四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回，数列满足，则等于等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知首项为1的数列中，则（ ）
A．B．C．D．2
2．已知数列是等差数列，首项，公差，如果成等比数列，那么d等于（ ）
A．2或B．C．2D．3
3．已知，若，则等于（ ）
A．0B．1C．eD．2e
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
5．若数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．数列满足，则等于（ ）
A．2565B．2575C．2585D．2595
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．若，，则
C．若，则数列是递增数列
D．若数列的前n项和，则
10．已知在处取得极大值1，则下列结论正确的是（ ）
A．B．对称中心为
C．D．
11．下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共77分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．等差数列中，，则______．
13．已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为______．
14．已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
（1）求的表达式和数列的通项公式；
（2）证明：
16．设数列，满足：，，且，对
成立．
（1）证明是等比数列．
（2）求和的通项公式．
17．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围．
18．雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：
将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
……
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kch snwflake）．
现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设，并作了如下探究：
根据小明的假设与思路，解答下列问题．
（1）填写表格最后一列，并写出与的关系式；
（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；
（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．
参考数据（，）
19．已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程．
（2）设分别为的极大值点和极小值点，记，；
①证明：直线与曲线交于另一个点C；
②在①的条件下，判断是否存在常数，使得，若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，
安宁河联盟2023-2024学年度下期高2022级期中联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
解析：因为，
，
，
，
，
2．【答案】C
解析：因为成等比数列，所以，即，
因为，所以，解得：（舍去）．
3．【答案】B
解析：因为，则所以
4．【答案】A
解析：由的定义域为，，
令，解得，
所以的单调递减区间为，
5．【答案】D
解析：因为①，当时，，
当时②，
①②得，所以，
当时也成立，所以；
6．【答案】C
解析：因为函数，，且是递增数列，
则，解得．
7．【答案】D
解析：
8．【答案】D
解析：由，得，由，得；…
故是以5为首项，24为公差的等差数列的前15项和．
所以
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（答案有三个，选对一个得2分，选对2个得4分，全选对得6分，答案有二个，选对一个得2分，全选对得6分）
9．【答案】AC
解析：由数列是等比数列，知：在A中，，是常数，数列是等比数列，故A正确；在B中，若，，则，故B错误；在C中，若，则，数列是递增数列，故C正确；在D中，若数列的前n项和，则，，，，，成等比数列，，，解得，故D错误．
10．【答案】ABD
解析：由题意可得，
且是函数的极大值点，即，可得，
又极大值为1，所以，解得或；
当时，，此时，
时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去，故C错误；
当时，，此时，
时，，时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
此时函数在处取得极大值，符合题意，
所以，，即，所以A正确，
此时，所以对称中心为，B正确，即D正确．
11．【答案】ABD
解析：对于A选项，设，，
由切线放缩得，故，即
对于B选项，设，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，故
对于C选项，因为任意，，所以
对于D选项，与结合图形可知，当时，，所以
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】20
解析：因为等差数列中，，所以，
所以，
所以．
13．【答案】
解析：由题意得的定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在递减区间，即在区间上能成立，
即，设，，开口向上，对称轴为，
所以当时，单调递增，所以，
所以，则．
14．【答案】
解析：令，则，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故当时函数有最小值．令，则所求等价于有三个不同实根．
当时，不满足，舍去．
当时，要使得方程有三个根，则，而，不满足，舍去．
故，，设
则有，，即，解得
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解析：（1）因是以1为首项1为公差为的等差数列，
因此，即，
当时，，
经检验，满足上式，
所以的通项公式是
（2）由（1）知：
16．解析：（1）移项得到，
相加得
所以
因为，所以是首项为5，公比为的等比数列．
（2）根据（1）的结论，得到，
又因为，所以对成立
所以，对成立
所以通项公式为和
17．解析：（1）因为，
所以
①当时，，在上单调递增；
②当时，由得或，由得，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
③当时，由得或，由得，
所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
（2）由（1）可知①当时，，
在上单调递增，此时在上的最大值为；
②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值只有可能是或，
因为在上的最大值为，
所以即可，则
③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；
在上的最大值可能是或，
因为在上的最大值为，
所以即可，则
由①②③得，
18．【解析】
（1）图形、、…、、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为；
从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为；
从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是
所以，即
（2）当时，
又因为，符合上式，
所以
（3）由，得，则，
所以，故，
由，，故，
又因为，所以，
所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于．
19．解析：（1）当时，，故，所以
当时，，所以在处的切线方程是，
即
（2）
令得，
①直线的方程为，即
由
得
设，则
令得
当时，；当时，
所以在单调递减，单调递增
因为，，
所以有且仅有2个零点，，其中，
所以方程的集解为，
即直线与曲线交于另一点C，且C的横坐标为
②由①得，即
假设存在常数，使得，则，
所以，代入可得
设，则
令，得．
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
因为，，
所以存在唯一的，使得，
此时
常数，使得，且…
边数
3
12
48
192
…
从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数
3
12
48
…
从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积
…
…
边数
3
12
48
192
…
从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数
3
12
48
…
从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积
…