湖南省邵阳市武冈市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．本学科为闭卷考试，全卷共两道大题，时量120分钟，满分120分．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内）
1. 若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
直接根据二元一次方程的定义列方程求值即可．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，解得：．
故选D．
2. 用加减法解二元一次方程组下列步骤可以消去未知数x的是( )
A. ①×5－②×5B. ①×5－②×2C. ①×2－②×5D. ①×5＋②×2
【答案】B
【解析】
【分析】①×5－②×2即可消去x.
【详解】以消去未知数x的是①×5－②×2.故选B.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是找到要消去的未知数的最小公倍数.
3. 若，则y用只含x的代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用加减消元法消去m即可求解．
【详解】解：方程组变形为，
两个方程相加，得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查加减消元法解方程组，会利用加减消元法消去m是解答的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式乘法．根据合并同类项法则，多项式乘多项式法则及平方差公式，完全平方公式逐项判断．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项符合题意；
故选：D．
5. 已知a，b为常数，对于任意x的值都满足（x﹣10）（x﹣8）＋a＝（x﹣9）（x﹣b），则a＋b的值为（ ）
A. 8B. 10C. ﹣8D. ﹣10
【答案】B
【解析】
【分析】将等式两边用多项式乘以多项式法则展开，再比较二次项、一次项、常数项，列方程解得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：∵（x﹣10）（x﹣8）+a＝x2﹣18x+80+a，（x﹣9）（x﹣b）＝x2﹣（9+b）x+9b，
又∵（x﹣10）（x﹣8）+a＝（x﹣9）（x﹣b），
∴x2﹣18x+80+a＝x2﹣（9+b）x+9b，
，，
解得，，
∴a+b＝10，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式法则、解方程等知识，解题关键是列方程求出、的值．
6. 下列各式中不能用平方差公式或完全平方公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】平方差公式为，完全平方公式为，由此即可求解．
【详解】解：、，故选项能用平方差公式，不符合题意；
、不能用平方差公式或完全平方公式计算，故选项符合题意；
、，故选项能用平方差公式，不符合题意；
、，故选项能用平方差公式或完全平方公式计算，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查乘法公式的运用，掌握平方差公式，完全平方公式的运用是解题的关键．
7. 计算的结果是：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
根据同底数幂的乘法法则判断即可．
【详解】，
所以正确的有②④．
故选：D．
8. 已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小．
【详解】解析：因为，，，
所以 ，
即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用．
9. 列方程组解古算题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：几个人共同购买一件物品，每人出8钱，余3钱；每人出7钱，缺4钱．设参与共同购物的有x个人，物品价值y钱，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱;每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解
【详解】设人数为x人，物价为y钱，
依题意得:
故选: A
【点睛】本题考查二元一次方程组实际问题，找到题目中的等量关系是解题关键
10. 我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0 ，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0 ），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A. 2k+2020B. 2k+1010C. kn+1010D. 1022k
【答案】C
【解析】
【分析】根据h（2）=k（k≠0），以及定义新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）将原式变形为kn•k1010，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【详解】解：∵h（2）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）•h（n），
∴h（2）= h（1+1）=h(1) •h(1)=k（k≠0）
∴h（2n）= kn；
∴h（2n）•h（2020）=kn•k1010=kn+1010．
故选：C．
【点睛】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则_________．
【答案】32
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用．掌握同底数幂的乘法法则，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：32．
12. 把一个正方形的边长增加了4cm，得到的正方形的面积增加了64cm2，则这个正方形的面积为___．
【答案】36cm2
【解析】
【分析】设这个正方形的边长为x厘米，根据等量关系：新正方形的面积=原正方形的面积+64，得出方程，解答即可．
【详解】解：设这个正方形的边长为x厘米，根据题意得：
（x+4）2=x2+64
x2+8x+16=x2+64
8x+16=64
8x+16-16=64-16
8x=48
8x÷8=48÷8
x=6
这个正方形的边长为6cm，
这个正方形的面积为36cm2．
故答案为：36cm2．
【点睛】本题考查了完全平方公式，找到两个正方形面积的等量关系式是解答本题的关键．
13. 如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______（用含a，b的式子表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为，
，
拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
14. 方程组中，______________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法计算即可．
【详解】解：
①+②+③得，，
则，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
15. 给多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可以是 ______________.（写出一个即可）
【答案】或或7（答案不唯一，写出一个即可）
【解析】
【分析】此题主要考查的是整式的乘法公式有关知识，题目比较简单，通过考查，了解了学生对整式的乘法公式的知识的掌握程度． 关键是弄清题意，掌握完全平方公式．
根据题意，由题目的结构特点，依据题目的已知条件，根据完全平方公式，写出一个，即可得到题目的结论．
【详解】解：，
，
故答案为：或或7（答案不唯一，写出一个即可）
16. 已知，计算：________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用．利用平方差公式计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：5．
17. 定义运算,下面给出了关于这种运算的四个结论:①2(-2)=0；②；③若,则；④,其中正确结论的序号是_______(填上你认为所有正确结论的序号)
【答案】①④
【解析】
【分析】直接利用新定义逐一进行求解即可判断正误，从而得出答案．
【详解】∵a⊗b=a2-b2，
∴①2⊗（-2）=22-（-2）2=0，正确；
②a⊗b=a2-b2，b⊗a=b2-a2，故a⊗b与b⊗a不一定相等，故错误；
③若a⊗b=a2-b2=0，则a=±b，故错误；
④（a+b）⊗（a-b）=（a+b）2-（a-b）2=4ab，故正确，
故答案为①④．
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及了平方差公式，完全平方公式，正确弄清新定义运算规则是解题的关键.
18. 已知，则______．
【答案】61
【解析】
【分析】根据可得，，然后将原分式适当变形后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：61．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解．
三、解答题（19－25每题8分，26题10分，共66分）
19. （1）解方程（组）：
（2）运用乘法公式计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，以及利用乘法公式计算整式的乘法运算，掌握代入消元法解二元一次方程组，以及熟记乘法公式是解本题的关键．
（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可求解；
（2）先按照平方差公式计算，再按照完全平方公式计算即可．
【详解】（1），
解：将①代入②中，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为；
（2）解：，
，
．
20. （1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
（1）把写成，然后利用平方差公式计算即可求出结果．
（2）提公因式后再用平方差公式分解即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21. 先化简，再求值：（3m+2）（3m﹣2）﹣（2m+3）（2m﹣2），其中m＝1．
【答案】5m2﹣2m+2，5
【解析】
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入求出答案．
【详解】(3m+2)(3m﹣2)﹣(2m+3)(2m﹣2)
=9m2﹣4﹣(4m2﹣4m+6m﹣6)
=9m2﹣4﹣4m2﹣2m+6
=5m2﹣2m+2，
当m=1时，
原式=5×1﹣2×1+2=5．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用相关运算法则是解题关键．
22. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）23 （2）21
【解析】
【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方，完全平方公式．
（1）根据同底数幂相乘，幂的乘方可得，，运用完全平方公式得到，代入即可解答；
（2）由，代入即可解答．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴．
23. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题
【答案】“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
【解析】
【分析】被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【详解】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，
设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，
根据题意得：
解得：，
则“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
24. 由于卡房独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
【答案】（1）1辆A型车载满洋芋一次运送3吨和1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨；
（2）方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车
【解析】
【分析】（1）设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）根据一次运送31吨洋芋，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案．
【小问1详解】
解：设1辆A型车载满洋芋一次运送x吨和1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨，根据题意得：
，解得：，
答：1辆A型车载满洋芋一次运送3吨和1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
∴，
∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25. 阅读并解答：对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出，后代入，就可以把多项式因式分解．
（1）求式子中，的值；
（2）以上这种因式分解方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，得出有关m，n的方程求出即可；
（2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，进而将多项式分解得出答案．
【小问1详解】
解：∵

，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：当 时，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
26. 通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数等式，例如图1可以得到
（1）图2所表示的数学等式为 .
（2）利用(1) 中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值：
（3）如图3，将两个边长分别为a和b正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足，求出阴影部分的面积.
【答案】（1）
（2）45 （3）20
【解析】
【分析】（1）根据“正方形的面积边长边长各个部分的面积之和”，列式，即可求解，
（2）将，，代入（1）中结论，即可求解，
（3）根据“”，面积公式代入，即可求解，
本题考查了，完全平方公式，解题的关键是：熟练应用数形结合思想．
【小问1详解】
解：根据题意得：正方形的面积边长边长各个部分的面积之和，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：45；
【小问3详解】
解：根据题意得：，
∴
，
∵，，
∴，
故答案：20．