湖南省长沙市湖南师大附中教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示；
4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；
5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本试卷时量120分钟，满分120分．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下面一些车标图形中，能够通过基本图形平移得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移的不变性的性质是解答此题的关键．
根据图形平移的性质即可得出结论．
【详解】解：由图可知，A、B、D不能通过基本图形平移得到，C能够通过基本图形平移得到．
故选：C．
2. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根即可求出答案．
【详解】解：16的算术平方根为4，
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是解决问题的关键．
3. 下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程（组）的定义是解题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项分析即可．
【详解】解：A. ，是一元一次方程，不符合题意；
B. 不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意；
C. ，是二元一次方程，符合题意；
D. ，二元二次方程，不符合题意．
故选：C
4. 平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点，横坐标为正数，纵坐标为负数，
故点M在第四象限．
故选D．
5. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根，熟练掌握它们的定义是解题的关键．
分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可．
【详解】A．，正确；
B．，不正确，∵；
C．，不正确，∵等号左边是算术平方根，应等于3；
D．，不正确，∵等号左边是算术平方根，应等于4．
故选：A．
6. 若为实数，且，则的值为（ ）
A. 1B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值，正确解得的值是解题关键．根据非负数的性质解得的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
7. 平面直角坐标系中，点P位于x轴上且距y轴6个单位长度，则点P的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查点的坐标，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再分象限讨论即可得答案．
【详解】解：解：平面直角坐标系中，点P位于x轴上且距y轴6个单位长度，
则点P的坐标是或，
故选D．
8. 小明在解关于的二元一次方程组时，解得，则△和？代表的数分别是（ ）
A. 和3B. 3和C. 5和1D. 1和5
【答案】C
【解析】
【分析】把代入①解得，把，代入②得，，即可得到答案．
【详解】解：
把代入①得，，解得，
把，代入②得，，
则△和？代表的数分别是5和1，
故选：C
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，读懂题意准确计算是解题的关键．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 射线与射线表示同一条射线
B. 垂线段最短
C. 两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补
D. 如果，，那么
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了射线、垂线段、平行线的判定与性质、真命题，熟练掌握各判定与性质定理是解题关键．根据射线、垂线段、平行线的判定与性质逐项判定即可得．
【详解】解：A、射线与射线的端点不同，不是同一条射线，则此项是假命题，不符合题意；
B、垂线段最短，是真命题，符合题意；
C、两平行直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，则此项是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，如果，，那么，则此项是假命题，不符合题意；
故选：B．
10. 善思的雯雯发现英文大写字母“”中某一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再证明，易得，然后根据求解即可．
【详解】解：如下图，过点作，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在实数，2，中，最大的一个数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法和绝对值的化简，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握实数大小比较的方法．先化简，再根据实数大小比较的方法比较即可．
【详解】解：，根据实数比较大小的方法，可得：，
故实数其中最大的数是．
故答案为．
12. 若一个正数的平方根为和，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对平方根性质：正数有两个平方根，它们互为相反数．根据已知得出方程，求出即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. “潮平两岸阔，风正一帆悬”出自古诗《次北固山下》，船上与桅杆相连的杆子叫帆杆，如图，已知两帆杆、之间是平行的，桅杆与帆杆的夹角，则桅杆与帆杆的夹角的度数为_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据两直线平行同位角相等，求出的度数，然后根据邻补角的定义即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
14. 中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则列出的方程组是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，
由“如果每人出9元，则多了4元”，可得9x=y+4或y=9x-4，
由“如果每人出6元，则少了5元”，可得6x=y-5或y=6x+5
故可得方程组或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组．
15. 如图，将长方形纸片沿线段折叠到的位置，若，则的度数为______．
【答案】##80度
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质等知识点，由，求出，由折叠的性质可求出，四边形是长方形，得，进而即可求解，熟练掌握平行线的性质，折叠的性质并能够灵活运用是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
由翻折知，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 无人机在民用，军事方面都有出色表现．中国大疆无人机在商业市场上高歌猛进，国际上市场占有率达，连续8年销量全球第一．下图是一架大疆无人机在一次表演中飞行路径．如图，将无人机飞行的路径图置于正方形网格中，无人机从点O出发，先向上飞行1个单位，然后按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，第1次移到点，第二次移到点，第三次移到点，…，第n次移到点，若点O的坐标为，的坐标为，则点的坐标是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律题，解题的关键是理解题意找出规律解答问题．
先求出、、、、、、、的坐标，再得出坐标规律，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：、、、、、、、，
由此得出纵坐标规律：以1，1，2，2的顺序，每4个为一个循环，
，
点的纵坐标是1，
和的横坐标为1，和的横坐标为2，和的横坐标为3，
从开始每两个点的横坐标相同，
，
点的横坐标是1012，
点的坐标是，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到去绝对值、算术平方根和立方根以及乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方、立方根、算术平方根，再计算加法即可；
（2）先计算立方根、去绝对值、乘方，再计算加减法即可．
【小问1详解】
解·：原式．
【小问2详解】
解·：原式．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：，
将①代入②，得，
解得，
将代入①，得，
∴原方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
由①，可得 ③，
由②③，得，
解得，
将代入②式得，
解得，
∴原方程组的解为．
19. 请你补全证明过程或推理依据：
已知：如图，四边形，点E，F分别在边两方的延长线上，连接，若，．求证：．
证明：∵点E在的延长线上（已知），
∴_________（平角定义），
又∵（已知），
∴________（同角的补角相等），
又∵（已知），
∴_________（________），
∴（__________），
∴（_________）．
【答案】∠1；；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据同角的补角相等得到，再推出，得到，利用平行线的性质即可证明．
【详解】证明：∵点E在的延长线上（已知），
∴（平角定义），
又∵（已知），
∴（同角的补角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
20. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数估算，解二元一次方程组；
（1）先根据平方根和立方根的定义求出、，然后估算出的范围即可求出；
（2）根据（1）所求，结合平方根的定义求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得
解得
∵，
∴
【小问2详解】
当，，时，．
21. 如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．

（1）将沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移4个单位长度得到，请画出；
（2）求出四边形的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使得的面积为4？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）16
（3）存在，或．
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，坐标与图形，解题关键是要掌握平移图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）根据平移性质求解即可；
（2）利用平行四边形面积公式求解即可；
（3）设点P的坐标为，根据的面积为4列方程求解即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】

四边形的面积；
【小问3详解】
设点P的坐标为
∵的面积为4
∴
整理得，
解得或
∴点P的坐标为或．
22. 被现任华为董事会成员余承东评为“1000万内最好的”的问界，该车型中有一款增程版车型，汽车先通过车身电池中电力续航（续航：汽车持续行驶），亏电（电池中电量使用完）后会通过汽油发动机发电来为电池充电，再用电力续航，满电满油情况下可续航1400公里，因此具有更强的续航里程．问界增程版电池容量为40度，可在纯电模式下行驶180公里．亏电后通过汽油发电续航，100公里耗油升．2024年清明假期，张峰从长沙出发，驾驶满电满油的问界到距离380公里的湘西游玩三日两晚再回到长沙．当行驶280公里时，电费与油费共元；当行驶到达湘西时，电费与油费共元．
（1）求每度电的价格与每升油的价格；
（2）与张峰同行的李晓驾驶某品牌纯燃油车（车身不带电池），每100公里耗油升．根据景区规定：纯燃油车停车费25元/晚，而问界属新能源车，受国家扶持，景区免收停车费．请问张峰这次出游（说明：往返长沙，中途不充电、不加油）比李晓节省了多少费用？
【答案】（1）电费为元/度，油费8元/升
（2）节省了485．68元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）设电费为x元/度，油费y元/升，根据当行驶280公里时，电费与油费共元；当行驶到达湘西时，电费与油费共元列出方程组求解即可；
（2）分别求出两人的费用即可得到答案．
【小问1详解】
解：设电费为x元/度，油费y元/升，
则
解得
答：电费为元/度，油费8元/升．
【小问2详解】
解：（元），
答：这次张峰出游比李晓节省了元．
23. 知识链接：
光遇到平面镜会发生反射，如图①，经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，根据光的反射定律，反射角等于入射角．
解答问题：
自行车尾灯就是根据光的反射定律制造而成，光线无论从什么角度入射，入射光线经过两次反射后，最终的反射光线都会平行于入射光线射出，所以，在夜晚用手电筒照射尾灯，都会将光线反射到人眼，给人警示作用．如图②，是自行车尾灯的一个组成元件，由两块可反射光线的材料，组成，一束入射光线照射在上D处，经过两次反射后得到反射光线，，其中、为法线．

（1）若，求；
（2）猜想的度数，并证明你的猜想．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）根据平行线的性质可得，再根据反射角等于入射角即可得；
（2）先求出，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【小问1详解】
解：由反射角等于入射角得：，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：猜想，证明如下：
∵，，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
24. 阅读以下内容：已知实数x，y满足，求的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法：
甲同学：先解关于x，y的方程组解得，的值，再代入．
乙同学：先，可得，再可得．
李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题．
（1）已知方程组，则的值为_________；
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变；
（3）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本．
【答案】（1）7 （2）见解析
（3）155元
【解析】
【分析】本题考查了三元一次方程组和二元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．
（1）根据题意用即可得出答案；
（2）根据题意得，再即可得出答案；
（3）设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元，根据题意列出方程组，根据整体代换的思想可求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
得：；
【小问2详解】
解：方程组中，得，
得：，
则，
即无论a取何值，的值始终不变；
【小问3详解】
解：设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元，
依题意得：，
得：，
得：，
得：，
答：C盲盒成本为155元．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接．
（1）写出点的坐标：点C________，点D________；
（2）如图2，点P是射线上一点，连接，与的角平分线相交于点E，求证：；
（3）如图3，点P是射线上一点，点Q是射线上一点，连接，与的角平分线相交于点F，求的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）2
【解析】
【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标，横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减；
（2）设，，由平行线的性质可得，即，过点E作，根据两直线平行、内错角相等，可得，，进而可得；
（3）设，，，推出，根据推出，再根据三角形内角和定理用表示出，代入即可求解．
【小问1详解】
解：由平移方式可得点C的坐标为：，即，
点D的坐标为：，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：与的角平分线相交于点E，
设，，
由平移可得，
，即，
如图，过点E作，
，，
，
；
【小问3详解】
解：设，，，
，
，
，
根据平移可得，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，平移的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，角的和差关系等，能够综上应用上述知识点是解题的关键．