广东省广州市真光中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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满分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有1项符合题目要求．
1. 计算（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，且，则实数（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 任意实数
5. 已知，不共线向量，且，，，则（ ）
A. 、、三点共线B. 、、三点共线
C. 、、三点共线D. 、、三点共线
6. 已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 分别以锐角三角形的边AB，BC，AC为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（ ）
A. B. C. D.
8. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若，则
C. 若，，，则
D. 若为的垂心，则
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
10. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 为钝角三角形
C. 若，则的面积是
D. 若外接圆半径是，内切圆半径为，则
11. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）

A.
B.
C. 点的坐标为
D. 点的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若且，则的最小值是_______．
13. 已知，，则______．
14. 由正三棱锥截得的三棱台的各顶点都在球的球面上，若，三棱台的高为2，且球心在平面与平面之间（不在两平面上），则的取值范围为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知．
（1）求与的夹角；
（2）若在方向上的投影向量为，求的值．
16. 在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.

（1）求、的长；
（2）求余弦值.
17. 某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；
（1）求塑胶跑道的总长关于的函数关系式；
（2）当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值．
18. 已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值:
（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
（3）若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值.
19. 在中，内角对边分别为，已知
（1）求角；
（2）已知，点是边上两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值:
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图:
它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．