
2．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
3．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
4．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
5．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
6．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
7．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
8．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
9．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
10．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
一．选择题（共3小题）
1．（2021秋•沙坪坝区校级期中）关于、的二元一次方程组的解满足，则的值是
A．2B．C．D．3
2．（2020秋•岳西县期末）若方程组的解为，则方程组的解为
A．B．
C．D．
3．（2021•越秀区校级一模）关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
4．（2021秋•黄骅市期末）已知x，y满足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．
（1）x﹣y的值为 ；
（2）若x2+y2＝6，则xy的值为 ．
5．（2021秋•芜湖期末）观察下列方程：①；②；③，可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于的方程为正整数）的解 ．
6．（2021春•常熟市期中）在解决以下问题：“已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解”的过程中，甲、乙两位同学分别提出了各自的想法．甲说：“两个方程组外表很相似，且它们的系数有一定的规律，可以试试．”乙说：”能不能把第二个方程组中的两个方程利用等式性质加以变形，再利用整体思想通过换元的方法来解决．”参考他们俩的讨论内容，你认为该方程组的解是 ， ．
7．（2021秋•花都区期末）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 ．
8．（2020秋•自贡期末）关于的方程的两个解为，；的两个解为，，则关于的方程的两个解为 ．
三．解答题（共11小题）
9．（2021春•娄底期中）已知关于、的二元一次方程组的解是，求关于、的二元一次方程组的解．
10．（2021秋•昌江区校级期中）解方程组：
（1）；
（2）；
（3），求的值．
11．（2021春•济源期末）题目：满足方程组的与的值的和是2，求的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于、的二元一次方程组，分别求出、的值（含有字母，再由，构造关于的方程求解，从而得出值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“”整体值，从而求出值．
请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．
（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令，．
解得：，又，
．
．
把，代入方程②，得．
所以的值为或．
请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
12．（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：即③，
把方程①代入③得：，
，
把代入①得，
方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知，满足方程组，求与的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
13．（2019秋•吉州区期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即③
把方程①代入③得：，，
所以代入①得，方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知，满足方程组，求的值和的值．
14．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，
即，③
把方程①代入③，得．．
把代入①，得．
原方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：
（2）已知，满足方程组，求的值．
15．（2021春•饶平县校级期末）已知方程组由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为；乙看错了方程②中的得到方程组的解为，若按正确的，计算，请你求原方程组的解．
16．（2020春•南关区月考）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，方法简单的是 ．
（A）由①，得，代入②，先消去，求出，再代入求解．
（B）将①代入②，得，解得，再代入求解．
探究：解方程组．
应用：若关于，的二元一次方程组的解中的是正数，则的取值范围为 ．
17．（2021春•江都区校级期中）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．
如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
18．（2021秋•长丰县月考）已知关于，的二元一次方程组．
（1）当方程组的解为时，求的值．
（2）当时，求方程组的解．
（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程中，即可求出的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．
19．（2021春•沭阳县期末）仔细阅读下列内容，并回答问题：
用代入法解方程组有以下步骤：
①由（1）得，（3）；
②把（3）代入（1）得，；
③整理得；
④可取一切实数，原方程组有无数个解．
（1）选择：以上解法中，造成错误的一步是 ；
．①
．②
．③
．④
（2）用加减法解这个方程组．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
解方程中的整体思想
知识方法精讲
1．整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
用整体思想解方程，就是先考虑方程中的某一个代数式整体去代入，然后再解出方程中的未知数的值就可以。
2．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
3．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
4．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
5．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
6．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
7．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
8．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
9．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
10．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
一．选择题（共3小题）
1．（2021秋•沙坪坝区校级期中）关于、的二元一次方程组的解满足，则的值是
A．2B．C．D．3
2．（2020秋•岳西县期末）若方程组的解为，则方程组的解为
A．B．
C．D．
3．（2021•越秀区校级一模）关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
4．（2021秋•黄骅市期末）已知x，y满足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．
（1）x﹣y的值为 ；
（2）若x2+y2＝6，则xy的值为 ．
5．（2021秋•芜湖期末）观察下列方程：①；②；③，可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于的方程为正整数）的解 ．
6．（2021春•常熟市期中）在解决以下问题：“已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解”的过程中，甲、乙两位同学分别提出了各自的想法．甲说：“两个方程组外表很相似，且它们的系数有一定的规律，可以试试．”乙说：”能不能把第二个方程组中的两个方程利用等式性质加以变形，再利用整体思想通过换元的方法来解决．”参考他们俩的讨论内容，你认为该方程组的解是 ， ．
7．（2021秋•花都区期末）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 ．
8．（2020秋•自贡期末）关于的方程的两个解为，；的两个解为，，则关于的方程的两个解为 ．
三．解答题（共11小题）
9．（2021春•娄底期中）已知关于、的二元一次方程组的解是，求关于、的二元一次方程组的解．
10．（2021秋•昌江区校级期中）解方程组：
（1）；
（2）；
（3），求的值．
11．（2021春•济源期末）题目：满足方程组的与的值的和是2，求的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于、的二元一次方程组，分别求出、的值（含有字母，再由，构造关于的方程求解，从而得出值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“”整体值，从而求出值．
请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．
（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令，．
解得：，又，
．
．
把，代入方程②，得．
所以的值为或．
请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
12．（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：即③，
把方程①代入③得：，
，
把代入①得，
方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知，满足方程组，求与的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
13．（2019秋•吉州区期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即③
把方程①代入③得：，，
所以代入①得，方程组的解为，
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组，
（2）已知，满足方程组，求的值和的值．
14．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，
即，③
把方程①代入③，得．．
把代入①，得．
原方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：
（2）已知，满足方程组，求的值．
15．（2021春•饶平县校级期末）已知方程组由于甲看错了方程①中的得到方程组的解为；乙看错了方程②中的得到方程组的解为，若按正确的，计算，请你求原方程组的解．
16．（2020春•南关区月考）感知：解方程组，下列给出的两种方法中，方法简单的是 ．
（A）由①，得，代入②，先消去，求出，再代入求解．
（B）将①代入②，得，解得，再代入求解．
探究：解方程组．
应用：若关于，的二元一次方程组的解中的是正数，则的取值范围为 ．
17．（2021春•江都区校级期中）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．
如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
18．（2021秋•长丰县月考）已知关于，的二元一次方程组．
（1）当方程组的解为时，求的值．
（2）当时，求方程组的解．
（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程中，即可求出的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．
19．（2021春•沭阳县期末）仔细阅读下列内容，并回答问题：
用代入法解方程组有以下步骤：
①由（1）得，（3）；
②把（3）代入（1）得，；
③整理得；
④可取一切实数，原方程组有无数个解．
（1）选择：以上解法中，造成错误的一步是 ；
．①
．②
．③
．④
（2）用加减法解这个方程组．
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