【二轮复习】高考数学 专题10.1 概率与统计的综合运用（题型专练）（新高考专用）.zip

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25992" 【题型1 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式】 PAGEREF _Tc25992 \h 3
\l "_Tc20086" 【题型2 求概率及随机变量的分布列与期望】 PAGEREF _Tc20086 \h 4
\l "_Tc18156" 【题型3 超几何分布与二项分布】 PAGEREF _Tc18156 \h 6
\l "_Tc11323" 【题型4 正态分布及其应用】 PAGEREF _Tc11323 \h 7
\l "_Tc5864" 【题型5 概率与其它知识的交汇问题】 PAGEREF _Tc5864 \h 8
\l "_Tc13058" 【题型6 期望与方差的实际应用】 PAGEREF _Tc13058 \h 11
\l "_Tc1664" 【题型7 统计图表问题】 PAGEREF _Tc1664 \h 13
\l "_Tc8209" 【题型8 回归分析】 PAGEREF _Tc8209 \h 15
\l "_Tc13548" 【题型9 独立性检验】 PAGEREF _Tc13548 \h 18
\l "_Tc14500" 【题型10 决策型问题】 PAGEREF _Tc14500 \h 21
\l "_Tc29137" 【题型11 独立性检验与统计图表的综合运用】 PAGEREF _Tc29137 \h 23
1、概率统计综合
概率与统计是高考的热点内容，概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在高考考查中一般情况会对多个知识点进行综合考查.从近几年的高考情况来看，题量通常为“两小一大”，选择题、填空题考查比较全面；解答题重点考查概率统计主干知识，主要涉及古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、回归分析、独立性检验等内容；试题难度中等，二轮复习时需要熟练掌握这些内容，加强练习.
【知识点1 古典概型中基本事件的求解方法】
1.求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.
【知识点2 条件概率与全概率公式的解题策略】
1.求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包
含的基本事件数，即n( AB)，得.
2.利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
【知识点3 离散型随机变量及其分布的解题策略】
1.离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
【知识点4 二项分布与超几何分布、正态分布的解题策略】
1.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2.超几何分布的关键点：
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
2.解决正态分布问题的三个关键点：
(1)对称轴x=μ；
(2)标准差；
(3)分布区间：利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,，分布区间的特征进行转化，使分布区间
转化为3特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
【知识点5 频率分布直方图中的数字特征】
1.众数、中位数、平均数的应用要点
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我
们需根据实际需要选择使用.
2.频率分布直方图的数字特征
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图
中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
【知识点6 回归分析的常用结论】
1.回归分析的三大常用结论
(1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心.
(2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
(3)根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大.
【知识点7 独立性检验的解题策略】
1.变量相关性的判断
在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad-bc≈0.|ad-bc|越小，说明两个变量之间关系越
弱；|ad-bc|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.独立性检验的应用问题的解题策略
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式计算；
(3)通过比较与临界值的大小关系来作统计推断.
【题型1 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式】
【例1】（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A．1237B．1537C．35D．47
【变式1-1】（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：PAB=PBAPAPB站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．0.1%B．0.4%C．2.4%D．4%
【变式1-2】（2024·山东临沂·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为38，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A．15B．716C．25D．78
【变式1-3】（2024·四川德阳·模拟预测）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A，这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则PBA=（ ）
A．1115B．3745C．1315D．4145
【题型2 求概率及随机变量的分布列与期望】
【例2】（2024·山东烟台·一模）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别45,13，乙答对两道题的概率分别为23,12，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.
(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
【变式2-1】（2024·广东·模拟预测）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为34和12，假设每次操作能否成功相互独立.
(1)随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；
(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作.
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.
【变式2-2】（2024·山东泰安·一模）某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记-1分，得分在5分以上（含5分）则获奖．
(1)求在1次游戏中，获奖的概率；
(2)求在1次游戏中，得分X的分布列及均值．
【变式2-3】（2024·贵州贵阳·一模）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为12.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
(1)甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；
(2)活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在B箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是14，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
(3)甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X，求X的分布列与数学期望.
【题型3 超几何分布与二项分布】
【例3】（2024·吉林·模拟预测）已知某种疾病的某种疗法的治愈率为90%．若有1000位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，P(X=k)>P(X=1000-k)，则（ ）
A．k≤499B．k≤500
C．k≥500D．k≥501
【变式3-1】（2023·山东泰安·模拟预测）某人在n次射击中击中目标的次数为X，X∼Bn,p，其中n∈N*,0A．若n=10,p=0.8，则PX=k取最大值时k=9
B．当p=12时，DX取得最小值
C．当0D．当12【变式3-2】（22-23高二下·江苏南京·期中）口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，ξ表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，η表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（ ）
A．EξEη
C．Eξ=EηD．无法判断
【变式3-3】（2023·河南·模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【题型4 正态分布及其应用】
【例4】（2024·贵州贵阳·一模）设随机变量ξ服从正态分布N6,σ2，若Pξ<3a-4=Pξ>-a+2，则a的值为（ ）
A．9B．7C．5D．4
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且X~N3000,σ2，若每月派送的快递件数不低于4000的快递员有60人，则每月派送的快递件数在(2000，3000)的快递员人数为（ ）
A．40B．60C．70D．80
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若X∼Nμ,σ2，记p1=Pμ-σ40=（ ）
A．1-p12B．1-p22C．1-p22D．1-p32
【变式4-3】（2023·吉林白山·模拟预测）近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：50,60、60,70、⋯ 、90,100，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布Nμ,σ2，且Pμ-σ
A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B．由直方图可估计样本的中位数约为75
C．由正态分布估计全县X≥98.5的人数约为2.3万人
D．由正态分布估计全县62.5≤X<98.5的人数约为40.9万人
【题型5 概率与其它知识的交汇问题】
【例5】（2024·四川·模拟预测）甲、乙两医院到某医科大学实施“小小医生计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟诊断这3项程序后直接签约一批毕业生，已知3项程序分别由3个部门独立依次考核，且互不影响，当3项程序全部通过即可签约．假设该校口腔医学系170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核后放弃签约的现象）．
(1)判断是否有95%的把握认为这170名毕业生参加甲医院的“小小医生计划”能否签约与性别有关；
(2)该校口腔医学系准备从专业成绩排名前5名的毕业生中随机挑选2人去参加乙医院的考核，求专业排名第一的小华同学被选中的概率．
参考公式与临界值表：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
【变式5-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了A､B两个参加国内学科竞赛的中学，从A､B两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：
(1)试判断是否有90%的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
(2)用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自B中学的概率.
附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【变式5-2】（2024·贵州贵阳·一模）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a忘了记录，但知道36≤a≤55，a∈Z（yi，zi分别表示小明、小红第i天的成功次数）．
(1)求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
(2)根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a的值．
参考公式：回归方程y=bx+a中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx．
参考数据：1×16+2×20+3×20+4×25+5×30+6×36=582；12+22+32+42+52+62=91．
【变式5-3】（2024·四川泸州·二模）某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图．
(1)估计此次满意度调查所得的平均分值x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的x以上为满意，低于x为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有95%的把握认为“学生满意度与性别有关”？
(3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于x分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
【题型6 期望与方差的实际应用】
【例6】（2024·北京延庆·一模）第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：
(1)若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；
(2)若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记X为看到双人雪橇的次数，求X的分布列及期望E(X)；
(3)若小明在每天各随机观看一场比赛，用“ξ1=1”表示小明在周六看到单人雪橇，“ξ1=0” 表示小明在周六没看到单人雪橇，“ξ2=1”表示小明在周日看到单人雪橇，“ξ2=0”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差D（ξ1），D（ξ2）的大小关系．
【变式6-1】（2023·北京东城·二模）某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：
(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设xi(i=1,2,⋯,7)表示第i名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据xi,xj(1≤i,j≤7,i≠j)，定义随机变量X，Y如下：X=0,0≤|xi-xj|<3,1,3≤|xi-xj|<6,2,|xi-xj|≥6，Y=0, 0≤xi-xj＜2,1, 2≤xi-xj＜4,2, 4≤xi-xj＜6,3, xi-xj≥6.
（i）求X的分布列和数学期望EX；
（ii）设随机变量X，Y的的方差分别为DX，DY，试比较DX与DY的大小．（结论不要求证明）
【变式6-2】（2023·山东泰安·一模）某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.
(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求
①员工所获得的奖励为1000元的概率；
②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望；
(2)公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
【变式6-3】（2023·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为7,10厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X株的株高增量为7,10厘米，求X的分布列和数学期望EX；
(3)用“ξk=1”表示第k组鸡冠花的株高增量为4,10，“ξk=0”表示第k组鸡冠花的株高增量为10,16厘米，k=1,2,3，直接写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3的大小关系.（结论不要求证明）
【题型7 统计图表问题】
【例7】（2024·湖南·模拟预测）已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【变式7-1】（2024·辽宁·一模）下图是2022年5月一2023年5月共13个月我国纯电动汽车月度销量及增长情况统计图（单位：万辆），则下列说法错误的是（ ）（注：同比：和上一年同期相比）

A．2023年前5个月我国纯电动汽车的销量超过214万辆
B．这13个月我国纯电动汽车月度销量的中位数为61.5万辆
C．这13个月我国纯电动汽车月度销量的众数为52.2万辆
D．和上一年同期相比，我国纯电动汽车月度销量有增有减
【变式7-2】（2024·重庆·一模）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）

A．x=88,y=90B．x=83,y=90
C．x=83,y=85D．x=88,y=85
【变式7-3】（2024·四川攀枝花·二模）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔Flrence Nightingale设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（ ）
A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
【题型8 回归分析】
【例8】（2024·湖北武汉·模拟预测）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量y与x的样本相关系数r（结果精确到0.01）；
(2)试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程y=bx+a，其中b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx，
样本相关系数r=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2i=1nyi-y2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2i=1nyi2-ny2；
参考数据：i=16xiyi=2463.4，i=16yi-y2=2070．
【变式8-1】（2024·四川巴中·一模）下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）与年份t的散点图.
(1)根据散点图推断变量y与t是否线性相关，并用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
i=17yi=9.06，i=17tiyi=39.33，i=17yi-y2=0.36，7≈2.646.
参考公式：b=i=1ntiyi-nt⋅yi=1nti2-nt2，a=y-bt；相关系数r=i=1nti-tyi-yi=1nti-t2i=1nyi-y2.
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升. 下表为重庆市 2014 2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图 （如图 1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. （数据来源于重庆市统计局 2023-05-06 发布）.
参考数据：i=19yi=24.03,i=19xiyi=133.39.
参考公式: 对于一组数据 u1,v1,u2,v2,⋯,un,vn，其回归直线方程 v= βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=i=1nui-uvi-vi=1nui-u2,α=v-βu.
(1)设年份编号为x（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为y（单位：万元），求经验回归方程y=bx+a（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入；
(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014∼2022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后的下一代颠覆性的核心技术．区块链作为“信任的机器”，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式．2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：
(1)根据表中数据判断，y=a+bx与y=cedx（其中e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果，求y关于x的回归方程．（结果精确到小数点后第三位）
(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
附：线性回归方程y=bx+a中，b=i=1nxiyi-nx⋅yi=1nxi2-nx2,a=y-bx．
参考数据：z=lny,i=15xizi=40.457,i=15xi2=55,x=15i=15xi=3,z=15i=15zi=2.196,
【题型9 独立性检验】
【例9】（2024·陕西安康·模拟预测）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言､阿里的通义千问､华为的盘古､腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半.
(1)完成如下用户类别与购买意向的2×2列联表；
(2)能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）
附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，
临界值表如下：
【变式9-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知某校高一有600名学生（其中男生320名，女生280名）.为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A,B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表.
(1)请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；
(2)在所有男生中按列联表中的选课情况采用分层抽样的方法抽出8名男生，再从这8名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.
【变式9-2】（2024·山东淄博·一模）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值α=0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30,40)与[50,60]的人数分别为X,Y,ξ=X-Y，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 13,25,23，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式： χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.
附：
【变式9-3】（2024·陕西西安·一模）第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的14，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.
(1)完成下面2×2列联表，试根据独立性检验，判断是否有99.900的把握认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
(2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，求抽到的男生人数为1人的概率.
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
【题型10 决策型问题】
【例10】（2024·江西南昌·一模）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是40%，经济形势不好的概率是60%.
(1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；
(2)根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.
【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）某班组织投篮比赛，比赛分为A,B两个项目.比赛规则是：①选手在每个项目中投篮5次，每个项目投中3次及以上为合格；②第一个项目投完5次并且合格后才可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；③选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛.已知选手甲在A项目比赛中每次投中的概率都是0.5.
(1)求选手甲参加A项目合格的概率；
(2)已知选手甲参加B项目合格的概率为0.6.比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分.设累计得分为X，为使累计得分X的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？请说明理由.
【变式10-2】（2023·山东济宁·三模）某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是35，甲、乙两名同学作答问题相互独立.记甲答对题的个数为X，乙答对题的个数为Y.
(1)求甲、乙恰好答对2个问题的概率；
(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由.
【变式10-3】（2023·上海闵行·二模）随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A、B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：
假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有（人数足够多）在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有（人数足够多）在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A、B哪个旅游景点?说明理由.
【题型11 独立性检验与统计图表的综合运用】
【例11】（2023·陕西西安·模拟预测）某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查.经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的为优秀，其余为合格.

(1)请完成2×2列联表.并判断是否有99%的把握认为成绩优秀与体育锻炼有关；
(2)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中优秀的人数为X，求X的分布列.
附：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【变式11-1】（2024·陕西西安·一模）体育强则中国强，体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，根据图形，回答下列问题.

(1)求m；
(2)估计这次体育知识竞赛成绩的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)在抽出的200位学生中，若规定分数不低于80分的学生为获奖学生，已知这200名学生中男生与女生人数相同，男生中有20人获奖，请补充2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”
附：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
【变式11-2】（2024·陕西宝鸡·一模）随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间[20,30)，[30,40)，……[60,70)统计）

(1)根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有99%的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？
(2)若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在[30,50)的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年龄在[30,40)人数X的分布列与数学期望．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
【变式11-3】（2023·全国·模拟预测）为落实节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图．

(1)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断使用寿命是否超过2500小时与型号有没有关联，说明理由．
(2)用分层抽样的方法从使用寿命不超过2500小时的A型和B型设备中共抽取16台，再从这16台设备中随机抽取2台，设其中A型设备有X台，求X的分布列和EX2．
(3)现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间若设备损坏，则立即更换同型号设备（更换设备的时间忽略不计）．A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时分别耗电2度（1度=1千瓦时）和6度，电价为0.75元/度．用频率估计概率，只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备？说明理由．
附：χ2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
2．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为r=0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y=0.7501x+0.6105，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642
3．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-α)(1-β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
4．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)= ，E(ξ)= ．
5．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(22.5)=
．
6．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,⋅⋅⋅,n，则Ei=1nXi=i=1nqi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求EY．
7．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，
8．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d,
9．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
10．（2022·全国·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
并计算得i=110xi2=0.038,i=110yi2=1.6158,i=110xiyi=0.2474．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,1.896≈1.377．
11．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
12．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．P(B|A)P(B|A)与P(B|A)P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：R=P(A|B)P(A|B)⋅P(A|B)P(A|B)；
（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
性别
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
合计
男生
58
27
85
女生
42
43
85
合计
100
70
170
pK2≥k
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
未获得区前三名及以上名次
获得区前三名及以上名次
A中学
11
6
B中学
34
9
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
序号x
1
2
3
4
5
6
7
小明成功次数y
16
20
20
25
30
36
a
小红成功次数z
16
22
25
26
32
35
35
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
K0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
12月16日
星期六
9:30
单人雪橇第1轮
10:30
单人雪橇第2轮
15:30
双人雪橇第1轮
16:30
双人雪橇第2轮
12月17日
星期日
9:30
单人雪橇第3轮
10:30
单人雪橇第4轮
15:30
团体接力
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
学生7
第一次
82
89
78
92
92
65
81
第二次
83
90
75
95
93
61
76
株高增量（单位：厘米）
4,7
7,10
10,13
13,16
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号x
1
2
3
4
5
6
销售金额y／万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
全体居民人均可支配收入 （元）
18352
20110
22034
24153
26386
28920
30824
33803
35666
年份
2018
2019
2020
2021
2022
编号x
1
2
3
4
5
企业总数量y（单位：千个）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
购买6元
购买24元
总计
个人用户
公司用户
总计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
选择课程A
选择课程B
总计
男生
200
女生
60
总计
PK2≥k0
0.01
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
年龄
次数
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
喜爱看足球比赛
不喜爱看足球比赛
合计
60
Pk2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
非常满意
满意
一般
差评
A景点
50
30
5
15
B景点
35
30
7
8
经常锻炼
不经常锻炼
合计
合格
25
优秀
10
合计
100
男生
女生
合计
获奖
20
未获奖
合计
PK2≥k0
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
是否使用扫地机器人
年龄
是
否
[20,40)
[40,70)
PK2≥k0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
型号
使用寿命
合计
超过2500小时
不超过2500小时
A型
B型
合计
Pχ2≥k0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
≥m
对照组
试验组
PK2≥k
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
≥m
对照组
实验组
k0
0.100
0.050
0.010
PK2≥k0
2.706
3.841
6.635
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828