【二轮复习】高考数学 专题3.1 导数的概念及其几何意义与运算（题型专练）（新高考专用）.zip

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24472" 【题型1 导数的定义及其应用】 PAGEREF _Tc24472 \h 2
\l "_Tc19161" 【题型2 求（复合）函数的导数的方法】 PAGEREF _Tc19161 \h 3
\l "_Tc3673" 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 PAGEREF _Tc3673 \h 5
\l "_Tc27454" 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 PAGEREF _Tc27454 \h 6
\l "_Tc30930" 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 PAGEREF _Tc30930 \h 8
\l "_Tc21498" 【题型6 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc21498 \h 9
\l "_Tc9419" 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 PAGEREF _Tc9419 \h 11
\l "_Tc431" 【题型8 与切线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc431 \h 13
1、导数的几何意义与运算
导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要涉及导数的运算及几何意义，一般以选择题、填空题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（2023下·山东·高二校联考阶段练习）若limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2-Δx)Δx=-2，则f'-2=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【解题思路】根据导数的定义以及给出的极限值可得答案.
【解答过程】limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2-Δx)Δx=limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2)+[f(-2)-f(-2-Δx)]Δx
=limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2)Δx+limΔx→0f(-2)-f(-2-Δx)Δx=2f'(-2)=-2，
所以f'-2=-1.
故选：B.
【变式1-1】（2022·高二课时练习）设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(x0-2Δx)-f(x0)Δx=2，则f'(x0)=（ ）
A．12B．-1C．0D．-2
【解题思路】根据导数定义，即可求出．
【解答过程】因为limΔx→0f(x0-2Δx)-f(x0)Δx=-2limΔx→0f(x0-2Δx)-f(x0)-2Δx=-2f'x0=2，
所以f'x0=-1，
故选：B.
【变式1-2】（2022·安徽合肥·合肥校考模拟预测）如图所示，连接棱长为2cm的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点B到水面的距离h以每秒1cm的速度匀速上升，设该容器内水的体积Vcm3与时间t(s)的函数关系是Vt，则函数y=Vt的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数变化的快慢以及切线斜率的几何意义即可得结果.
【解答过程】通过几何体的特征可得，
容器下半部分，“先小后大”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越快；
容器上半部分，“先大后小”，即以同样的高度变化时，体积变化速度越来越慢；
即函数图象的切线斜率先增大后减小，
故选：A.
【变式1-3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）设函数fx在点x0处附近有定义，且fx0+Δx-fx0=aΔx+bΔx2,a,b为常数，则（ ）
A．f'x=aB．f'x=bC．f'x0=aD．f'x0=b
【解题思路】由导函数的定义可得选项.
【解答过程】解：因为fx0+Δx-fx0=aΔx+bΔx2,a,b为常数，所以f'x0=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx=limΔx→0a+bΔx=a，
故选：C.
【题型2 求（复合）函数的导数的方法】
【例2】（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数f(x)=lg21x的导函数为（ ）
A．f'(x)=ln2xB．f'(x)=1xln2C．f'(x)=-ln2xD．f'(x)=-1xln2
【解题思路】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
【解答过程】依题知，1x>0，即x>0，
由求导公式：lga'x=1xlna，
复合函数的求导法则：设u=gx，则f'gx=f'u⋅g'x
得：f'x=11xln2×1x'=xln2×-1x2=-1xln2，
故选：D.
【变式2-1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（ ）
A．(3x)'=3xln3B．x2lnx'=2xlnx+x
C．csxx'=xsinx-csxx2D．2ln(x2+1)'=2xln2x2+1⋅2ln(x2+1)
【解题思路】根据求导运算法则得到答案.
【解答过程】A选项，(3x)'=3xln3，A正确；
B选项，x2lnx'=2xlnx+x2⋅1x=2xlnx+x，B正确；
C选项，csxx'=-xsinx-csxx2，C错误；
D选项，2ln(x2+1)'=2ln(x2+1)ln2⋅1x2+1⋅x2+1'=2xln2x2+1⋅2ln(x2+1)，D正确.
故选：C.
【变式2-2】（2023上·湖北·高二期末）已知函数f(x)=f'(π4)cs2x+sinx，则fx在x=π4处的导数为（ ）
A．26B．24C．22D．-22
【解题思路】对fx求导，将x=π4代入求f'π4即可.
【解答过程】由已知可得f'x=-2f'π4sin2x+csx，
所以f'π4=-2f'π4sin2×π4+csπ4，所以f'π4=26
故选：A.
【变式2-3】（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知函数fx=x+12+sinxx2+1，其导函数记为f'x，则f389+f'389+f-389-f'-389=（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【解题思路】函数fx=1+2x+sinxx2+1，分析其性质可求f389+f-389的值 ，再求f'x并讨论其性质即可作答.
【解答过程】由已知得fx=1+2x+sinxx2+1，
则f'x=2+csxx2+1-2x+sinx⋅2xx2+12，显然f'x为偶函数.
令gx=fx-1=2x+sinxx2+1，显然gx为奇函数.
又f'x为偶函数，所以f'389-f'-389=0，f389+f-389=g389+1+g-389+1=2，
所以f389+f'389+f-389-f'-389=2.
故选：A.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线fx=2xcsx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2B．-ln2C．1D．-1
【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【解答过程】对fx=2xcsx求导得，f'x=ln2×2x⋅csx-2x⋅sinx，由题意曲线fx=2xcsx在x=0处的切线l的斜率为kl=f'0=ln2×20⋅cs0-20⋅sin0=ln2.
故选：A.
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线y=kx+n与曲线y=lnx+1x相切，则k的取值范围是（ ）
A．-∞,14B．4,+∞C．-4,+∞D．14,+∞
【解题思路】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.
【解答过程】y'=1x-1x2=-1x-122+14≤14，
由导数的几何意义可知，k≤14.
故选：A.
【变式3-2】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）函数y=fx在P1,f1处的切线如图所示，则f1+f'1=（ ）
A．0B．12C．32D．-12
【解题思路】根据切线过(2,0)和(0,-1)，利用斜率公式求得f'(1)，写出切线方程，再令x=1，求得f(1)即可.
【解答过程】因为切线过(2,0)和(0,-1)，所以f'(1)=0+12-0=12，
所以切线方程为y=12x-1，
令x=1，则y=-12，
所以f(1)=-12，
所以f(1)+f'(1)=-12+12=0.
故选：A.
【变式3-3】（2023·贵州·校联考模拟预测）设点P是函数fx=x3-12f'1x+f'2图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．0,3π4B．0,π2∪3π4,πC．π2,3π4D．0,π2∪3π4,π
【解题思路】求出f'x，令x=1后可求f'x，再根据导数的取值范围可得tanα的范围，从而可得α的取值范围.
【解答过程】∵fx=x3-12f'1x+f'2，∴f'x=3x2-12f'1，
∴f'1=3-12f'1，∴f'1=2，∴f'x=3x2-1≥-1，
∴tanα≥-1，∴0≤α<π2或3π4≤α<π.
故选：B.
【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】
【例4】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）曲线y=x3+1在点a,2处的切线方程为（ ）
A．y=3x+3B．y=3x-1
C．y=-3x-1D．y=-3x-3
【解题思路】应用导数的几何意义求解即可.
【解答过程】因为a3+1=2，所以a=1，即切点坐标为1,2，由f'x=3x2，所以f'1=3，所以y=x3+1在点1,2处的切线方程为y-2=3x-1，即y=3x-1.
故选：B.
【变式4-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）过原点且与函数fx=ln-x图像相切的直线方程是（ ）
A．y=-xB．y=-2exC．y=-1exD．y=-ex
【解题思路】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.
【解答过程】因为f(x)=ln(-x)，所以f'x=1x，
设所求切线的切点为(x0,f(x0))，则f'x0=1x0，
由题知，1x0=f(x0)x0=ln-x0x0，解得x0=-e，所以切线斜率为k=f'-e=-1e，
故所求切线方程为y=-1ex.
故选：C.
【变式4-2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数fx=1ex-1，则曲线y=fx在点-1,f-1处的切线方程为（ ）
A．ex+y+1=0B．ex-y+1=0
C．ex+y-1=0D．ex-y-1=0
【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
【解答过程】由fx=1ex-1，得f'x=-1ex，
所以f'-1=-e，又f-1=e-1，
故曲线y=fx在点-1,f-1处的切线的方程为y-e-1=-ex+1，即ex+y+1=0.
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=x3-x2+2x+1，则曲线y=fx过坐标原点的切线方程为（ ）
A．y=xB．y=2xC．y=3xD．y=4x
【解题思路】设切点为t,t3-t2+2t+1，利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出t的值，即可得出所求切线的方程.
【解答过程】设切点为t,t3-t2+2t+1，f'x=3x2-2x+2，则切线斜率为f't=3t2-2t+2，
所以，所求切线方程为y-t3-t2+2t+1=3t2-2t+2x-t，
将原点坐标代入所求切线方程可得2t3-t2-1=0，即t-12t2+t+1=0，解得t=1，
因此，所求切线方程为y=3x.
故选：C.
【题型5 已知切线（斜率）求参数】
【例5】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线y=x+ax相切，则实数a＝（ ）
A．0B．12C．45D．32
【解题思路】根据导数的几何意义可得y0=ax0-ay0=x0+ax01-ax02=a，求解即可.
【解答过程】由y=x+ax且x不为0，得y'=1-ax2
设切点为x0,y0，则y0=ax0-ay0=x0+ax01-ax02=a，即ax0-a=x0+ax0a=x02x02+1，
所以x03x02+1-x02x02+1=x0+x0x02+1，可得x0=-2,a=45.
故选：C.
【变式5-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知曲线y=xlnx+ae-x在点x=1处的切线方程为2x-y+b=0，则b=（ ）
A．－1B．－2C．－3D．0
【解题思路】根据导数的几何意义可知切线斜率为1-ae=2，可得a=-e，计算出切点代入切线方程即可得b=-3.
【解答过程】由题意可得y'=lnx+1-ae-x，
根据导数的几何意义可知，在点x=1处的切线斜率为1-ae=2，解得a=-e；
所以切点为1,-1，代入切线方程可得2+1+b=0，解得b=-3.
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数fx=ax2+blnx的图象在点1,f1处的切线方桯为y=3x-1.则a-b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】对函数求导，再求出x=1处的切线方程，即可求得a,b；
【解答过程】解：函数fx=ax2+blnx，则f'x=2ax+bx，函数fx的图象在点1,f1处的切线方桯为y=3x-1，
所以f'1=2a+b=3f1=a=3×1-1=2，解得a=2b=-1，则a-b=3.
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线y=axex+lnx在点1,ae处的切线方程为y=3x+b，则（ ）
A．a=e，b=-2B．a=e，b=2
C．a=e-1，b=-2D．a=e-1，b=2
【解题思路】求出函数的导函数，依题意可得y'|x=1=3，即可求出a，再将切点代入切线方程，即可求出b；
【解答过程】解：y'=aex+axex+1x，k=y'|x=1=ae+ae+1=2ae+1=3，
∴ae=1，∴a=1e=e-1．将1,1代入y=3x+b得3+b=1，∴b=-2．
故选：C．
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=-x3+3x，则过点-3,-9可作曲线y=fx的切线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】设切点为a,-a3+3a，根据导数的几何意义求得在切点a,-a3+3a处的切线方程，再将-3,-9代入，求得a的值，即可得解.
【解答过程】解：因为fx=-x3+3x，所以f'x=-3x2+3，
设切点为a,-a3+3a，
所以在切点a,-a3+3a处的切线方程为y=-3a2-1x-a-a3+3a，
又-3,-9在切线上，所以-9=-3a2-1-3-a-a3+3a，
即-9=3a2-1⋅3+a-a3+3a，
整理得2a3+9a2=0，解得a1=0或a2=-92，
所以过点-3,-9可作曲线y=fx的切线的条数为2.
故选：C．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=1-xex有两条过点Aa,0的切线，则a的取值范围是（ ）
A．-∞,-1∪3,+∞B．-3,1
C．-∞,-3D．-∞,-3∪1,+∞
【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】设切点为x0,1-x0ex0，由已知得y'=-xex，则切线斜率k=-x0ex0，
切线方程为y-1-x0ex0=-x0ex0x-x0．
∵直线过点Aa,0，∴-1-x0ex0=-x0ex0a-x0，
化简得x02-a+1x0+1=0．∵切线有2条，
∴Δ=a+12-4>0，则a的取值范围是-∞,-3∪1,+∞，
故选：D.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）若过点P(m,0)与曲线f(x)=x+1ex相切的直线只有2条，则m的取值范围是（ ）
A．(-∞,+∞)B．(-∞,-3)∪(1,+∞)
C．(-1,3)D．(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解题思路】求得f'(x)=-xex，求得切线PQ方程,结合题意，转化为方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根，根据二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】设过点P(m,0)的直线与曲线f(x)=x+1ex相切于点Qt,t+1et，
由f(x)=x+1ex，可得f'(x)=-xex，所以切线PQ的斜率k=-tet=t+1et-0t-m，
整理得t2+(1-m)t+1=0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2+(1-m)t+1=0有2个不等实根，
则Δ=(1-m)2-4>0，解得m>3或m<-1，
所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞)．
故选：D．
【变式6-3】（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考期中）函数f(x)=x3+(a-1)x2-x+b为R上的奇函数，过点P-12,1作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【解题思路】根据奇函数确定f(x)=x3-x，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算x0=-1，计算切线得到答案.
【解答过程】f(-x)=-x3+(a-1)x2+x+b=-fx=-x3-(a-1)x2+x-b，故a=1，b=0，
f(x)=x3-x，f'(x)=3x2-1，
设切点为Mx0,y0，则f'(x0)=3x02-1=y0-1x0+12，且f(x0)=x03-x0=y0，
整理得到x0+14x02-x0+1=0，解得x0=-1，f'(-1)=2，
故切线方程为y=2x+2，
故选：A.
【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】
【例7】（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线fx=ex与曲线gx=lnx+2的公切线，则a+b等于（ ）
A．e+2B．3C．e+1D．2
【解题思路】由fx求得切线方程，结合该切线也是gx的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y=ax+b，从而求得正确答案.
【解答过程】设t,et是fx图象上的一点，f'x=ex，
所以fx在点t,et处的切线方程为y-et=etx-t，y=etx+1-tet①，
令g'x=1x=et，解得x=e-t，
ge-t=lne-t+2=2-t，所以2-t-ete-t-t=et，
1-t=1-tet，所以t=0或t=1（此时①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去），
所以t=0，此时①可化为y-1=1×x-0,y=x+1，
所以a+b=1+1=2.
故选：D.
【变式7-1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）函数fx=x-alnx在区间1,6的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围（ ）
A．1,6B．1,3C．3,4D．4,6
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k=f'x0=1-ax0，
当a≤0时，k=1-ax0>0，故不存在k1k2=-1；
当a>0时，满足：1-a<01-a6>01-a1-a6<-1.
所以：3故选：C.
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，直线l与gx,hx=ex+1-1的图象均相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．3π4
【解题思路】根据fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，得到gx=ex，设直线l与函数gx=ex的图象的切点坐标为x1,ex1，与函数hx=ex+1-1的图象的切点坐标为x2,ex2+1-1，由斜率相等得到x1=x2+1，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
【解答过程】解：因为函数fx=lnx与gx的图象关于直线y=x对称，
所以fx=lnx与gx互为反函数，所以gx=ex，
则g'x=ex．由hx=ex+1-1，得h'x=ex+1，
设直线l与函数gx=ex的图象的切点坐标为x1,ex1，
与函数hx=ex+1-1的图象的切点坐标为x2,ex2+1-1，
则直线l的斜率k=ex1=ex2+1，故x1=x2+1，
显然x1≠x2，故k=ex2+1-1-ex1x2-x1=-1-1=1，
所以直线l的倾斜角为π4，
故选：B．
【变式7-3】（2023·海南·海南华侨中学校考一模）若对函数fx=2x-sinx的图象上任意一点处的切线l1，函数gx=mex+m-2x的图象上总存在一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则m的取值范围是（ ）
A．-e2,0B．0,e2
C．-1,0D．0,1
【解题思路】求导得到-1f'(x)范围A，再分m>0，m<0，m=0三种情况讨论得g'x范围B，最后根据条件得A与B包含关系，计算得到答案.
【解答过程】由fx=2x-sinx，得f'x=2-csx∈1,3，所以-12-csx∈-1,-13=A，
由gx=mex+m-2x，得g'x=mex+m-2，设该导函数值域为B，
(1)当m>0时，导函数单调递增，g'x∈m-2,+∞，
由题意得∀x1,∃x2,f'(x1)g'x2=-1∴g'x2=-1f'(x1)∴A⊆B
故m-2<-1，解得0(2)当m<0时，导函数单调递减，g'x∈-∞,m-2，同理可得m-2>-13，与m<0矛盾，舍去；
（3）当m=0时，不符合题意.
综上所述：m的取值范围为0,1.
故选：D.
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（2023·广东广州·统考一模）若点P是曲线y=x2上一动点，则点P到直线y=2x-3的最小距离为 255 .
【解题思路】利用导数求出与直线y=2x-3平行且与曲线相切的直线l，切点到直线y=2x-3的距离即为最小距离.
【解答过程】设f(x)=x2，f'(x)=2x，
设直线l与曲线y=x2相切，切点为P(x0,y0)，且直线l与直线y=2x-3平行，
则有f'(x0)=2，得x0=1，∴y0=1，即P(1,1)
如图所示：
此时P到直线2x-y-3=0的距离最小，d=2-1-34+1=255.
故答案为：255.
【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=alnx,gx=bex，若直线y=kx(k>0)与函数fx,gx的图象都相切，则4a+1b的最小值为 4e .
【解题思路】利用导数的几何意义可列出不等式组，得a=be2，再根据基本不等式即可求解.
【解答过程】根据题意作出草图如下：
设直线y=kx与函数fx=alnx,gx=bex图像分别相切与点P和Q，
P(x1,bex1)，Q(x2,alnx2)，f'x=ax，g'x=bex，
则有ax2=kalnx2=kx2和bex1=kbex1=kx1，
解得：x2=e，x1=1，
因为k>0，所以a>0,b>0，
∴ k=be=ae，得a=be2，
4a+1b=4be2+1b≥24e2=4e，
当且仅当4be2=1b，即b=12e时取等号.
即4a+1b的最小值为4e.
故答案为：4e.
【变式8-2】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数fx=lnx-xn+lnm+3m>1，若曲线y=fx的一条切线为直线l：4x-y+3=0，则mn的最小值为 -4e ．
【解题思路】根据题意，设切点为x0,y0，将切点分别代入函数fx以及切线l上，且f'x0=4，得到方程化简可得mn=e1x02-4x0，从而求得其最小值.
【解答过程】设切点为x0,y0，x0>0，则x0,y0在l：4x-y+3=0上，即y0=4x0+3①，
因为fx=lnx-xn+lnm+3m>1，则f'x=1x-1n，
又因为直线l的斜率为4，则f'x0=1x0-1n=4，所以1n=1-4x0x0③，
因为x0,y0在fx=lnx-xn+lnm+3m>1上，
所以y0=lnx0-x0n+lnm+3②，
由①②可得4x0+3=lnx0-x0n+lnm+3④，
将③代入④中可得，4x0+3=lnx0-x0x01-4x0+lnm+3，
化简可得lnm+lnx0-1=0，即m=ex0⑤，
由③⑤可得，mn=ex0x01-4x0=e1x02-4x0，
令1x0=t,t>0，则y=t2-4t=t-22-4,t>0，
当t=2时，即x0=12时，ymin=22-4×2=-4，
所以当x0=12时，mnmin=e⋅-4=-4e，
故答案为:-4e.
【变式8-3】（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知函数fx=12sin2x+π3的图像在x1,fx1处的切线与在x2fx2处的切线相互垂直，那么x1-x2的最小值是 π2 .
【解题思路】求出f'(x)，根据导数的几何意义得到cs(2x1+π3)⋅cs(2x2+π3)=-1，根据余弦函数的最值可得cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=-1，或cs(2x1+π3)=-1且cs(2x2+π3)=1，分两种情况求出x1-x2，然后求出其最小值即可.
【解答过程】因为f(x)=12sin2x+π3，
所以f'(x)=12cs(2x+π3)×2=cs(2x+π3)，
依题意可得f'(x1)⋅f'(x2)=-1，
所以cs(2x1+π3)⋅cs(2x2+π3)=-1,
所以cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=-1，
或cs(2x1+π3)=-1且cs(2x2+π3)=1，
当cs(2x1+π3)=1且cs(2x2+π3)=-1时，
2x1+π3=2k1π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π+π，k2∈Z，
所以x1-x2=(k1-k2)π-π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1-x2|=|(k1-k2)π-π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1-k2=0或k1-k2=1时，|x1-x2|取得最小值π2.
当cs(2x1+π3)=-1且cs(2x2+π3)=1时，
2x1+π3=2k1π+π，k1∈Z，2x2+π3=2k2π，k2∈Z，
所以x1-x2=(k1-k2)π+π2，k1∈Z，k2∈Z，
所以|x1-x2|=|(k1-k2)π+π2|，k1∈Z，k2∈Z，
所以当k1-k2=0或k1-k2=-1时，|x1-x2|取得最小值π2.
综上所述：x1-x2的最小值是π2.
故答案为：π2.
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
【解题思路】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【解答过程】设曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y-e2=kx-1，
因为y=exx+1，
所以y'=exx+1-exx+12=xexx+12，
所以k=y'|x=1=e4
所以y-e2=e4x-1
所以曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y=e4x+e4.
故选：C.
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．ebC．0【解题思路】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线y=ex的图象，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.
【解答过程】在曲线y=ex上任取一点Pt,et，对函数y=ex求导得y'=ex，
所以，曲线y=ex在点P处的切线方程为y-et=etx-t，即y=etx+1-tet，
由题意可知，点a,b在直线y=etx+1-tet上，可得b=aet+1-tet=a+1-tet，
令ft=a+1-tet，则f't=a-tet.
当t0，此时函数ft单调递增，
当t>a时，f't<0，此时函数ft单调递减，
所以，ftmax=fa=ea，
由题意可知，直线y=b与曲线y=ft的图象有两个交点，则b当t0，当t>a+1时，ft<0，作出函数ft的图象如下图所示：

由图可知，当0故选：D.
解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0
故选：D.
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 y=1ex ， y=-1ex ．
【解题思路】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
【解答过程】[方法一]：化为分段函数，分段求
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
解： 因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y-lnx0=1x0x-x0，
又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1ex-e，即y=1ex；
当x<0时y=ln-x，设切点为x1,ln-x1，由y'=1x，所以y'|x=x1=1x1，所以切线方程为y-ln-x1=1x1x-x1，
又切线过坐标原点，所以-ln-x1=1x1-x1，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=1-ex+e，即y=-1ex；故答案为：y=1ex；y=-1ex
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y-lnx0=1x0x-x0，
又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1ex-e，即y=1ex；
因为y=lnx是偶函数，图象为：
所以当x<0时的切线，只需找到y=1ex关于y轴的对称直线y=-1ex即可.
[方法三]：
因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y-lnx0=1x0x-x0，
又切线过坐标原点，所以-lnx0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1ex-e，即y=1ex；
当x<0时y=ln-x，设切点为x1,ln-x1，由y'=1x，所以y'|x=x1=1x1，所以切线方程为y-ln-x1=1x1x-x1，
又切线过坐标原点，所以-ln-x1=1x1-x1，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=1-ex+e，即y=-1ex；
故答案为：y=1ex；y=-1ex.
4．（2021·全国·统考高考真题）曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为 5x-y+2=0 ．
【解题思路】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【解答过程】由题，当x=-1时，y=-3，故点在曲线上．
求导得：y'=2x+2-2x-1x+22=5x+22，所以y'|x=-1=5．
故切线方程为5x-y+2=0．
故答案为：5x-y+2=0．
5．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx: fx=x4 ．
①fx1x2=fx1fx2；②当x∈(0,+∞)时，f'(x)>0；③f'(x)是奇函数．
【解题思路】根据幂函数的性质可得所求的fx.
【解答过程】取fx=x4，则fx1x2=x1x24=x14x24=fx1fx2，满足①，
f'x=4x3，x>0时有f'x>0，满足②，
f'x=4x3的定义域为R，
又f'-x=-4x3=-f'x，故f'x是奇函数，满足③.
故答案为：fx=x4（答案不唯一，fx=x2nn∈N*均满足）.
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 -∞,-4∪0,+∞ ．
【解题思路】设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【解答过程】∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，
设切点为x0,y0,则y0=x0+aex0,切线斜率k=x0+1+aex0,
切线方程为：y-x0+aex0=x0+1+aex0x-x0,
∵切线过原点，∴-x0+aex0=x0+1+aex0-x0,
整理得：x02+ax0-a=0,
∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,
∴a的取值范围是-∞,-4∪0,+∞,
故答案为：-∞,-4∪0,+∞.
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM||BN|取值范围是 (0,1) ．
【解题思路】结合导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式可得|AM|=1+e2x1⋅|x1|，|BN|=1+e2x2⋅|x2|，化简即可得解.
【解答过程】由题意，f(x)=|ex-1|={1-ex,x<0ex-1,x≥0，则f'(x)={-ex,x<0ex,x>0，
所以点A(x1,1-ex1)和点B(x2,ex2-1)，kAM=-ex1,kBN=ex2,
所以-ex1⋅ex2=-1,x1+x2=0，
所以AM:y-1+ex1=-ex1(x-x1),M(0,ex1x1-ex1+1)，
所以|AM|=x12+(ex1x1)2=1+e2x1⋅|x1|，
同理|BN|=1+e2x2⋅|x2|,
所以|AM||BN|=1+e2x1⋅|x1|1+e2x2⋅|x2|=1+e2x11+e2x2=1+e2x11+e-2x1=ex1∈(0,1).
故答案为：(0,1).