黑龙江省绥化市第八中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图案是轴对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐个判断即可得．
【详解】解：第2个和第3个图形不是轴对称图形，第1个和第4个，第5个图形是轴对称图形，
则是轴对称图形的有3个，
故选：C．
2. 如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
【详解】设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得4−2故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边是解题的关键．
3. 如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是（ ）
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
【答案】B
【解析】
【详解】由△ABD和△ACE都是等边三角形，可得AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，进而得到∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，因此可知在△ADC和△ABE中，AD=AB，∠DAC=∠BAE ，AC=AE ，可根据SAS证得△ADC≌△ABE．
故选B
考点：等边三角形，全等三角形的判定
4. 如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
【详解】解：在和中，
，
，，
在和中，
，
在和中，
，
综上，图中全等三角形共有3对，
故选：C．
5. 如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 4cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意证明即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
∵∠ACE＝90°，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、基本作图，过点作于，根据题意可知平分，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于．
由题意可知：平分，
∵，，即，
∴，
∵，
∴的面积，
故选：B．
7. 点A（a﹣3，﹣1）与点B（2，b+2）关于x轴对称，则a，b的值分别是（ ）
A. a=1，b=﹣3B. a=1，b=﹣1C. a=5，b=﹣3D. a=5，b=﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】（2，b+2）与点（a-3，-1）关于x轴对称，得
a-3=2，b+2=1．
解得a=5，b=-1，
故选D．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8. 下列结论错误的是( )
A. 全等三角形对应边上的高相等
B. 全等三角形对应边上的中线相等
C. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等
D. 两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质定理可得A、B、C正确，根据全等三角形的判定定理可得D错误．
【详解】A、全等三角形对应边上的高相等，说法正确，故此选项不合题意；
B、全等三角形对应边上的中线相等，说法正确，故此选项不合题意；
C、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，可以利用定理进行判定，说法正确，故此选项不合题意；
D、两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，选项D说法错误，故此选项符合题意.
故选：D
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
9. 三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条高的交点
C. 三条中线的交点D. 三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质可确定三角形中到三边距离相等的点满足的条件．
【详解】解：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等．
故选：D
10. 如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质、全等三角形的判定与性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】解：平分，，，
，
又，
，
，
①平分正确；
，，
，
②正确；
，
若平分，则，现有条件无法证明，
③平分错误；
，，，
，，
，，
，
④错误；
综上，正确的有①②，共2个．
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
11. 已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是___.
【答案】-1【解析】
【分析】点P（a+1，a﹣3）关于x轴的对称点在第一象限，则点P（a+1，a﹣3）在第四象限，符号为（+，﹣）．
【详解】依题意得P点在第四象限，∴，解得：﹣1＜a＜．
故答案为﹣1＜a＜．
【点睛】本题考查了第一象限的点关于x轴对称的点在第四象限，要学会发散性思考，可以由此题联想到更多的点关于某一坐标轴对称的性质．
12. 若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据凸边形的内角和公式，列出方程再求解即可
【详解】解：由题意得=12 60°
解得n=9，
从一个顶点出发引的对角线条数是n-3=6
故答案为：6.
【点睛】本题考查凸边形的内角和以及对角线的条数等知识，熟练掌握凸边形的内角和公式是解决本题的关键
13. 用一条长16厘米的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为6厘米，则另外两边的长分别为__．
【答案】4cm，6cm或5cm，5cm
【解析】
【详解】6cm是腰长时，底边为16﹣6×2=4，
∵6+4=10>6，
∴4cm、6cm、6cm能组成三角形；
6cm是底边时，腰长为（16﹣6）=5cm，
∵5+5=10>6，
∴5cm、5cm、6cm能够组成三角形；
综上所述，另外两边的长分别为4cm，6cm或5cm，5cm，
故答案为：4cm，6cm或5cm，5cm.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
14. 一个汽车牌在水中的倒影为 ，则该车牌照号码______．
【答案】
【解析】
【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
倒影的对称图形是：，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性．
15. 如图，已知，，增加下列条件：①，②，③，④，其中能使的条件有 ________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可．
【详解】解：添加①满足，符合题意；
添加②满足．不符合题意；
添加③满足，符合题意；
添加④满足，符合题意；
故能使的条件有①③④．
故答案为：①③④．
16. 如图所示，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，，则的周长为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到，据此利用三角形周长公式求解即．
【详解】解：∵P点关于的对称点，
∴．
∴的周长为．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
17. 如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O ，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为18，OD=4，则△ABC的面积是____.
【答案】36
【解析】
【分析】试题分析：连接AO，根据角平分线的性质可得：点O到直线AB、AC和BC的距离都是4，则三角形ABC的面积=△AOB的面积+△AOC的面积+△BOC的面积，然后根据面积的计算法则和三角形的周长得出面积.
【详解】连接AO，根据角平分线的性质可得：点O到直线AB、AC和BC的距离都是4，
三角形ABC的面积=△AOB的面积+△AOC的面积+△BOC的面积
=
=×18×4
=36
18. 如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，垂足分别为，，则_____________．

【答案】##
【解析】
【分析】连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，中垂线的性质，得到，证明，得到，根据以及线段之间的等量关系，进行转化后计算即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
连接，

∵垂直平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键．
19. 如图，已知P(3，3)，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB＝90°，则OA＋OB＝________．
【答案】6
【解析】
详解】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P（3，3），
∴PN=PM=3，
∵，
∴∠MPN=360°-90°-90°-90°=90°，
则四边形MONP是正方形，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴∠APB=∠MON，
∴ ，
∴∠APM=∠BPN，
在△APM和△BPN中
，
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴OA+OB=OA+ON+BN
=OA+ON+AM=ON+OM
=3+3=6
故答案是：6．
20. 如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠DBC的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC，∠DAC，∠ECA的平分线的交点，上述结论中，正确的有________．(填序号)
【答案】①②③④
【解析】
【详解】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．
由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．
故答案是：①②③④.
【点睛】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证．
三、解答题（共9道题）
21. 如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）
【答案】如图，点P为所作．
【解析】
【分析】本题考查了作图，分别作线段的垂直平分线和角平分线，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到它们的交点，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】连接，作的垂直平分线，
作的角平分线，
两线交于，此时点为所求灯柱位置，如图所示：
22. 如图，已知，，．
（1）作关于轴对称的；
（2）写出点______，______，______坐标；
（3）的面积______．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）7
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据图形得出坐标即可；
（3）利用所在长方形形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问2详解】
解：，，．
故答案为：，，；
【小问3详解】
解：．
故答案为：7．
23. 如图,在△ABC中,∠A=,∠B=，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数.
【答案】∠BCE=34°，∠CDF=74°．
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCE即可，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，进而求出∠FCD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CDF即可．
【详解】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE∠ACB68°=34°．
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°．
∵∠B=72°，∴∠BCD=90°﹣72°=18°，∴∠FCD=∠BCE﹣∠BCD=16°．
∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣∠FCD=74°，即∠BCE=34°，∠CDF=74°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直定义，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．
24. 如图，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACE．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】证明：∵AD⊥AE，AB⊥AC，
∴∠CAB＝∠DAE＝90°.
∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
25. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠APN的度数为108°．
【解析】
【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形内角与外角之间的关系．
26. 如图，Rt△ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，现过A.B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点D.E．
(1)求证：△ACD≌△CBE．
(2)若BE＝3，DE＝5，求AD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）AD=8
【解析】
【分析】（1）根据AAS即可证明△ACD≌△CBE；
（2）由（1）知△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等，得出CD=BE=3，AD=CE，由CE=CD+DE，从而可求出AD的长．
【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE=90°-∠ECB．
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴CD=BE=3，AD=CE，
又∵CE=CD+DE=3+5=8，
∴AD=8．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27. 如图，，相交于点，求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用HL证明，然后利用等腰三角形的性质，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵，，
∴（HL），
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角的判定和性质进行解题，得到OB=OC是关键．
28. 如图，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时．与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系．
【答案】，，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证得，得出，进一步得出得出结论即可；
详解】解：，．
理由如下：
∵，，
∴，
由题易知，
∵，
∴，而，
∴，
在和中，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
29. 如图（1），在中，为直角．点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧做正方形．连接．如果，，
（1）当点D在线段上时（与点B不重合），如图（2），线段，所在直线数量关系为 位置关系为 ．
（2）当点D在线段的延长线上时，如图（3），（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【答案】（1），证明见解析
（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到是解题的关键．也考查了正方形的性质．
（1）利用证明，则可得，进而易得；
（2）利用证明，则可得，进而易得．
【小问1详解】
解：，
理由如下：
在与正方形中，
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
仍然有：；
理由如下：
与①同理：，
∴；
∴，
即．