山东省聊城市阳谷县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．试题由选择题与非选择题两部分组成．共150分．考试时间130分钟．
2．将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置．
3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．考试结束，只交答题卡．
愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷．
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列四个图形中，与互为内错角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了内错角，熟练掌握内错角的定义是解题的关键．根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角逐一判断即可．
【详解】解：A．与不是内错角，不符合题意，选项错误；
B．与不是内错角，不符合题意，选项错误；
C．与是内错角，符合题意，选项正确；
D．与不是内错角，不符合题意，选项错误，
故选：C．
2. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的特点判断即可．主要从3个方面来判断：①两个方程都是整式方程；②含有2个未知数；③含未知数的项的次数是1次．
【详解】解：A、有3个未知数，不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B、有2个未知数，但是最高次数是2，不是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、有两个未知数，方程的次数是1次，所以是二元一次方程组，故C符合题意；
D、有两个未知数，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组定义．有几个方程组成的一组方程叫做方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
3. 如图所示，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的关系一定是（ ）

A. 相等B. 互余C. 互补D. 互为对顶角
【答案】B
【解析】
【分析】由对顶角相等，得，根据垂直的定义求解；
【详解】解：如图，，
∵，
∴.
∴与互余．
故选：B
【点睛】本题考查互余的定义，垂直的定义，对顶角相等；由图形观察到角之间的位置关系是解题的关键．
4. 如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为（ ）

A. 7mB. 6mC. mD. 4m
【答案】D
【解析】
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点P到直线的距离小于．
故选：D．
【点睛】此题考查了点到直线的距离、垂线段最短等知识，熟知垂线段最短是解题的关键．
5. 如图，若，，那么等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质；依据平行线的性质，结合，可分别得到，，再根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故选：C．
6. 如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（ ）

A 始终不变B. 向右移动变小
C. 向左移动变小D. 向左移动先变小，再变大
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的知识；根据平行线间的距离处处相等可得点P到的距离不变，因此三角形的面积不变．
【详解】∵直线，点P是直线上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到直线的距离不变，
∵的底不变，
∴的高不变，面积也不变，
故选：A．
7. 观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（ ）
A. ，B. ，7C. 2，D. 2，7
【答案】A
【解析】
【分析】本题属于规律探索题，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，，，
，，
，或，，
a，b的值可能分别是，．
故选：A．
8. 如图，能推断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定，“同位角相等，两直线平行”，“同旁内角互补两直线平行”，“内错角相等两直线平行”，直接根据判定定理判定即可．
【详解】解：A、∵，
∴，不能推出；
B、，
∴，故本选项B正确；
C、∵，
∴，
∴，不能推出；
D、∵，
∴，不能推出；
故选：B．
9. 二元一次方程的非负整数解有（ ）组
A. 4B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先用的代数式表示出，再求出非负整数解即可．
【详解】解：，
，
，
所以负的非负整数解是：，，，共3组，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能用的代数式表示出是解此题的关键．
10. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便．
先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【详解】解：∵；
；
．
则．
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，内错角相等得到，即可得到的度数．
【详解】解：如图，

由题意得：，，
，
，
故答案为：．
12. 将转化为度的形式，即：_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了角度间的换算，先把分除以，再加上整数部分即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
13. 已知，且比大3，求值______．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，首先将等式的左边进行化简，再根据底数相等指数相等，列方程求解即可．
【详解】解：原式可化为： ，
所以可得： ，
因为m比n大3，可得： ，
所以可得： ，
解得： ，
所以，
故答案为40．
14. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数之和等于0，则每一个非负数都等于0，可求出a，b的值，再计算即可．
【详解】解∶∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为∶ ．
15. 若，代数式的值为 ___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得，，，代入代数式，即可得出答案．
【详解】解：，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值的问题，根据题意推出，，代入所求式子是解题关键．
16. 已知 1 的两边分别平行于 2 的两边，若 1  40°，则 2 的度数为__．
【答案】40°或140°
【解析】
【分析】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. 根据题意, ∠1=∠2或∠1和∠2互补.
【详解】解:根据题意,得 ∠1=∠2=40°或∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
故答案为40°或140°.
【点睛】本题考查了平行线的性质，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
三、解答题（本题共8小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知一个角比它的余角的3倍多，求这个角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了余角的定义，一元一次方程的应用，设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为，再由这个角比它的余角的3倍多列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为．
18. （1）；
（2）
（3）已知，，求的值；
（4）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）8；（3）10；（4）900
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算、实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则、多项式乘以多项式法则及实数混合运算法则．
（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可；
（2）根据零指数幂、负指数幂法则、绝对值性质计算后合并即可；
（3）逆用同底数幂的乘法运算法则，先求出，即可求出结果；
（4）逆用幂的乘方运算法则，逆用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3），，
，
；
（4）．
19. 解方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组是解题的关键，
（1）先化简，后利用加减法消元法求解即可；
（2）先把②去分母，然后利用加减法消元法求解即可；
【小问1详解】
解：，
化简方程组，得：，
由得：，
解得：，
把代入①，解得：
方程组的解是；
小问2详解】
，
化简方程组，得：，
由得：，
解得：，
把代入①，解得：
方程组的解是
20. 如图，点分别在上，于点，，，
求证：．请填空．
证明：（已知）
（______）
又（已知）
______（______）
（______）
（______）
又（平角的定义）
（______）
又（已知）
（______）
______（内错角相等，两直线平行）
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；同角的余角相等；
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可．
【详解】证明：（已知）
（垂直的定义）
又（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（等量代换）
又（平角的定义）
（）
又（已知）
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；同角的余角相等；．
21. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
【答案】李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度
【解析】
【分析】设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，
根据题意，得，
解得，，
答：李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度．
22. 如图，某中学校园内有一个长为米，宽为米的长方形小广场，学校计划在中间留一块边长为米的正方形场地修建一座雕像，并将空余场地（阴影部分）进行绿化．求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示）
【答案】绿化的面积为平方米
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，多项式乘以多项式，完全平方公式．理解题意并正确的列代数式是解题的关键．
由题意得，绿化面积为，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，绿化面积为

．
答：绿化的面积为平方米．
23. 把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．
（1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ；
（2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？
（3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．
【答案】（1）180°；（2）180°；（3）60°．
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据OB平分∠COD得出∠BOC及∠AOC的度数，进而可得出结论；
（2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；
（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC，根据∠BOC的余角的4倍等于∠AOD即可得出结论．
解：（1）∵OB平分∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=45°．
∵∠AOC+∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．
故答案为180°；
（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；
（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOC．
∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC），
∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC），
∴∠BOC=60°．
考点：余角和补角；角平分线的定义．
24. 【模型发现】
某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪踣模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论；
【运用】
（2）如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由；
【延伸】
（3）如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明）
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，审清题意、明确各角的关系是解题的关键．
（1）如图（1）：过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图（2）：过M作，过N作，则；由可得，即；再根据平行线的性质、角的和差可得①、②，再进行运算化简即可；
（3）利用 (1) 的数量关系、角平分线的定义、三角形的内角和定理及角的和差关系进行分析推理即可解答．
【小问1详解】
证明：如图（1）：过作，则，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图（2）：过M作，过N作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴①，
同理：②，
∵，
∴，
∴可得：，
∴，
∴，即．
【小问3详解】
解：、分别平分和，
∴，，
，
∴由（1）可知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴
，
．