2024年江苏省无锡市惠山区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚．
4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. 的相反数是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可．
【详解】解：的相反数是3，
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方和同底数幂乘法等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．先根据一元二次方程解的定义，把代入关于的一元二次方程得关于的方程，解方程即可．
【详解】解：把代入关于的一元二次方程得：
，
，
故选：C
5. 小明沿着坡角为的斜坡向上走了，则他升高了（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设他升高了米，根据坡角的概念，直角三角形中所对直角边等于斜边一半的性质计算即可，掌握坡角的概念是解题的关键．
【详解】解：设他升高了米，
∵斜坡向上走了，
∴根据所对直角边等于斜边一半，则，
故选：．
6. 已知排球队6名场上队员的身高（单位：）分别是：181，185，188，190，194，196，现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，换人前后，下列统计量中不发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、方差、极差的定义，解题的关键就是掌握平均数、中位数、方差、极差的定义．
【详解】解：A选项：原来平均数：，
替换后平均数：，平均数变大了，不符合题意；
B选项：原来的：181，185，188，190，194，196，
中位数：，
替换后的：185，186，188，190，193，196，
中位数：，中位数不变，符合题意；
C选项：原来的方差：
，
替换后的方差：
，
方差变小，不符合题意；
D选项：替换前的极差为，替换后的极差为，极差变小，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有醇酒瓶，薄酒瓶，根据题意可列方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
【详解】设有醇酒瓶，薄酒瓶，
根据题意得：，
故选：．
9. 如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，过作于点交于点，过作于点交于点，根据正方形的性质可证明，，得，，再由勾股定理得即可求解；熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作于点交于点，过作于点交于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴,
，
，
当，有最小值，即当变化时，正方形面积的最小值为，
故选：．
10. 已知二次函数图像的对称轴为直线，该二次函数图像上存在两点，若对于，始终有，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
∵二次函数图象上存在两点，若对于，始终有，
∴点在对称轴的左侧，如图，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置．）
11. 若有意义，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 分解因式：a3－a=___________
【答案】
【解析】
【详解】解：a3－a
=a(a2-1)
=
故答案为：
13. 据统计，2024年3月24日无锡马拉松报名人数约265000人，刷新了中国马拉松报名人数记录，将数据“265000”用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时，理解“一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
．
故答案：．
14. 一个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为9，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出底面圆的周长，然后根据扇形的面积公式：即可求出该圆锥的侧面积．
【详解】解：底面圆的周长为，即圆锥的侧面展开后的弧长为，
∵母线长为9，
∴圆锥的侧面展开后的半径为9，
∴圆锥的侧面积
故答案为：
【点睛】此题考查的是求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式：是解决此题的关键．
15. 如图，用吸管吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐的上、下底面所形成的角分别是和，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由平角的定义得到，再由两直线平行，同位角相等可得．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 如图是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律写出第100种化合物的分子式________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，根据所给化合物的结构分子式，发现C和H个数的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由所给分子式可知，
第1种化合物的分子式中C的个数为：1，H的个数为；
第2种化合物的分子式中C的个数为：2，H的个数为；
第3种化合物的分子式中C的个数为：3，H的个数为；
…，
所以第n种化合物的分子式中C的个数为：n，H的个数为个．
当时，
第100种化合物的分子式为：．
故答案为：．
17. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将绕点B顺时针旋转某个角度后，点A落在y轴的正半轴上，此时点C恰好落在反比例函数（k为常数，且）的图像上，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求反比例函数解析式，设点A的对应点E坐标为，点C的对应点F坐标为，利用勾股定理求出，，，由旋转的性质可得；据此可得，解方程求出，进而可得，解方程可得，则．
【详解】解：设点A的对应点E坐标为，点C的对应点F坐标为，
∵点，点，点，
∴，，，
由旋转的性质可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接．
（1）若，则的长为________；
（2）若点F为的内心，则的长为________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】（1）由翻折的性质可得，再利用矩形的性质和勾股定理求出，则；
（2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G，由矩形的性质得到；由点F为的内心，得到，，则是等腰直角三角形，可得；证明，即可证明，得到，进一步证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）由翻折的性质可得，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点F为的内心，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
设，则，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形内心的定义，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的混合计算：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可；
（2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）先将分式方程两边同时乘以，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
（）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可；
本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：（），
，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为；
（）
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
21. 如图，点C在线段上，，，，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；
（1）由即可得证；
（2）由全等三角形的性质得，，即可求解；
掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键．
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
（）；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
22. 寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于月日以视频课的形式开播．某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为，，，，五个组别，其中组的数据分别为：，，，，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组观看视频课时长频数分布表
各组观看视频课的时长扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ；
（2）组数据的众数是 ；扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是 ；
（3）若该校有名学生，估计该校学生观看视频课时长超过的人数．
【答案】（1）；
（2），；
（3）估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人．
【解析】
【分析】（）利用样本估计总体计算即可；
（）利用众数的定义计算，利用扇形的知识计算求解可得到结论；
（）利用项目的人数除以其所占的百分比即可得到结论，
此题考查了扇形统计图，频数分布表，读懂统计图，看懂分布表，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵组占，频数为，
∴本次调查的样本容量是，
故答案为：；
【小问2详解】
∵组的数据分别为：，，，，，出现次数最多，
∴众数，
组的数据有（人）；
∴扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是，
故答案：，；
【小问3详解】
（人），
答：估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人．
23. 一个不透明的口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外其它完全相同．
（1）从中随机摸出个球是白球的概率为 ．
（2）从中随机摸出个球，记下颜色后放回，摇匀后再随机摸出个球，记下颜色．求两次摸出的球颜色相同的概率．（请用画树状图或列表等方法给出分析过程）
【答案】（1）；
（2），过程见解析．
【解析】
【分析】（）根据概率计算公式计算即可；
（）根据题意画树状图，再根据概率计算公式计算即可；
本题考查概率计算公式，画树状图或列表得出所有的情况，找出符合条件的情况数是解题的关键．
【小问1详解】
从中随机摸出个球是白球的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图：
一共有种情况，两次摸出的球颜色相同共有种，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
24. 在三角形纸片中，仅折叠该纸片两次，就能分别在上得到点D、E、F，使四边形为菱形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，则菱形的面积为 ．（如需画草图，请使用试题中的图2）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三线合一定理等等：
（1）如图所示，作的角平分线交于F，作垂直平分线分别交于D、E，则四边形即为所求；
（2）分别过点A、F作的垂线，垂足分别为G、K，交于H，则，由勾股定理求出，证明，得到，即，解得，，则，据此可得，
【小问1详解】
解：如图所示，作的角平分线交于F，作垂直平分线分别交于D、E，则四边形即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，分别过点A、F作垂线，垂足分别为G、K，交于H，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
25. 如图，在锐角中，以为直径的交于点，过点作，交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，的面积与的面积之比为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）易证，，从而可知，即 ；
（）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元
（2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，
（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
【小问2详解】
解：设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，根据题意得：
，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，均为正整数，
∴m的最小值为2，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（辆）．
答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
27. 如图1，矩形中，，，点P为线段上一点，点E为线段一点，取线段的中点F，以，为邻边向上作，、所在直线分别交于M、N．设．
（1）当点G落在上时（如图2），m值为 ．
（2）若P为的中点，且点G到直线的距离为1时，求m的值．
（3）设的面积为s，求s与m的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，即可求解；
（2）过作交于，过作交于，由等腰三角形的判定得
，由勾股定理得，，设，则，可求出，，， 由相似的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，由平行四边形的性质可求出 ，，分别代入比例式，即可求解；
（3）过作交于，过作交于，设，，，由（2）同理可得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，由（2）得，可求出、，即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
，，即：，
，
，
，
为的中点，
，
，
；
故答案：；
【小问2详解】
解：如图，过作交于，过作交于，
，
四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
，
由（1）同理可得：
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得：，
故m的值为；
【小问3详解】
解：如图，过作交于，过作交于，
设，
，
，
，
由（2）同理可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）得：
，
，
，
解得：，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练掌握相关的判定方法及性质，能设恰当的辅助未知数，用方程思想求解是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．过点且平行于轴的直线交该二次函数图象于点，交线段于点．
（1）求点和点的坐标；
（2）求证：；
（3）若点关于的对称点恰好落在直线上，求此时二次函数的表达式．
【答案】（1），；
（2）证明见解析； （3）抛物线的表达式为：．
【解析】
【分析】（）令即可求解；
（）证明点在的垂直平分线上，即可求解；
（）求出直线的表达式为，得到，再根据中点坐标即可求解；
本题考查了二次函数综合运用，一次函数的性质、垂直平分线的性质，解一元二次方程等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
令，解得：或，
即点的坐标分别为：，；
【小问2详解】
证明：过点作于点，
当时，，当时，，即点的坐标分别为：，，
由点，的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即点，
由点的纵坐标知，点在的垂直平分线上，即平分，
∵轴，
∴，
即；
【小问3详解】
由（）（）知，点的坐标分别为：，，，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
设的交于点，与轴交于点，过作于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴点，
设直线的表达式为：，
∴，解得：，
则直线的表达式为：，
联立直线和的表达式得：，
解得：，
由中点坐标公式得：，
解得：(舍去正值)，
则抛物线的表达式为：．组别
时间
频数