重庆市第七中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. 6C. 3D.
2. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（ ）

A. 1B. C. D.
3. 已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ）
A. ，
B. ，，且
C. ，，
D. ，，，
4. 某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字.该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是（ ）
A. 最B. 美C. 逆D. 行
5. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
6. 如图，在中，设，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若与垂直，则B. 若，则的值为
C. 若，则D. 若，则在方向上的投影向量坐标为
10. 已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是（ ）
A. 若复数，则其对应复平面上的点在第二象限
B. 若复数满足，则
C.
D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ）
A. 三棱锥的外接球表面积为
B. 动点的轨迹是一条线段
C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知一个圆锥底面圆的半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________．
13. 已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则_________．
14. 在中，角，，的对边分别为，，，若为钝角，，
，点是的重心，且，则______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 如图，矩形中，，，点为的中点，且．

（1）试用和表示；
（2）若，求的值．
16. 从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
在中，分别是角的对边，若__________.
（1）求；
（2）若且，求面积.
17. 如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上点，且，为侧棱的中点．
（1）求正四棱锥的表面积；
（2）证明：平面；
（3）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
18. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c．已知，
．
（1）求角B；
（2）若M是△ABC内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若D是△ABC中AC上的一点，且满足，求的取值范围．
19. 在中，角A，，对应的边分别为，，，．
（1）求角A；
（2）法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLuisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件；
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件；
③在（1）条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值．