湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

这是一份湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，将答题卡上交，已知，则下列描述正确的是等内容，欢迎下载使用。

班级：_________ 姓名：_________ 准考证号：_________
（本试卷19题，考试用时120分钟，全卷满分150分）
注意事项：
1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求得．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（ ）
A．2.6B．2.3C．1.8D．1.5
4．已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．6
5．是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（ ）
A．2B．C．D．
6．井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（ ）
A．144B．120C．96D．90
7．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
8．已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A．等差数列，若，则，其中
B．等比数列，若，则，其中
C．若等差数列，则成等差数列
D．若等比数列，则成等比数列
10．已知，则下列描述正确的是（ ）
A．B．除以5所得的余数是1
C．中最小为D．
11．正方体，棱长为2，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小值为
B．当与面所成角为时，则点的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，过三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量，且，则_________．
13．长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为_________．
14．已知是正项数列，其前项的和为，且满足表示不超过的最大整数，若恒成立，则的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，已知为圆柱底面圆的直径，为下圆周上的动点，为圆柱母线．
（1）证明：平面平面；
（2）若点到平面的距离为，四棱雉的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
16．（15分）已知．且，函数的最小正周期为．
（1）求函数的解析式与单调递增区间；
（2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长．
17．（15分）如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由．
18．（17分）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量．
（1）证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数；
（ⅱ）随机变量的数学期望；
（2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．
设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位）
（2）设，证明：；
（3）证明：（为奇数）．
参考答案
1．【答案】D
【解析】由题可知，所以有．
2．【答案】B
【解析】为纯虚数，故，所以．
3．【答案】A
【解析】将代入回归直线方程可得．
4．【答案】C
【解析】因为，所以有：．
5．【答案】D
【解析】由题可知圆心的坐标为，半径为，直线恒过定点．故圆心到直线的最大距离为，圆上的动点到直线的最大距离为．
6．【答案】B
【解析】当棋盘中恰好有5颗棋子时游戏结束，则说明小明的三颗棋子连成了一条直线，共有8种情况．（横三种，纵三种，斜两种），棋盘上剩余6个空格，其中两个空格要放小红的白棋，共有种．故此时棋子的分布情况共有种．
7．【答案】B
【解析】如图所示，由双曲线的定义可知：，所以，又有，因为，
即手，
所以为等边三角形，由余弦定理可得：
，解得．
8．【答案】A
【解析】因为，设切点坐标为，则切线过点：，方程有两不同解，令，易知时，单调递增不合理，故．
当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值；要使有两解，则，即，令在上单调递增，又因为，所以，又因为为方程的解，故有，代入可得，取值范围为．
9．【答案】AC
【解析】对于A，易知正确；对于B，当时，成立；但当为常数列时，反之不成立；
对于，
故，所以成立；
对于D，当时，，故不正确．
10．【答案】BC
【解析】对于A，当时，，而，故；
对于B，，除最后一项外，其余项都可以被5整除，故余数为1；
对于C，二项式系数，可知奇数项小于零，偶数项大于零，则最小必然在奇数项中产生，，所以最小的为；
对于D，，
则有．
11．【答案】ABD
【解析】对于A，如图1所示，当时，点在上运动，在等边中，的最小值为边上的高，故最小值为；
对于B，如图2所示，当与平面所成角为时，易知，所以为与平面所成角，所以，故的轨迹为，故长度为；
图1 图2
对于C，如图3，当时，在线段上运动，对于，将平面与平面展开并绕旋转到同一平面，如图4所示：此时在三点共线时取最小值，为与的交点，过点作的垂线，垂足为点，此时；
图3 图4 图5
对于D，如图5所示，点在正方形的边与中点连线上运动，将截面补充完整，则截面为面，由对称性可得四边形为平行四边形，故，其中为到的距离．当在或处时，此时到的距离最大为；当在中点或中点时，有最小距离
，故截面面积的取值范围是．
12．【答案】0.4
【解析】．
13．【答案】0.6
【解析】设所求的概率为，由全概率公式得，，得．
14．【答案】
【解析】，得时，，变形得，所以有；
①当为正整数时，，此时；
②当为正整数时，，此时恒成立；当时，有最大值，此时恒成立，为正整数，故，综上的取值范围是．
15．【答案】见解析
【解析】（1）因为为直径，所以，因为为母线，
所以平面，又因为，所以平面，
而平面，所以平面平面
（2）作，因为点到平面的距离为，
所以到的距离为，即，
因为，所以在中，易知，
在中，，
所以，
设圆柱的母线长为，则四棱锥体积，得，
在底面内以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系．
则，
设平面的法向量为，则
，即，故可以为，
设平面的法向量为，则
，即，故可以为，
因此，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16．【答案】见解析
【解析】（1）由题可得，
所以，
因为的周期为，故，
单调递增区间：，
故单调递增区间为；
（2）因为且为三角形内角，故或，
又因为三角形为锐角三角形，故，
因为，
所以，
即，
由余弦定理可得，即，
代入，可得，
解得或（舍去），
故的周长为．
17．【答案】见解析
【解析】（1）设点的坐标为，点，由题意可知，
则由题可得，即，
点在圆上运动，，
即的轨迹方程为
（2）易知直线的斜率不为0，设方程为，
由，得，
设，则，
直线的方程，得，
直线的方程，得，
由此得，，
又因为，所以，
所以存在实数，使得．
18．【答案】见解析
【解析】（1）（ⅰ），
，
（ⅱ），
令，则
（2）易知，
又因为随机变量，所以，
，若时，其概率最大，
则，得，
得，
所以，其数学期望小于最有可能发生得次数．
19．【答案】见解析
【解析】（1）由泰勒公式知，①
于是有；
（2）由上得，②
由①②得，
，
所以，
即；
（3）当为偶数时，为奇数时，．
故原式可化为，③
由上题可知，
故有，
③式．