最新中考数学思想方法讲与练 【转化思想】圆中的转化思想

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
圆中的转化思想
知识方法精讲
1．转化思想
转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。
2．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
3．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
4．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
5．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
6．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
7．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
一．选择题（共6小题）
1．（2021•枣庄）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，2为半径作圆弧，再分别以，为圆心，1为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
2．（2021秋•覃塘区期中）如图，一张含有的三角形纸片，剪去这个角后，得到一个四边形，则的度数是
A．B．C．D．
3．如图，在中，，，，分别以，为圆心，以的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 ．
A．B．C．D．
4．（2020•锡山区校级模拟）某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的0刻度固定在半圆的圆心处，刻度尺可以绕点旋转．图中所示的图尺可读出的值是
A．B．C．D．
5．（2020•河北模拟）已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为
A．B．C．D．5
6．如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
二．填空题（共9小题）
7．（2020秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系中，，经过点．点，点在轴上，，延长，分别交于点，点，设直线与轴正方向所夹的锐角为．
（1）的半径为 ；
（2） ．
8．如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留．
9．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是，油面高为，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为 ．
10．如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回到点的最短的路线长是 ．
11．如图，已知直角扇形的半径，以为直径在扇形内作半圆，过点引交于点，则与半圆弧及所围成的阴影部分的面积 ．
12．如图，已知中，，，以为直径的半圆与相切于点，则图中阴影部分的面积是 ．
13．已知的半径为1．弦的长为，若在上找一点，使，则 ．
14．如图，阴影部分的面积为 ．
15．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ．
三．解答题（共6小题）
16．（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，以为直径的圆交于点，交于点，延长至点，使，连结，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求．
17．（2021•滨城区一模）如图，在中，，，点在上，以为直径的经过点．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．
18．（2021•罗平县模拟）如图，是的直径，是弦，点在圆外，于点，交于点，连接、、，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
19．（2021•商河县校级模拟）（1）初步思考：
如图1，在中，已知，，为上一点且，试证明：
（2）问题提出：
如图2，已知正方形的边长为4，圆的半径为2，点是圆上的一个动点，求的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形的边长为4，，圆的半径为2，点是圆上的一个动点，求的最大值．
20．问题提出
（1）如图1，正方形的对角线交于点，是边长为6的等边三角形，则、之间的距离为 ；
问题探究
（2）如图2，在边长为6的正方形中，以为直径作半圆，点为弧上一动点，求、之间的最大距离；
问题解决
（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟，发现自家的窑洞（如图3所示）的门窗是由矩形及弓形组成，，，弓高为的中点，，小宝说，门角到门窗弓形弧的最大距离是、之间的距离．小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？请通过计算求出门角到门窗弓形弧的最大距离．
21．如图，点为直径延长线上一点，过点作的切线，切点为，过点作，垂足为，连接、、，已知．
（1）求的值；
（2）若，试求的长．
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．