【二轮复习】高考数学考点6-5 利用二级结论秒杀抛物线中的选填题（考点精练.zip

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【考点目录】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
【考点分类】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
①.
②.
③,.
【精选例题】
【例1】倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则（ ）
A．B．4C．6D．8
【例2】已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（ ）
A．12B．14C．16D．18
【例3】已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A．B．3C．D．4
【例4】（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），为坐标原点，若，则（ ）
A．
B．直线的斜率是
C．线段的中点到轴的距离是
D．的面积是
【跟踪训练】
1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，．若弦长，则直线的斜率为 ．
2．（多选题）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选题）已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．
B．
C．
D．抛物线C上的动点到直线距离的最小值为
4．（多选题）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为的准线与轴的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．过的焦点的最短弦长为4
C．当时，直线的倾斜角为
D．存在2条直线，使得成立
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
【精选例题】
【例1】（多选题）已知抛物线：的的焦点为，、是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【例2】（多选题）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交抛物线于，两点（ ）
A．直线的方程为B．原点到直线的距离为
C．D．
【例3】（多选题）已知抛物线C：的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AB中点M的横坐标为3，则的最大值为8
B．若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为
C．设，则的最小值为
D．若，则直线AB过定点
【跟踪训练】
1．（多选题）过抛物线（）焦点F的直线与抛物线交于，两点，则说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选题）已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是B．
C．当时，D．
3．（多选题）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
①已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，存在最小值，且最小值为.
②已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形的面积的最小值为.
【精选例题】
【例1】（多选题）过抛物线C：的焦点F作两条互相垂直的直线和，设直线交抛物线C于A，B两点，直线交抛物线C于D，E两点，则可能的取值为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【例2】在平面直角坐标系中，已知动圆与圆内切，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与曲线相交于，两点和，两点，求四边形的面积的最小值.
【跟踪训练】
1．已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则的最小值为
2．已知抛物线.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形面积的最小值为 ．
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
【精选例题】
【例1】已知抛物线的一条弦恰好以点为中点，弦的长为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例2】直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
【例3】直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪训练】
1．已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
3．已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
【精选例题】
【例1】（多选题）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切
B．直线过焦点时，的最小值为6
C．若坐标原点为，且，则直线过定点
D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
【例2】（多选题）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【跟踪训练】
1．（多选题）设是坐标原点，直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B西点，是以为底边的等腰三角形，是抛物线C的准线，则（ ）
A．以直径的圆与准线相切B．
C．D．的面积是
2．（多选题）已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段为直径的圆与的准线相切
D．直线的斜率之积为定值
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
①知识要点：如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:
结论1.直线过抛物线的焦点.
结论2.直线的方程为.
结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.
结论4..
证明：由结论3，，.那么.
结论5..
证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.
结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.
【精选例题】
【例1】已知抛物线C：，（）的焦点为F，为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为，则直线FM的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【例2】设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【例3】（多选题）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（ ）
A．点在抛物线的准线上B．
C．D．若，则的值为
【例4】已知抛物线的焦点为F，过F的直线l倾斜角为，交C于两点，过两点分别作C的切线，，其交点为，，与x轴的交点分别为，则四边形的面积为________.
【跟踪训练】
1.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，则过点的切线方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
2．（多选题）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A．轴B．C．D．
3.已知抛物线的焦点为，且与圆上的点的距离的最小值4．
(1)求；
(2)若点在圆上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
1．已知抛物线：（），过点且垂直于轴的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为9，则（ ）
A．B．2C．D．3
2．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于A，B两点，若，则（ ）
A．5B．9C．10D．18
3．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长
5．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
6．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 .
7．（多选题）已知倾斜角为的直线经过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，则（ ）
A．以为直径的圆与轴相切
B．准线上存在唯一点，使得
C．
D．
8.（多选题）已知抛物线C：的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段的中点为M．若点T的坐标为，则（ ）
A．点M的横坐标为2B．点M的纵坐标为3
C．直线l的斜率等于2D．