【二轮复习】高考数学 专题5.1 平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc21778" 【题型1 平面向量的基本概念】 PAGEREF _Tc21778 \h 2
\l "_Tc30713" 【题型2 平面向量的线性运算】 PAGEREF _Tc30713 \h 4
\l "_Tc13757" 【题型3 向量共线定理的应用】 PAGEREF _Tc13757 \h 6
\l "_Tc8827" 【题型4 平面向量基本定理的应用】 PAGEREF _Tc8827 \h 8
\l "_Tc24021" 【题型5 平面向量的坐标运算】 PAGEREF _Tc24021 \h 11
\l "_Tc3064" 【题型6 向量的线性运算的几何应用】 PAGEREF _Tc3064 \h 13
1、平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示
平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的线性运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活求解.
【知识点1 平行向量有关概念的归纳】
1.平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 平面向量线性运算问题的解题策略】
1.平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3.利用共线向量定理解题的策略：
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点3 平面向量基本定理的探究】
1.应用平面向量基本定理求向量的实质
应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点4 平面向量坐标运算的方法技巧】
1.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2023·北京大兴·校考三模）设a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【解答过程】由aa=bb表示单位向量相等，则a,b同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a=b，
由a=b表示a,b同向且模相等，则aa=bb，
所以“aa=bb”是“a=b”的必要而不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足AB+BC=2AM，则MD=（ ）
A．12B．1C．22D．2
【解题思路】根据几何关系求解.
【解答过程】
如图，AB+BC=AC=2AM，所以M是AC的中点，MD=12BD=22；
故选：C.
【变式1-2】（2023·江苏盐城·统考三模）已知ABCD是平面四边形，设p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，则p是q的条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【解题思路】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答过程】在四边形ABCD中，
若AB=2DC，
则AB∥DC，且AB=2DC，
即四边形ABCD为梯形，充分性成立；
若当AD，BC为上底和下底时，
满足四边形ABCD为梯形，
但AB=2DC不一定成立，即必要性不成立；
故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形ABCD的形状判断错误的是（ ）
A．若AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形
B．若AD=13BC，则四边形ABCD为梯形
C．若AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD为菱形
D．若AB=DC，且AC⊥BD，则四边形ABCD为正方形
【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.
【解答过程】A选项，AD=BC，则AD//BC,AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，A正确.
B选项，AD=13BC，则AD//BC,AD=13BC，所以四边形ABCD为梯形，B正确.
C选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，四边形ABCD是平行四边形；由于|AB|=|AD|，所以四边形ABCD是菱形，C正确.
D选项，AB=DC，则AB//DC,AB=DC，所以四边形ABCD为平行四边形；由于AC⊥BD，所以四边形ABCD为菱形，D选项错误.
故选：D.
【题型2 平面向量的线性运算】
【例2】（2023·浙江·统考二模）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA+2MB+2MC+MD=（ ）
A．ABB．CDC．2ABD．12CD
【解题思路】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.
【解答过程】M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA=-MC,MD=-MB,
所以MA+2MB+2MC+MD=MA+MC+MC+MB+MB+MD=MC+MB=MB-MA=AB.
故选：A.
【变式2-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若DB=12AD，3CD=CA+mCB，则m=（ ）

A．-2B．2C．-1D．3
【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.
【解答过程】连接CD，如图所示：

因为DB=12AD，
所以CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23CB-CA=13CA+23CB，
所以3CD=CA+2CB，所以m=2.
故选：B.
【变式2-2】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在△ABC中，D是线段BC上一点，满足BD=2DC,M是线段AD的中点，设BM=xAB+yAC，则（ ）
A．x-y=-12B．x+y=-12
C．x-y=12D．x+y=12
【解题思路】利用向量的线性运算，求出BM=-56AB+13AC，得到x,y的值，再对各选项分析判断即可求出结果.
【解答过程】因为D是线段BC上一点，满足BD=2DC，所以AD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC，
又M是线段AD的中点，所以AM=12AD=16AB+13AC，
所以BM=BA+AM=-AB+16AB+13AC=-56AB+13AC，
所以x=-56,y=13，故x+y=-12，
故选：B.
【变式2-3】（2023·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形ABCD满足AB//CD，AC与BD交于点P，且AB=2CD=2BC，则下列结论错误的是（ ）
A．AP=2PCB．|AP|=2|PD|
C．AP=23AD+13ABD．AC=13AD+23AB
【解题思路】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】
依题意，显然△APB∽△DPC，故有ABCD=APPC=PBPD=21，
即AP=2PC，PB=2PD，则AP=2PC，故A正确；
又四边形ABCD是等腰梯形，故AP=PB，即AP=2PD，故B正确；
在△ABD中，AP=AD+DP=AD+13DB=AD+13AB-AD=23AD+13AB，故C正确；
又AC=32AP=3223AD+13AB=AD+12AB，所以D错误；
故选：D.
【题型3 向量共线定理的应用】
【例3】（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，EB=3DE，若AO=λAE+μBC λ,μ∈R，则λμ=（ ）
A．-12B．-2C．12D．2
【解题思路】由EB=3DE，得到E为OD的中点，化简得到AE=12AO+12BC，得到AO=2AE-BC，结合AO=λAE+μBC，求得λ,μ的值，即可求解.
【解答过程】因为平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，可得O为BD的中点，
由EB=3DE，可得E为OD的中点，所以AE=12AO+12AD=12AO+12BC，
可得AO=2AE-BC，
又由AO=λAE+μBC，所以λ=2,μ=-1，所以λμ=-2.
故选：B．
【变式3-1】（2023·甘肃武威·统考一模）已知正三角形ABC的边长为6， AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，则点P到直线BC距离的最大值为（ ）
A．23B．3C．33D．332
【解题思路】由AP=32λAD+2μAE结合32λ+2μ=1得出点P在线段DE上运动，进而得出点P到直线BC距离的最大值.
【解答过程】因为3λ+4μ=2，所以32λ+2μ=1，
所以AP=λAB+μAC=32λ⋅23AB+2μ⋅12AC．如图，设AD=23AB，
AE=12AC，则AP=32λAD+2μAE．因为λ∈0,1，μ∈0,1，
所以点P在线段DE上运动，显然，当点P与点E重合时，点P到直线BC的距离取得最大值332．
故选：D.
【变式3-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，AB=xAPx>0，AC=yAQy>0，则4x+1y+1的最小值为（ ）．
A．34B．94C．3D．9
【解题思路】先利用向量的线性运算得到AG=x3AP+y3AQ，再利用三点共线的充要条件，得到x+y=3，再利用基本不等式即可求出结果.
【解答过程】因为M为线段BC的中点，所以AM=12(AB+AC)，又因为AG=2GM，所以AG=23AM=13(AB+AC)，
又AB=xAPx>0，AC=yAQy>0，所以AG=x3AP+y3AQ，
又P,G,Q三点共线，所以x3+y3=1，即x+y=3，
所以4x+1y+1=14(4x+1y+1)x+(y+1)=144+xy+1+4(y+1)x+1≥14(5+2xy+1⋅4(y+1)x)=94，
当且仅当xy+1=4(y+1)x，即x=83,y=13时取等号.
故选：B.
【变式3-3】（2024·广东广州·铁一中学校考一模）如图所示，O点在△ABC内部，D,E分别是AC,BC边的中点，且有OA+2OB+3OC=0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为（ ）
A．32B．23C．43D．34
【解题思路】由题意可知O,D,E三点共线，且DEOD=32，再由三角形面积公式即可求解.
【解答过程】由OA+2OB+3OC=0可得OA+OC=-2OB+OC，
又因为D,E分别是AC,BC边的中点，
所以OA+OC=2OD，OB+OC=2OE，
所以2OD=-4OE，即OD=-2OE，
所以O,D,E三点共线，且DEOD=32，
所以E到AC的距离与O到AC的距离之比也为32，
又△AEC的面积与△AOC的面积都以AC为底，
所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为32．
故选：A.
【题型4 平面向量基本定理的应用】
【例4】（2024·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若AP=34AC-14BC，则λ+t的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解题思路】表达出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t，即可求出λ+t的值.
【解答过程】由题意及图可得，
∵BP=λPN，
∴AP=AB+BP=AB+λλ+1BN=AB+λλ+1-AB+AN=AB1+λ+λAN1+λ，
∵AN=tNC(t>0)，
∴AN=tt+1AC,AP=AB1+λ+tλ(1+t)(1+λ)AC．
∵AP=34AC-14BC=34AC-14-AB+AC=14AB+12AC，
∴11+λ=14，tλ(1+t)(1+λ)=12，解得：λ=3，t=2，λ+t=5，
故选：C．
【变式4-1】（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设AB=a，AC=b，F是DE的中点，则AF=（ ）
A．12a+12bB．-12a+12bC．14a+12bD．-14a+12b
【解题思路】根据向量的运算，利用基底向量a,b表示AF即可.
【解答过程】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，
所以AF=AD+DF=12AC+12DE =12AC+14AB.
即AF=14a+12b.
故选：C.
【变式4-2】（2023·四川成都·校联考一模）已知平行四边形ABCD，若点M是边BC的三等分点（靠近点B处），点N是边AB的中点，直线BD与MN相交于点H，则BHBD=（ ）
A．23B．25C．15D．14
【解题思路】设BM=a,BN=b，设BH=λBD，MH=μMN，利用向量的基本定理可得3λ=1-μ2λ=μ，求得λ=15，从而问题可解.
【解答过程】
设BM=a,BN=b，则BD=3a+2b，MN=b-a，
设BH=λBD，MH=μMN，
则BH=3λa+2λb，MH=μb-μa，
因为BH=BM+MH=a+μb-μa=1-μa+μb，
所以3λ=1-μ2λ=μ，解得λ=15，
所以BH=15BD，即BHBD=|BH||BD|=15.
故选：C.
【变式4-3】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC， △OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0．因图形和奔驰车的lg很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解题思路】根据平面向量基本定理可得SbSa=ba，ScSa=ca，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，根据面积比推出|AE||BE| =|AC||BC|，结合角平分线定理推出CE为∠ACB的平分线，同理推出BF是∠ABC的平分线，根据内心的定义可得答案.
【解答过程】由Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0得OA=-SbSaOB-ScSaOC，
由a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0得OA=-baOB-caOC，
根据平面向量基本定理可得-SbSa=-ba，-ScSa=-ca，
所以SbSa=ba，ScSa=ca，
延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，
则SbSa=|AE||BE|，又SbSa=ba，所以|AE||BE|=ba =|AC||BC|，
所以CE为∠ACB的平分线，
同理可得BF是∠ABC的平分线，
所以O为△ABC的内心.
故选：B.
【题型5 平面向量的坐标运算】
【例5】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(a-b)，且a//b，则|c|=（ ）
A．2B．3C．5D．6
【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(a+b)⋅(a-b)=a2-b2=0，然后利用向量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得x,y的值，进而计算向量c=(x,y)的模.
【解答过程】因为a=(x,1)，b=(2,y)，
由(a+b)⊥(a-b)可得，(a+b)⋅(a-b)=a2-b2=0，
即x2+1-4+y2=0，整理得x2-y2=3.
又因为a∥b，所以xy=2，
联立x2-y2=3xy=2，解得x=2y=1或x=-2y=-1，
故|c|=x2+y2=5，
故选C.
【变式5-1】（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+yAD，则x+y=（ ）

A．23B．2C．3D．6
【解题思路】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据AC=xAB+yAD，结合向量的坐标运算，即可求得答案.
【解答过程】以A为坐标原点，以AD为x轴，过点A作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(-12,32),C(332,32),D(2,0),
故AC=(332,32),AB=(-12,32),AD=(2,0),
则由AC=xAB+yAD可得AC=(332,32)=x(-12,32)+y(2,0)，
即332=-12x+2y32=32x,∴x=3y=3，
故x+y=23，
故选：A.
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知向量a=-2,csα，b=1,sinα，且a∥b，则sin32π-αsinαcs2α=（ ）
A．23B．32C．-23D．-32
【解题思路】根据两个向量共线的坐标表示得出tanα，化简所求分式，再代入tanα得出结果.
【解答过程】已知向量a=-2,csα，b=1,sinα，且a∥b，
则-2sinα-csα=0，解得tanα=-12.
sin32π-αsinαcs2α=-csαsinαcs2α=-12sin2αcs2α
=-12tan2α=-tanα1-tan2α=121-122=23.
故选：A.
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=1,-1,b=-1,2,c=-3,3．若非零实数m,n满足na+b//b-mc，则nm=（ ）
A．3B．13C．-13D．-3
【解题思路】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件计算即可.
【解答过程】由题意可知，na+b=n1,-1+-1,2=n-1,-n+2，b-mc=-1,2-m-3,3=-1+3m,2-3m．
因为na+b//b-mc，所以n-12-3m=-n+2-1+3m，
整理得n=3m，即nm=3．
故选:A．
【题型6 向量的线性运算的几何应用】
【例6】（2023·全国·模拟预测）在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且AT=5+12TS，设ES+PA=λRD，则λ=（ ）

A．5+12B．-5+12C．1-52D．5-12
【解题思路】将ES+PA转化为RC+CQ，结合已知可得.
【解答过程】在五角星中，ES=RC，PA=CQ，则ES+PA=RC+CQ=RQ，
∵AT=5+12TS，
∴DR=5+12RQ，
∴RQ=25+1DR=5-12DR=1-52RD，
∴λ=1-52.
故选：C.
【变式6-1】（2023·吉林·统考一模）在直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的重心、外心、垂心、内心分别为G1，G2，G3，G4，若AGi=λiAB+μiAC（其中i=1,2,3,4），当λi+μi取最大值时，i=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】利用△ABC的重心、外心、垂心、内心的位置特征，结合向量的线性运算，求出λi+μi并比较大小.
【解答过程】直角三角形ABC中，A=90°，D为BC中点，△ABC的重心为G1，如图所示，

AG1=23AD=23×12AB+AC=13AB+13AC，
则λ1=μ1=13，λ1+μ1=23；
直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的外心为G2，则G2为BC中点，如图所示，

AG2=12AB+AC，则λ2=μ2=12，λ2+μ2=1；
直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的垂心为G3，则G3与A点重合，AG3=0，
则λ3=μ3=0，λ3+μ3=0；
直角三角形ABC中，A=90°，△ABC的内心为G4，则点G4是三角形内角平分线交点，

直角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，设内切圆半径为r，
则S△ABC=12bc=12a+b+cr，得r=bca+b+c，
AG4=bca+b+c⋅ABAB+bca+b+c⋅ACAC=bca+b+c⋅ABc+bca+b+c⋅ACb=ba+b+cAB+ca+b+cAC，
λ=ba+b+c,μ=ca+b+c，λ+μ=ba+b+c+ca+b+c=b+ca+b+c<1.
λ2+μ2=1最大，所以当λi+μi取最大值时，i=2.
故选：B.
【变式6-2】（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，AE=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是（ ）
A．-1,1B．0,1C．-1,2D．0,2
【解题思路】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点E在BC，CD，AD三种情况，求出λ+μ的取值范围.
【解答过程】以B为坐标原点，AB，BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
设AB=1，则B0,0,A1,0,C0,1,D1,1，
当点E在BC上时，设E0,m,m∈0,1，
则-1,m=λ-1,0+μ-1,1，即-λ-μ=-1m=μ，故λ+μ=1，
当点E在CD上时，设Et,1,t∈0,1，
则t-1,1=λ-1,0+μ-1,1，即-λ-μ=t-1μ=1，解得λ=-tμ=1，
故λ+μ=1-t∈0,1，
当点E在AD上时，设E1,u,u∈0,1，
则0,u=λ-1,0+μ-1,1，即-λ-μ=0μ=u，故λ+μ=0
综上，λ+μ的取值范围是λ+μ∈0,1.
故选：B.
【变式6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD=2CD=2CB=2，点P在线段BC上运动，若AP=xAB+yAD，则x2+y2的最小值为（ ）
A．54B．45C．1316D．134
【解题思路】利用坐标法，设BP=λBC,(0≤λ≤1)，可得{2-12λ=2x+12y32λ=32y，进而可得x2+y2=(1-12λ)2+λ2，然后利用二次函数的性质即得.
【解答过程】如图建立平面直角坐标系，
则A(0,0),B(2,0),C(32,32),D(12,32)，
∴AB=(2,0),AD=(12,32),BC=(-12,32)，
设BP=λBC,(0≤λ≤1)，BP=λBC=λ(-12,32)，
∴AP=AB+BP=(2-12λ,32λ)，
又AP=xAB+yAD=x(2,0)+y(12,32)=(2x+12y,32y)，
∴{2-12λ=2x+12y32λ=32y，
解得x=1-12λ,y=λ，
∴x2+y2=(1-12λ)2+λ2=54λ2-λ+1=54(λ-25)2+45≥45，
即x2+y2的最小值为45.
故选：B.
1．（2022·全国·统考高考真题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（ ）
A．3m-2nB．-2m+3nC．3m+2nD．2m+3n
【解题思路】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【解答过程】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD-CB=2CA-CD，
所以CB= 3CD-2CA=3n-2m =-2m+3n．
故选：B．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a=1,1,b=1,-1，若a+λb⊥a+μb，则（ ）
A．λ+μ=1B．λ+μ=-1
C．λμ=1D．λμ=-1
【解题思路】根据向量的坐标运算求出a+λb，a+μb，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【解答过程】因为a=1,1,b=1,-1，所以a+λb=1+λ,1-λ，a+μb=1+μ,1-μ，
由a+λb⊥a+μb可得，a+λb⋅a+μb=0，
即1+λ1+μ+1-λ1-μ=0，整理得：λμ=-1．
故选：D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b，则m= -34 ．
【解题思路】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【解答过程】由题意知：a⋅b=m+3(m+1)=0，解得m=-34.
故答案为：-34.
4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1A2上，则PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是 [12+22,16] ．
【解题思路】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(x,y)，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到PA12+PA22+⋯+PA82=8x2+y2+8，然后利用cs22.5∘≤|OP|≤1即可解出．
【解答过程】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A1(0,1),A222,22,A3(1,0),A422,-22,A5(0,-1),A6-22,-22,A7(-1,0),A8-22,22，设P(x,y),于是PA12+PA22+⋯+PA82=8x2+y2+8，
因为cs22.5∘≤|OP|≤1，所以1+cs45∘2≤x2+y2≤1，故PA12+PA22+⋯+PA82的取值范围是[12+22,16].
故答案为：[12+22,16]．