甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了多项选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.已知,则等于（ ）
A.B.C.D.
2.样本数据16,20,21,24,22,14,18,28的分位数为（ ）
A.16B.17C.23D.24
3.若,且,则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
4.已知是角的终边上一点,则（ ）
A.B.C.D.
5.某市为了解全市环境治理情况,对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排,并把污染情况各类指标的得分综合折算成准分（最高为100分),统计并制成如图所示的直方图,则这次摸排中标准分不低于75分的企业数为（ ）
A.30B.60C.70D.130
6.已知的外接圆半径为,则的面积为（ ）
A.B.C.D.
7.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与,测得,并在点测得塔顶的仰角为,则塔高AB等于（ ）
A.B.C.D.
8.如图,在中,为CD上一点,且满足,若,,则的值为（ ）
A.-3B.3C.D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。)
9.人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标,常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图,据此进行分析,则（ ）
A.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
10.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A.已知均为非零向量,若,则存在唯一实数,使得
B.在中,若,则点为BC边上的中点
C.已知均为非零向量,若,则
D.若且,则
11.如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴,分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为反射坐标系.在反射坐标系中,若,则把有序数对称为向量的反射坐标,记为.在的反射坐标系中,,其中正确的是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分。)
12.已知,则向量在向量方向上的投影为__________.
13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,a,b,12,14,18,20,且总体的平均值为10.则的最小值为__________.
14.古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示,即,设为正五边形的一个内角,则__________.
四、解答题(本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分)已知与的夹角为.
(1)求;
(2)当为何值时，.
16.(15分)的内角的对边分别为已知.
（1）若,求的面积;
（2）若,求.
17.(15分)某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况,随机访问名学生,并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分）,根据得分将他们的成绩分成,六组,制成如图所示的频率分布直方图,其中成绩在的学生人数为30人.
(1)求a,n的值;
(2)估计这n名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替)和中位数.
18.(17分)已知函数,且函数的最小正周期为.
(1)求的解析式,并求出的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,求函数的最大值及取得最大值时的取值集合.
19.(17分)在某片海域上,一艘海上护卫舰位于点处,一艘货轮在点东偏北方向的点处行驶着,通过雷达监测,发现在点北偏东方向且距离点A24海里处的点处出现一艘海盗船,此时海盗船与货轮相距海里,且护卫舰距离货轮比距离海盗船更近.
(1)求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离;
(2)护卫舰为确保货轮的安全,护卫舰开始以海里/小时的速度追击海盗船,与此同时,海盗船开始以20海里/小时的速度沿着北偏西方向逃窜,求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向.
参考答案
一、二选择题:
三、填空题:
12.13.14.
四、解答题
15（1）解：因为与的夹角为,
则,
所以,.
（2）解:因为,则,解得.
16.（1）由余弦定理可得,
的面积;
（2）[方法一]:多角换一角
[方法二]:正弦角化边
由正弦定理及得.故.
由,得.
又由余弦定理得,所以
,解得.
所以.
17.(1)由题意可得,,
解得.
(2)平均数为.
因为，
所以中位数在之间,设中位数为,
则,解得.
18.
由函数的最小正周期为,则,
故,
令,解得,
故的单调递增区间为.
(2),
则的最大值为2,
此时有,即,
故,解得,
所以当取得最大值时的取值集合为.
19.（1）由题意可知,
由正弦定理可得,则,
所以或.若,则,不符合题意,
所以,海里,故发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为海里.
(2)如图,设护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为小时,且追到时位于点.
则.由余弦定理可得,
,整理可得,解得或-0.6(舍去),此时(海里),(海里),
则,
故护卫舰的最佳追击方向为正北方向,能追击到海盗船的最短时长为1.2小时.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
B
B
A
D
D
C
ACD
ABC
AD