【二轮复习】高考数学 题型15 等差数列、等比数列的性质及其前n项和（解题技巧）.zip

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技法01 等差数列的性质解题技巧
技法02 等差数列前n项和的性质解题技巧
技法03 等比数列的性质解题技巧
技法04 等比数列前n项和的性质解题技巧
技法01 等差数列的性质解题技巧
等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.
知识迁移 等差数列通项公式的性质
（1）若，或
（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列
例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则 .
根据等差数列的性质可得，解得，
所以.
例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ．
因为{an}，{bn}都是等差数列,所以也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝.
1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列中，，，则（ ）
A．210B．190C．170D．150
2．（2024·河南郑州·统考一模）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．19B．22C．25D．27
3．（2023·全国·校联考二模）已知等差数列满足，，则（ ）
A．25B．35C．40D．50
4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列中，若，则 .
5．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知为等差数列，若，则的值为 .
技法02 等差数列前n项和的性质解题技巧
等差数列前n项和的性质是等差数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.
知识迁移
等差数列前n项和与函数关系
令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数
等差数列前n项和的性质
，，……仍成等差数列
为等差数列
推导过程：（一次函数）为等差数列
例2-1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
【详解】由已知，，，即3，，成等差数列，
所以，所以，
例2-2．（2023·辽宁大连·校联考二模）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，
∵，即，，∴，，∴，，
∴.
例2-3．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】因为，为等差数列，
所以，，所以，
例2-4．（2022·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】设，，.则，，所以.
1．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
2．（2021·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·广东广州·铁一中学校考一模）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东中山·中山一中校考一模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则 .
6．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
技法03 等比数列的性质解题技巧
等比数列通项公式的性质是等比数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.
知识迁移 等比数列通项公式的性质
（1）若或
（2）若，为等比数列，则，仍为等比数列
例3-1．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A．B．7C．6D．
由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
例3-2．（全国·高考真题）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．8D．
为等比数列，则．
1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ）
A．B．1C．16D．32
3．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．11
4．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）设是等比数列，且，，则 .
5．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则 .
技法04 等比数列前n项和的性质解题技巧
等比数列前n项和的性质是等比数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.
知识迁移 等比数列前n项和的性质
（1），，……仍成等比数列
（2）
例4-1．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列
∴，∴，∴.
例4-2．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
例4-3．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
1．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（ ）
A．13B．12C．6D．3
2．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（ ）
A．900B．1200
C．D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ）
A．3B．4C．5D．7
4．（2024·云南曲靖·统考一模）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．36B．54C．28D．42
5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则 .