福建省泉州市安溪县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握求解的方法是关键．根据解一元一次方程的方法解答即可．
【详解】解：
故选：A．
2. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据不等式的基本性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可判定．
【详解】解：x﹣2≥0，
x≥2，
在数轴上表示不等式的解集为：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是求出不等式的解集，难度适中．
3. 若，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．各项利用不等式的基本性质判断即可得到结果．
【详解】解：A.、，
，故该选项正确，不符合题意；
B、，
，故该选项正确，不符合题意；
C、，
，故该选项正确，不符合题意；
D、，
，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
4. 在下列方程的变形中，正确的是（ ）
A. 由，得B. 由，得
C. 由，得D. 由得
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查方程的计算，涉及等式的性质，根据等式性质移项，去分母等的方法变式即可．
【详解】A、由，得，此选项正确；
B、由得，此选项错误；
C、由得，此选项错误；
D、由得，此选项错误；
故选：A．
5. 解方程 ，去分母正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先去分母，再去括号即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以6去分母得：，
去括号得，，
故选：D．
6. 已知是不等式的一个解，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式，能得出关于的不等式组的解此题的关键．先计算出不等式的解集，根据是不等式的一个解，得出关于的不等式组，从而得到答案．
【详解】解：，
解得：，
是不等式的一个解，
，
，
则的值可以是，
故选：D．
7. 若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案．
【详解】解：，
解得：，
不等式组有解，
，
故选：C．
8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古诗：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．若设绳索长尺，则根据题意可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设绳索长尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设绳索长尺，则竿长尺，
根据题意得：，
故选：B．
9. 某工艺品店推出每件价格分别为元、元、元三种工艺品，小安用元买了这三种工艺品共件，则单价为元的数量比单价为元的数量多（ ）
A. 件B. 件C. 件D. 件
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系．设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件，根据题意列出二元一次方程，进而得到，代入即可求解．
【详解】解：设购买单价为元的工艺品件，购买单价为元的工艺品件，则购买单价为元的工艺品件，
根据题意得：，
整理得：，
，
，
，
故选：B．
10. 已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质可得，且，据此求出，再解对应的不等式即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集是，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置．
11. 已知，用含的代数式表示，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．将移到方程的右边即可．
【详解】解：，
移项得：，
故答案为：．
12. 的2倍与5的差是负数，用不等式表示为___________．
【答案】2x-5＜0
【解析】
【分析】首先表示出x的2倍与5的差为2x-5，再表示负数是：＜0，故可得不等式2x-5＜0．
【详解】解：由题意得：2x-5＜0．
故答案为：2x-5＜0．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“负数”，正确选择不等号．
13. 若关于x的方程 是一元一次方程， 则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x方程 是一元一次方程
∴，
∴，
故答案为：．
14. 是方程的解，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据进行求解即可．
【详解】解；∵是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图,“□”中所填的数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方程组的应用，解题的关键是理解题意．设，，，，根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：设，，，，
根据题意得：，
得：，
得：，
将⑥代入⑤中得：，
解得：，
故答案为：．
16. 某一天小安从下午3时步行到晚上8时，他先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地，若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，则这一天小安共步行_______千米．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设小安走平路的时间为x小时，上山的时间为y小时，根据去山上的路程和从山上回到出发点的路程相同列出方程推出，据此可得答案．
【详解】解：设小安走平路的时间为x小时，上山的时间为y小时，
由题意得，，
整理得，
∴这一天小安共步行千米，
故答案为：20．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：.
【答案】x=5
【解析】
【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
【详解】解：去括号得：6x-3=5x+2，
移项合并得：x=5；
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 解方程组： .
【答案】
【解析】
【详解】分析: 用加减消元法求出方程组的解．
详解:
①+②，得3x=9，
∴x=3，把x=3代入②，得3-y=5，
∴y=-2，
∴原方程组的解是.
点睛: 此题主要考查了二元一次方程组的解，掌握解方程组的方法是解题的关键.
19. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求各个不等式的解集，再找出其公共部分．
【详解】解：
解不等式①：
；
解不等式②：
；
不等式组的解集为：．
20. 解不等式：
解： ，得， ①
去括号，得， ②
移项，得， ③
合并同类项，得， ④
系数化1，得 ． ⑤
阅读以上解题过程并填空：
（1）请把第⑤步的解题过程补充完整： ；
（2）以上解题过程中，第①步的步骤是 ，第②步的依据是 ．
【答案】（1）
（2）去分母；乘法分配律
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式：
（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）观察可知，第①步的步骤是去分母，第②步的依据是乘法分配律．
【小问1详解】
解：
系数化为1得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：观察可知，第①步的步骤是去分母，第②步的依据是乘法分配律，
故答案为：去分母；乘法分配律．
21. 春节期间，除了贴对联、买年货、看春晚等传统习俗外，抢红包、扫福字等活动逐渐成为新习俗，线上红包为人们创造了新的感情沟通方式，通过参与抢红包等活动增进与亲人朋友的沟通．为了活跃气氛，让春节更有“味道”，铁铁同学在微信群发了一个“友谊地久天长”红包，总金额为15元，所发红包被随机分配给五个群员，所抢的五个红包金额如下图所示，现不知道小安和小溪所抢的金额，但知道小安比小溪多抢元．请算出小安和小溪所抢的红包金额各多少元？
【答案】小安和小溪所抢的红包金额各元，元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小安和小溪所抢的红包金额各x元，y元，根据红包总额为15元，安比小溪多抢元列出方程组求解即可．
【详解】解：设小安和小溪所抢的红包金额各x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：小安和小溪所抢的红包金额各元，元．
22. 已知关于，的二元一次方程组（为常数）．
（1）若，则 ；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）让二元一次方程组的两个式子相加，得到含有的式子，即可求解；
（2）让二元一次方程组的两个式子相减，得到含有的式子，进而得到关于的不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：，
得：
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
，
解：得：，
，
，
．
23. 对于两个不等式，若有个相同的整数使这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“级关联”．
（1）不等式和是“ 级关联”，请说明理由；
（2）若不等式和 是“级关联”，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了新定义：两个不等式是“级关联”，解题的关键是掌握不等式的性质和理解题意．
（1）先分别解出两个不等式，再表示出两个不等式的解集即可求解；
（2）先分别解出两个不等式，再根据题意即可求解．
【小问1详解】
解：由可得：，
由得：，
两个不等式的解集为，
有整数、、三个相同整数使这两个不等式同时成立，
不等式和是“级关联”，
故答案为：；
【小问2详解】
由得，
由得：，
两个不等式的解集为，
不等式和 “级关联”，
，
．
24. 某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共件，若甲种茶叶进价为每件元，乙种茶叶进价为每件元．已知件甲种茶叶和件乙种茶叶的售价共元；件甲种茶叶和件乙种茶叶的售价共元．
（1）求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元?
（2）该经销商计划用不超过元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的倍，则共有多少种进货方案?
（3）该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变，求的值．
【答案】（1）甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元
（2）共有种进货方案
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元，根据题意列方程组即可求解；
（2）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，根据题意列出；一元一次不等式组，即可求解；
（3）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，先分别求出甲、乙一件的利润，再求出总利润，根据“无论如何进货，销售总利润保持不变”，即可求解．
【小问1详解】
解：设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元，
依题意得：，
解得：，
甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元；
【小问2详解】
设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，
根据题意得：，
解得：，
又是整数，
可以取：、、，
共有种进货方案；
【小问3详解】
设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，
甲种茶叶单件的利润为：，
乙种茶叶单件的利润为：，
总利润为：，
无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变，
，
解得：．
25. 综合与实践
【问题情境】
我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ．
【实践探究】
但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下：
由，得
∵x，y是正整数，
也是正整数，
∴可用观察法，得 ② ；
∴原方程的正整数解为：③ ．
阅读以上材料，解决下列问题：
（1）请补充上述探究过程中①②③所缺的内容；
（2）一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数．
【答案】（1）；3或10； 或
（2）17
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程：
（1）①处求出方程的正整数解即可；②处满足是正整数，且要满足是正整数，据此可求出③处的答案；
（2）设这个正整数为m，（k为正整数），则，再由m与23的差是6的倍数，可设，据此可得，再保证是整数的前提下也要保证，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，且x、y都是正整数，
∴；
∵是正整数，
∴当时，，
当时，；
当时，，不符合题意；
∴原方程的正整数解为： 或；
故答案为：；3或10； 或
【小问2详解】
解：设这个正整数为m，（k为正整数），
∴，
∵m与23的差是6的倍数，
∴可设，
∴，
∴是整数，且要保证，
∴当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
∵k随n增大而增大，m随k增大而增大，
∴m的最小值即为17．