【二轮复习】2024年高考数学二轮复习测试卷（新高考Ⅰ卷专用）.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已如集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意集合，
.
故选：A.
2．若是方程的一个虚数根，则（ ）
A．0B．-1C．D．-1或
【答案】A
【解析】方程化为：，依题意，或，
显然，又，即，
所以.
故选：A
3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“
”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】所有“重卦”共有种，恰有2个阴爻的情况有种，
所以该重卦恰有2个阴爻的概率为.
故选：B.
4．设，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，令得，
所以函数在区间单调递增，因为，
所以，即，，
不等式两边同乘得，即.
故选：B.
5．已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【解析】因为为等比数列的前项和，
所以成等比数列，
由，得，则，
所以，所以，
，所以，
，所以，
，所以，
所以.
故选：C.
6．抛物线的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【解析】抛物线的焦点，可知方程，
与抛物线方程联立，
不妨设A在第一象限，∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，依题意得点，在直线上，
点关于直线对称的点，
点在圆关于直线对称的圆上，
设，则，
解得，且半径为，
所以圆，
则，
设圆的圆心为，
因为，
所以
，
当五点共线，
在线段上，在线段上时“”成立．
因此的最大值为5．
故选：C
8．已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】作出的图象如图，
由题，，，
所以，
令（），则当时，；当时，.
，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，且，
所以的取值范围为.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．第一组样本数据，第二组样本数据，，…，，其中（），则（ ）
A．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍
B．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍
C．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍
D．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍
【答案】CD
【解析】设样本数据，的样本平均数为，样本中位数为，样本标准差为，极差为，
对于A,C选项：由，根据平均数和标准差的性质可知，
样本数据，，…,的样本平均数为，故A错误；
样本数据，，…,的样本方差为，所以第二组数据的样本标准差，故C正确；
对于B选项：根据中位数的概念可知，样本数据，，…,的中位数为，故B错误；
对于D选项：根据极差的概念可知, 样本数据，，…，的极差为,故D正确.
故选：CD.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．函数在区间内有6个零点
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为
【答案】AD
【解析】
，
对于A：，A正确；
对于B：当时，，则分别取时对于的的值为函数在区间上的零点，只有个，B错误；
对于C：，故点不是的对称中心，C错误；
对于D：由已知，
当时，，
因为在上的最大值为，
所以，解得，D正确.
故选：AD.
11．正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（ ）
A．当在线段上运动时，与所成角的最大值是
B．当在棱上运动时，存在点使
C．当在面上运动时，四面体的体积为定值
D．若在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是
【答案】BC
【解析】对于A，在正方体中，易知，
所以与所成角等价于与所成的角，
当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误.
对于B，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，，
因为，，
所以，故B正确.
对于C，因为在面内，面到平面的距离等于，
而三角形面积不变，故体积为定值，故C正确.
对于D，因为棱垂直于上底面，且与所成角为，
所以在中，，
由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故D错误.
故选：BC.
12．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．为奇函数B．在处的切线斜率为7
C．D．对
【答案】ACD
【解析】由题意定义域为的函数满足
令，则，
令，则，即，
故为奇函数，A正确；
由于，故，即，
则为偶函数，由可得，
由，令得，
故，令，则，B错误；
又，
则，
令，则，
由柯西方程知，，故，
则，由于，故，
即，则，C正确；
对
,
故，D正确，
故选：ACD
第二部分（非选择题 共110分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，则 ．
【答案】
【解析】，
，
，
，
故答案为：
14．展开式中，含的项的系数为 ．
【答案】
【解析】由二项式展开式的通项，
则在展开式中，含项的系数为．
故答案为：.
15．若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 ．
【答案】4
【解析】因为，
所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点，
可得，则．
故答案为：4.
16．如图，正方形与正方形的中心重合，边长分别为3和1，，，，分别为，，，的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿，，，折起，使，，，重合于P点，则四棱锥的高为 ，若直四棱柱内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面内，则该直四棱柱体积的最大值为 ．

【答案】
【解析】由题意可知，四棱锥为正四棱锥，边上的高为，如下图所示：
取的中点，连接、交于点，连接、、，
则为、的中点，由正四棱锥的几何性质可知，平面，
因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，则，所以，，
在中，得,
作出四棱柱内接于该四棱锥在平面上的平面图如图所示：
设,，则，
因为，所以，解得，
所以直四棱柱的体积,
所以，
当时，当时，
所以函数在上单调递增，上单调递减，
所以当时体积最大，最大为.
故答案为：，.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
在中，角的对边分别为，，，已知的面积为.
(1)求；
(2)若，求.
【解析】（1）结合题意：的面积为,
，
结合余弦定理可得：，
所以，解得，
所以.
（2）因为，所以，易得为锐角，
所以，所以，
由上问可知,,
所以，
所以,整理得,
即，解得（舍去），或.
18．（12分）
某平台为了解当代大学生对“网络公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.为了调查当代大学生对④、⑥、⑧、⑩四道选答题的答题情况，从同济大学在④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：
(1)学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：（规定同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人）
请完成上述2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关.
(2)从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的数学期望；
参考公式：，其中.
附表：
【解析】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有人，
由此补全列联表如下：
，
所以“公序良俗”达人与性别有关.
（2）的可能有，
，
，
，
，
所以的分布列如下：
所以数学期望为.
19．（12分）
在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因为底面为正方形，
所以，又侧面底面，
侧面底面，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，连接，
则为正三角形，取中点，则，
由平面及平面，得，
又，所以底面，
过点作交于，
如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量，
所以
令，则，可得平面的法向量.
所以，
故直线和平面所成角的正弦值为.
20．（12分）
已知是等差数列，，.
(1)求的通项公式和；
(2)已知为正整数，记集合的元素个数为数列.若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和.
【解析】（1）由题意，（分别是首项，公差），解得，
所以的通项公式为，
所以.
（2）由题意且为正整数，即，所以，
所以，
所以，
所以的前项的和为
.
21．（12分）
已知函数.
(1)求的极值；
(2)已知，证明：.
【解析】（1），，令，可得.
令，可得，
令，可得，或
所以在上单调递增，在和上单调递减.
所以的极大值为的极小值为.
（2）由，
可得，
所以.
由对称性，不妨设，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以.
由（1）可知在上的最大值为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
因为等号不能同时取到，所以.
22．（12分）
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上两点满足直线与在轴上的截距之比为，试判断直线是否过定点，并说明理由.
【解析】（1）由，得.
又圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为，
所以点在椭圆上，所以.
又，所以，故椭圆的方程为.
（2）由（1）可得，，则直线与直线的斜率一定存在且不为0.
设直线的方程为，由直线与在轴上的截距之比为，可得直线的方程为.
由得，
所以，故，从而，故.
由得，
所以，故，从而，故.
若直线过定点，则根据椭圆的对称性可知直线所过定点落在轴上，设定点为.
则，
即，
所以，
化简可得，故，即直线过定点.
选答④、⑥、⑧、⑩的题目数
1道
2道
3道
4道
人数
20
30
30
20
性别
“公序良俗”达人
非“公序良俗”达人
总计
男性
30
女性
7
总计
100
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
“公序良俗”达人
非“公序良俗”达人
总计
男性
女性
总计