【二轮复习】高考数学 专题10 三角函数的性质（考点精练）.zip

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考法一 扇形的弧长与面积
【例1-1】（2023·甘肃定西·统考一模）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字作画，题字作画的部分多为扇环，如图在长为50，宽为20的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧线长为45，内弧线长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为14（外环半径与内环半径之差），若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023·全国·模拟预测）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，他是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，如图所示．现在我们要制作一个高为10的柱形几何体，其侧面与底面垂直，底面为一莱洛三角形ABC，且正三角形ABC边长为2，则该几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台下列说法错误的是（ ）

A．高为B．体积为
C．表面积为D．内切球的半径为
3．（2023·河北·统考模拟预测）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则两圆锥侧面展开图的圆心角之和为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．B．C．D．
考法二 三角函数的定义
【例2-1】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【例2-2】（2023·贵州遵义·统考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1.（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
2（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3（2024·江西·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（ ）

A．B．2C．D．3
4．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）（多选）已知，为坐标原点，终边上有一点.则（ ）
A．B．
C．D．
考法三 同角三角函数
【例3-1】（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023·浙江杭州·校考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．2
3．（2023·河北沧州·校考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
考法四 恒等变化
【例4-1】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变化】
1．（2023·浙江·模拟预测）（多选）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·模拟预测）（多选）已知，且，，，则（ ）
A．的取值范围为B．存在，，使得
C．当时，D．t的取值范围为
考法五 角的拼凑
【例5-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·河南开封·统考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知，则 .
4．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知​，则​ ．
考法六 三角函数的性质
【例6-1】（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·陕西西安·校考一模）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．的图象向右平移个单位得的图象
D．在区间上单调递减
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．在上的值域为
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考法七 正余弦定理
【例7-1】（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【例7-3】（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）（多选）中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（ ）
A．若，则必有两解
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则一定为直角三角形
D．若，且该三角形有两解，则的范围是
考法八 w的求法
【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【例8-2】（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
3．（2023·浙江·模拟预测）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是 .
4．（2023·四川宜宾·统考二模）已知函数，给出下列4个结论：
①的最小值是；
②若，则在区间上单调递增；
③若，则将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象；
④若存在互不相同的，使得，则.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②
考法九 实际应用
【例9-1】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子（表）规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日子内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差一尺”（1尺＝10寸）．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日子内，甲地日影长是乙地日影子长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A．15千里B．14千里C．13千里D．12千里
【例9-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名．如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，AB的长约为，则该月牙泉模型的面积约为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1.（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
2.（2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考法十 与其他知识的综合运用
【例10-1】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的最小值为B．在上只有一个极小值点
C．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增
【例10-2】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例10-3】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）的展开式中的系数为12，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数有且只有一个零点，则实数a的值为______．
一、单选题
1．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）设，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知角，终边上有一点，则（ ）
A．2B．C．D．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·福建三明·统考三模）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于、两点，当面积最大时（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河南·校联考模拟预测）若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·浙江·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
14．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
15．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·河北唐山·模拟预测）设．当取得最大值时，满足（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数为奇函数，则参数的一个可能值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递增D．在上单调递增
19．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下说法正确的是（ ）

A．若圆的半径为，则；
B．函数在上单调递减；
C．函数的图象向左平移个单位后关于对称；
D．函数的最小正周期是.
20．（2023·陕西延安·校考一模）已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上的减区间为
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
21．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
22．（2023·河南·模拟预测）已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．
23．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若的图像关于直线对称，则在上的极值点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．（2023·宁夏银川·宁夏育才中学校考三模）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
27．（2023·河南·校联考二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·四川成都·模拟预测）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2023·四川·校联考一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
30．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
31．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
32．（2023·湖南郴州·统考一模）已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图像的一个对称中心
C．在的值域为
D．函数在上单调递增
33．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．
B．函数的图象关于对称
C．函数在的值域为
D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
34．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在区间上有6个零点
C．直线是图象的一条对称轴
D．若对任意的恒成立，则
35．（2023·贵州·校联考模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
36．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A．B．2C．D．
37．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，.则下列结论正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．
C．的最大值为
D．的取值范围为
38．（2023·安徽·校联考模拟预测）在中，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．边上的中线长为2B．为锐角三角形
C．D．的周长为12
39．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则边上的中线长为
B．若，，，则有两个解
C．若不是直角三角形，则一定有
D．若是锐角三角形，则一定有
三、填空题
40．（2023·全国·统考高考真题）若，则 ．
41．（2023·江西九江·统考一模）中，三内角所对边分别为，已知，，则角的最大值是
42．（2022·浙江·统考高考真题）若，则 ， ．
43．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若，则 .
44．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知是第四象限角，且满足，则 ．
45．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知，，且，，则 ．
46．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知，则 ．
47．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数，，则函数的零点是 ．
48．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）设，，且，则 .
49．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知均为锐角，，则的最小值为 .
50．（2023·河南·校联考模拟预测）单位圆与轴正半轴交于点，，为单位圆上两点，，且，点位于第二象限，则 .