【二轮复习】高考数学考点4-1 压轴题新定义数列试题（分类汇编）.zip

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【精选例题】
【例1】对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”.
（1）已知数列1，，是“数列”，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前n项和使得恒成立？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析.
【详解】（1）由题意得，，解得，所以实数m的取值范围是.
（2）假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则，由，得，由题意，得对均成立，即.①当时，；②当时，，
因为，所以，与矛盾，所以这样的等差数列不存在.
（3）设数列的公比为q，则，因为的每一项均为正整数，且，
所以在中，为最小项.同理，中，为最小项.由为“数列”，只需，即，又因为不是“数列”，且为最小项，所以，即，
由数列的每一项均为正整数，可得，所以，或，.
①当，时，，则，令，则，
又，所以为递增数列，即，
所以，所以对于任意的，都有，即数列为“数列”.
②当，时，，则.因为，所以数列不是“数列”.综上：当，时，，数列为“数列”，当，时，，数列不是“数列”.
【例2】已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
(1)若，写出及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，求证：且.
【答案】(1)，，，；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，则，所以，，又，所以，，所以；
（2）由题可知，所以，所以.若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.
假设存在使得.设，由得.由得，，与是等差数列矛盾.所以对任意都有.所以数列是等差数列，.
（3）因为对于，，所以.所以，即数列是递增数列.
先证明.假设，设正整数.由于，故存在正整数使得，所以.
因为是各项均为正整数的递增数列，所以.所以，.所以，.又因为数列是递增数列，所以，矛盾.所以.再证明.由题可知.设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得.令.若，则，即，所以.所以，所以.若，则，所以.所以，所以.因为，所以.所以.综上，且.
【例3】已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质；
(2)求证：；
(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）由于和都不属于集合，所以不具有性质；由于、、、、、、、、、都属于集合，2，4，，所以具有性质．
（2）令，，则 “与两数中至少有一个属于”，不属于，属于
令，那么是集合中某项，不行，是0，可以．如果是或者，那么可知，那么，只能是等于了，矛盾．所以令可以得到，同理，令、，，2，可以得到，倒序相加即可得到．
（3），，，具有性质，，，，，则，
所以与中至少有一个属于，由，有，故，，故．，，故，3，，．由具有性质知，，3，，．又，，，，，，即，2，，．（1）由知，，，，均不属于，由具有性质，，，，均属于，，，，，，，即．（2），由（1）（2）可知，，，即，3，，．故，，构成等差数列．
【例4】设集合，其中.若集合满足对于任意的两个非空集合，都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，求证：；
(3)若集合具有性质，求的最大值.
【答案】(1)不具有，具有；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.
对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，它们彼此相异，故具有性质.
（2）因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.
注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.
（3）假设集合具有性质，不妨设，，设，则，由（2）可得，且.而
，
故，当且仅当时等号成立，
即此时任意的正整数，即，故此时时等号成立，故的最大值为.则当时，即对集合具有性质，则的最大值为.
【例5】已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．
【答案】(1)1，2，2，2，3；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）解：因为，故当时，，则是第二项起的等差数列，所以，所以，
则，即数列的前5项为：1，2，2，2，3；
（2）证明：（充分性）是奇数，，3，为偶数，对于任意，都是奇数，，
数列是单调递增数列．
（不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，，3，均为奇数，
，数列是单调递增数列， “为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的不必要条件．综上，“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．
（3）①当为奇数时，若为偶数，若是奇数，则为奇数，为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，为奇数，与矛盾．当为奇数时，不能为偶数；
②当为偶数，若为奇数，若为奇数，则为偶数，为偶数，与矛盾，
若为偶数，则为奇数，为奇数，与矛盾，当为偶数时，不能是奇数．
综上，与同奇偶，若为奇数，则，若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，
若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾，所以为偶数，则，若与同为奇数，则此时，若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾，所以与同为偶数，则，以此类推，，2，3，...得到当时，，当时，为偶数即可满足.所以.
【例6】若数列满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求的最大值.
【答案】(1)，，；(2)①证明见解析；②.
【详解】（1），，；
（2）①充分性：若数列为常数列，∵，∴，∴，又，
∴其伴随数列是以1为首项，以为公比的等比数列；必要性：假设数列为等比数列，而数列不为常数列，∴数列中存在等于0的项，设第一个等于0的项为，其中，
∴，得等比数列的公比．又，得等比数列的公比，与矛盾．∴假设不成立．∴当数列为等比数列时，数列为常数列．综上“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；②当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，综上，结合可得：，，，由题意知，所以，于是有，所以的最大值为.
【例7】数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；
(1)若集合，求当时，的值；
(2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；
(3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）．
【答案】(1)，，；(2)证明见解析；(3).
【详解】（1）时，，∴，，．
（2）时，集合的中各乘积由两部分构成，一部分是乘积中含因数，乘积的其他因数来自集合，故诸乘积和为；另一部分不含，乘积的所有因数来自集合，故诸乘积的和为．
故．
（3）我们先证明一个性质：所有非空子集中各元素的乘积和为．
证明：考虑的展开式，该展开式共有项，每一项均为各因式中选取或后的乘积（除去各项均选1）．对于的任意非空子集，该集合中各元素的乘积为的展开式中的某一项：即第个因式选择， ，其余的因式选择1，
注意到非空子集的个数为，故的所有非空子集中各元素的乘积均在的展开式中恰好出现一次，∴所有非空子集中各元素的乘积和为．故对于，.
【例8】若正整数的二进制表示是，这里()，称有穷数列1，，，，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.
（1）求的生成数列的项数；
（2）求由的生成数列，，，的前项的和(用､表示)；
（3）若实数满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【详解】因为，所以且，，故确定即可确定的生成数列的项数，令，解得，因为，所以，
所以的生成数列的项数为；
（2）(数学归纳法)当时，，当时，，当时，，猜想：，接下来用数学归纳法证明，当时，已证，假设结论对成立，则对有
，故结论对也成立，所以；
（3）对，设二进制表示下，我们证明不存在，使得，事实上，对这样的，有，如果存在，使得，设的二进制表示为，则，①若，则，这时，如果，那么(因为，所以)，矛盾，如果，那么或，也矛盾，
②设时可以推出矛盾，考虑的情形，若，则
，矛盾，若，则
，矛盾，
上述推导中都用到了，所以，这时，记，
进而，有，于是，由得，与归纳假设不符.
综上所述，存在无穷多个正整数，使得不存在正整数，满足.
【例9】已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．
(1)用表示；
(2)求证：对一切正整数n，的充要条件是；
(3)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．
【答案】(1).(2)证明见解析.(3)证明见解析，.
【详解】（1），所以曲线在点处的切线方程为：， 将点代入方程，得，因为为正实数，所以为正实数，.
（2）证明：充分性：由为正实数易得为正实数，，又因为，所以，
，所以对一切正整数n，.必要性：因为，则，即，因为，解得.
（3）证明：因为，所以，，所以，所以为等比数列.，所以，即，，解得.
【例10】已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)43
【详解】（1）因为，，，，则的可能情况有：，，，，，，所以，．
（2）充分性：若是等差数列，设公差为d．因为数列是递增数列，所以． 则当时，，
所以，． 必要性：若．因为是递增数列，所以，所以，且互不相等，所以．
又， 所以，且互不相等．
所以，所以，所以为等差数列．
（3）因为数列A由1，2，3，…，11，22这12个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共42个不同的值；∵这12个数在数列中每个至少出现一次，∴当时，和这两个数中至少有一个在集合中，∵这12个数在数列中共出现23次，所以数列中存在，
∴，当数列：1，2，3，…，11，22，11，10，…，2，1．有，．则的最大值为43．
【跟踪训练】
1．已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）.
(1)求的值；
(2)求当（），试用、的代数式表示()；
(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数.
【答案】(1)；(2)，()；(3)1024.
【详解】（1）依题意：（），由得，所以
；
（2）① 当为奇数时，为偶数，
；
②当为偶数时，为奇数，
；综上：，()；
（3）由（2）知，当时，，，
因为是的整数倍，所以为整数，所以为奇数，由得，
所以满足条件的的个数为，所以集合中元素的个数为.
2．对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列.
(1)已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(2)若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)不存在非零常数，使得是周期数列，理由见解析.
【详解】（1）解：因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，所以，当为偶数时，；当为奇数时，，因为对一切正整数恒成立，
所以，当为偶数时，，故只需即可；当为奇数时，恒成立，故只需即可；
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为
（2）证明：先证充分性：因为是周期为的周期数列，，所以，，即，所以，即，所以，是周期为的周期数列，即充分性成立.下面证明必要性：因为是周期为的周期数列，所以，即，所以，，即，所以，，即，所以数列是周期为的周期数列，因为，即，所以，必要性成立.综上，“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”
（3）解：假设存在非零常数，使得是周期数列，所以，由（2）知，数列是周期为的周期数列，且，因为，所以，，所以数列是周期为，所以，即，显然方程无解，所以，不存在非零常数，使得是周期数列.
3．若实数数列满足，则称数列为数列.
(1)请写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零；
(2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值；
(3)已知为数列，求证：为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.
【答案】(1)(答案不唯一)；(2)；(3)证明见解析.
【详解】（1）由题设，，又，所以，存在满足条件，又，则，综上，满足题设的数列有.
（2）由题设，为，所以数列从开始依次往后各项可能出现的数字如下：
，，，，，，，，…，，要使的最小即正整数且间的间隔尽量小，又，则，综上，的最小值为.
（3）由为数列，则，由为数列，则，
又为数列，即，若不是单调数列，
则存在，即，显然与矛盾；或存在，即，显然与矛盾；综上，是单调数列，充分性得证；由是单调数列且为数列，所以，则，
则，即，所以、均为数列，必要性得证；综上，为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.
4．若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
【答案】(1)不是“”数列；(2)，；(3)，证明见解析
【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，所以不是“数列”.
（2）由是首项为的“数列”，则，，由是等比数列，设公比为，由，则，两式作差可得，即，由是 “数列”，则，对于恒成立，所以，即对于恒成立，则，即，
解得，，，又由，，则，即，故所求的，数列的通项公式
（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是 “数列”，即 ，对于恒成立，因为，则，再结合，反复利用，
可得对于任意的，,则，即，则，即，，，，相加可得，则,
又因为在上单调递增，所以，又，所以，
即，故.
5．设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.
【答案】（1）或；或；（2）证明见解析；（3）两种，证明见解析.
【详解】（1）或，或
（2）假设，当时，，这与“n是正整数”矛盾！当时，因为，
所以，
这与“n是正整数”矛盾！故.
(3)①首先使,若，必有，这是因为若，不论m为奇数或偶数，由正负交错，矛盾，所以.
②时，仅有或两种交错和表示.(i)当n=1时，不难发现1=1, 均为交错和表示，且由①知，所以1仅有1=1或两种交错和表示.
(i)假设仅有或两种交错和表示，又因为或为的两种交错和表示，假设又不同于上述两种交错和的，新表示，因为为偶数，所以,所以为的不同于或的交错和表示，与假设矛盾,所以或为的唯二交错和表示.③时，n均只有两种交错和表示.(i) 当n=3时，3=-1+4或3=1- 2+4为3的两种交错和表示，又由①知，且均不成立，所以3的交错和仅上述两种. (ii) 假设对于，n均只有两种交错和表示，对于，因为，其中,所以由归纳假设及②知仅两种交错和交错和表示，且的交错和表示中相应的 (由①可得)，所以此时已有两种交错和表示，若l还有其他不同的交错和表示，此表示对应,所以也有第三种交错和表
示，与假设矛盾，所以， l仅有两种交错和表示. 综上，有两种交错和表示.
6．设正整数数列满足.
(1)若，请写出所有可能的的取值；
(2)求证：中一定有一项的值为1或3；
(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）可能取得值为：，，，（2）证明见解析，（3）不存在。
【详解】（1）由题知：数列各项均为正整数，或，解得：或（舍去）.
或，解得：或（舍去）.或，解得：或.
当时，或，解得：或.当时，或，解得：或（舍去）.故可能取得值为：，，.
（2）因为为正整数数列，设中最小的奇数为，所以为偶数.所以，此时可能为奇数或偶数.当为奇数时，则，解得：.所以或.当为偶数时，则，解得：.所以或.综上所述：中一定有一项的值为或.
（3）由（2）知：中一定有，由题知：因为，所以或.
设，则，，…….均为的倍数.故不存在正整数m，使得m与都不是“归一数”.
7．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.
【答案】(1)8.(2).(3)证明见解析.
【详解】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列，比如为8的所有正约数,即.
（2）由题意可知，，，，因为，依题意可知，所以，化简可得，所以，因为，所以，
因此可知是完全平方数.由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，所以为，所以,.
（3）证明：由题意知，，所以，
因为，所以，因为，，所以，
所以，即.
8．正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质.
(1)判断集合，是否具有性质；
(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)具有性质；不具有性质.(2)3；(3)存在，4
【详解】（1）具有性质；不具有性质.若，则，恰有个元素，所以具有性质；若，，有5个元素，，不具有性质.
（2）当中的元素个数时，因为中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为构成等比数列，则，其中互不相同.于是这与具有性质，中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当中的元素个数恰有3个时，取时满足条件，所以集合中的元素个数最大值为3.
（3）因为，不妨设，所以.
（1）当时，构成等比数列，所以，即，其中互不相同.这与中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.
（2）当时，构成等比数列，第3项是或.① 若第3项是，则，即，所以，与题意矛盾.
② 若第3项是，则，即，所以成等比数列，设公比为，则中等比数列的前三项为：，其公比为，第四项为，第十项为.
(ⅰ)若第四项为，则，得，又，得，此时中依次为
显然，不合题意.(ⅱ)若第四项为，则，得，又，得，
此时中依次为，显然，不合题意.因此，.取满足条件.
所以中的元素个数最大值是4.
9．对于数集（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称具有性质．
(1)若，且集合具有性质，求的值；
(2)若具有性质，求证：；且若成立，则；
(3)若具有性质，且为常数，求数列的通项公式．
【答案】(1)；(2)证明见详解；(3)
【详解】（1）选取，则，由得，所以，又，所以，故从而
（2）取则，得，所以异号。所以中一个为，另一个为1，故.
假设，其中则，选取并设，则，则异号，从而中恰好又一个为若则矛盾；若则矛盾。所以
（3）因为，具有性质，取设因为，且中的正数大于等于，所以只能所以又中只有个大于的正数，即，且这个大于的正整数都属于集合，所以只能即，从而数列是以为首项，为公比的等比数列，则
10．若对，，当时，都有，则称数列受集合制约.
(1)若，判断是否受制约，是否受区间制约；
(2)若，受集合制约，求数列的通项公式；
(3)若记：“受区间制约”，：“受集合制约”，判断是否是的充分条件，是否是的必要条件，并证明你的结论.
【答案】(1)受制约，不受制约，理由见解析；(2)且.；(3)是的充分不必要条件，证明见解析
【详解】（1）由、且，则，而，显然，则，故受制约，由、且，当，即，故；
当，即，故.故不受制约.综上，受制约，不受制约.
（2）由、且，有，所以，又，，故的奇数项、偶数项分别为首项为1、3，且公差均为2的等差数列，当且，则，当且，则，综上，且.
（3）结论：是的充分不必要条件，证明如下：为真：受集合制约，由、且，
当，有成立，则，进而可得：①；当，有成立，结合①有；此时，受集合制约；为真：受集合制约，由、且，有；而，不一定有成立（反例：且，显然，有），故不一定受区间制约；
所以，受区间制约，必受集合制约，但受集合制约，不一定受区间制约；综上，是的充分不必要条件.