【二轮复习】高考数学 专题9.1 计数原理综合（题型专练）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc28938" 【题型1 分类、分步计数原理的应用】 PAGEREF _Tc28938 \h 2
\l "_Tc31718" 【题型2 涂色问题】 PAGEREF _Tc31718 \h 3
\l "_Tc553" 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 PAGEREF _Tc553 \h 5
\l "_Tc21900" 【题型4 相邻、不相邻排列问题】 PAGEREF _Tc21900 \h 6
\l "_Tc22737" 【题型5 分组分配问题】 PAGEREF _Tc22737 \h 6
\l "_Tc1767" 【题型6 排列、组合的综合问题】 PAGEREF _Tc1767 \h 7
\l "_Tc1126" 【题型7 展开式中的特定项或特定项的系数问题】 PAGEREF _Tc1126 \h 8
\l "_Tc9814" 【题型8 二项式系数和与各项系数的和问题】 PAGEREF _Tc9814 \h 8
\l "_Tc7213" 【题型9 二项式系数的最值问题】 PAGEREF _Tc7213 \h 8
1、计数原理综合
计数原理是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理、分组分配等问题，难度不大；二项式定理问题也是高考的热门内容，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度中等，二轮复习时需要加强这方面的练习.
【知识点1 分类、分步计数原理的应用】
1.分类加法计数原理的解题策略
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准；
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才
是不同的方法，不能重复；
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
2.分步乘法计数原理的解题策略
(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步
必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.
【知识点2 排列组合常见问题的分类与解题策略】
1.排列应用问题的分类与解法
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
(4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二
是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可.
(5)间接法：正面分类太多从反面入手.
(6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究.
2.组合问题的分类与解法
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个
关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
3.分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则
分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【知识点3 展开式中的通项问题】
1.展开式中的通项问题的求解方法：
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；
求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，
但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
【知识点4 二项式系数的最值问题】
1.二项式系数的最值问题的求法：
二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；
当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.
【题型1 分类、分步计数原理的应用】
【例1】（2023·全国·模拟预测）在正方形ABCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4中的某一个数字（可以重复），则顶点A,B处的数字都大于顶点C,D处的数字的标注方法有（ ）
A．36种B．48种C．24种D．26种
【变式1-1】（2023·河南·模拟预测）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【变式1-2】（2023·福建泉州·模拟预测）某公园有如图所示A至F共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（ ）

A．24B．36
C．72D．81
【变式1-3】（2023·天津·一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝定是GB．最低处的树枝一定是F
C．九根树枝从高到低不同的顺序共有33种D．九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
【题型2 涂色问题】
【例2】（2023·四川资阳·模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（ ）
A．360种B．420种C．480种D．540种
【变式2-1】（2023·山西忻州·模拟预测）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．120种B．240种C．420种D．720种
【变式2-2】（2023·山西·模拟预测）将一个四棱锥P-ABCD的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则共使用4种颜色的概率为（ ）
A．27B．37C．47D．25
【变式2-3】（2023·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有4种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A．30B．120C．150D．240
【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】
【例3】（2024·四川成都·模拟预测）在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到A,B,C三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A场馆，则不同分配方案的种数是（ ）
A．48B．36C．24D．12
【变式3-1】（2023·福建福州·模拟预测）某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（ ）
A．14种B．24种C．36种D．50种
【变式3-2】（2024·吉林白山·一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A．300B．432C．600D．864
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）2023年高考考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照下图所示的方式进行座位号的编排．为了确保考试的公平性，考生的试题卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用B卷．已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加高考，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有（ ）
A．2016种B．1008种C．1440种D．720种
【题型4 相邻、不相邻排列问题】
【例4】（2023·四川凉山·一模）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．96种
【变式4-1】（2023·湖南益阳·三模）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种B．960种C．1008种D．1200种
【变式4-2】（2023·重庆·模拟预测）一排10个座位，现安排甲、乙、丙三人就座，规定中间的2个座位不能坐，且甲、乙相邻，甲、乙与丙不能相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．56B．44C．38D．32
【变式4-3】（2023·河北·模拟预测）某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表，从语文、数学、英语、物理、体育5科中选出4科排到课表中，体育课不能排到第一节，且数学和物理两科不能相邻，则不同的排课方案共有（ ）种
A．64B．68
C．72D．84
【题型5 分组分配问题】
【例5】（2024·安徽合肥·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72B．84C．100D．120
【变式5-1】（2024·四川·模拟预测）为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（ ）
A．192种B．216种C．240种D．432种
【变式5-2】（2024·重庆·一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50B．36C．26D．14
【变式5-3】（2023·湖北武汉·模拟预测）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40B．28C．20D．14
【题型6 排列、组合的综合问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（ ）
A．20B．40C．66D．80
【变式6-1】（2023·福建福州·三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种B．20种C．12种D．10种
【变式6-2】（2023·江西南昌·二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（ ）
A．25B．512
C．13D．14
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有（ ）
A．54种B．66种C．90种D．112种
【题型7 展开式中的特定项或特定项的系数问题】
【例7】（2023·全国·模拟预测）二项式x-1x6的展开式中常数项为 ．
【变式7-1】（2023·山西临汾·模拟预测）2x-x36的展开式中含x2的项的系数是 ．（用数字作答）
【变式7-2】（2023·广东深圳·模拟预测）x+2x-13展开式中x2的系数为 .
【变式7-3】（2023·山东潍坊·模拟预测）2x2-x+110的展开式中x3项的系数为 .
【题型8 二项式系数和与各项系数的和问题】
【例8】（2023·河南开封·模拟预测）若(2-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5= ．
【变式8-1】（2023·北京海淀·模拟预测）在x2-3xn的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ．
【变式8-2】（2023·四川南充·三模）若x-14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4-a3+a2-a1=
.
【变式8-3】（2023·江苏扬州·模拟预测）若(x+5)2023=a0+a1x+a2x2+⋯+a2023x2023,T=a0+a1+a2+⋯+a2023，则T被5除所得的余数为 ．
【题型9 二项式系数的最值问题】
【例9】（2024·全国·模拟预测）在x+1n的二项展开式中，系数最大的项为x3和x4，则展开式中含x项的系数为 ．
【变式9-1】（2023·上海嘉定·一模）已知(1+2x)6的二项展开式中系数最大的项为 ．
【变式9-2】（2023·海南海口·一模）在x+14y+z6的展开式中，系数最大的项为 .
【变式9-3】（2023·山东青岛·三模）若13x+xn展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
1．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．16B．13C．12D．23
2．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
3．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
4．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．C40045⋅C20015种B．C40020⋅C20040种
C．C40030⋅C20030种D．C40040⋅C20020种
5．（2022·北京·高考真题）若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（ ）
A．40B．41C．-40D．-41
6．（2023·天津·高考真题）在2x3-1x6的展开式中，x2项的系数为 ．
7．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
8．（2022·浙江·高考真题）已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2= ，a1+a2+a3+a4+a5= ．
9．（2022·全国·高考真题）1-yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作答）．
10．（2021·浙江·高考真题）已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1= ，a2+a3+a4= .
第五列
第四列
第三列
第二列
第一列
25
24
13
12
01
第一排
26
23
14
11
02
第二排
27
22
15
10
03
第三排
28
21
16
09
04
第四排
29
20
17
08
05
第五排
30
19
18
07
06
第六排