浙江省宁波市镇海区镇海区仁爱中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个答案正确）
1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程满足的条件：为整式方程；只含有2个未知数；未知数的项的最高次数是1，逐一判断即可，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程．
【详解】解：A、该方程符合二元一次方程的定义，此选项符合题意；
B、该式子不是等式，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意；
C、该方程中含有未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，此选项不符合题意；
故选：A．
2. 计算的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接运用同底数幂乘法公式计算即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，掌握并灵活利用是解答本题的关键．
3. 石墨在我国储能丰富，我国在石墨烯研究上具有独特的优势．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是．数据0.0000098用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列从左到右变形，是分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，不是因式分解，故A不符合题意，
，不是因式分解，故B不符合题意，
，不是因式分解，故C不符合题意，
，是因式分解，故D符合题意，
故选：D．
5. 如图，的内错角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了内错角、同旁内角、同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫内错角．
根据内错角、同旁内角、同位角的定义确定各角间的关系，据此即可解答．
【详解】解：如图：根据内错角、同旁内角、同位角的定义可得：的内错角是，的同旁内角是，的同位角是．
故选B．
6. 已知，则代数式的值为（ ）
A. 30B. 36C. 42D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值．
【详解】解：
，
故选：B．
7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，由平行线的性质可得，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由平行线的性质可得，，即，
∴，
故选：C．
8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组．
【详解】根据题意，得．
故选：C．
9. 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组，
可得，
即，
故k的值为，
故选：A．
10. 如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式与几何图形，延长交于点，得到，即四边形的面积为，再得到，即四边形的面积为，再利用得到四边形的面积为4，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点，
两个大小相同的小正方形及，
，
，
即，
四边形的面积等于，
同理可得，
，
四边形的面积等于，
，
，
即，
，
，
四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及，
，，
，
即，
正方形的面积为4，
长方形的面积已知，
已知，
故答案为：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：﹣3a•（4b）＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的法则的掌握．
12. 已知方程，用关于x的代数式表示y，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，把x看作已知数求出y即可，把x看作已知数求出是解本题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
13. 如图，已知，直线交得与，若，则度数为______．
【答案】##55度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据对顶角相等可得，再利用平行线的性质，即可解答，熟知两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
解得，
故答案为：．
14. 已知实数a，b满足，，则的值为______．
【答案】497
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形进行计算，根据题意得出，再将变形为，代入求解即可．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：497．
15. 如图，点E，F为长方形边上两点，为锐角，将长方形沿翻折，点A，B分别落在，处，交边于点G，若图中所有钝角中最大的度数为，则的度数为______°．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质求角度，三角形外角性质，邻补角的相关计算，延长至，根据矩形性质可得，，由折叠可知，从而得到，根据题意分两种情况，以及，根据平行线性质，邻补角以及三角形外交性质进行求解即可．
【详解】解：如图，延长至，
四边形为长方形，
，，
由折叠可知：，
，
即，
由图可知，图中的钝角一共有3个为，
当时，
，
当时，
，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：或．
16. 有12个正整数，它们中最大的数为a，对于任意一个整数都等于这12个数中的某一个数或一部分数之和，则a的最小值为______．
【答案】1024
【解析】
【分析】本题考查了递推法的应用，根据任意一个整数等于这12个数中某一个数或一部分数之和，可以应用递推法推出1，2，4，8，32，64，128，256，512可以相加为1至1023中的任意值，因为，满足，进而得出a的最小值．
【详解】解：由于任意一个整数等于这12个数中某一个数或一部分数之和，
12个数中一定有1，2，，故没有3，一定有4，
由此往下可知：，，，一定有8，
整数中有1，2，4，8，
，，，，，，
下一个数为16，
由此我们可以发现1，2，4，8，可以相加为1至15中的数值，
下一个为，
1，2，4，8，32中可以相加为1至31中的数值，
下一个为，
递推得：这十二个数中必有1，2，4，8，32，64，128，256，512，1024，
到1024截止，
，
1，2，4，8，32，64，128，256，512可以相加为1至1023中的任意值，
，满足
a的最小值为1024，
故答案为：1024．
三、解答题（本题有8个小题，共66分．其中17，18题每题6分，19题9分，20题5分，21题8分，22，23题每题10分，24题12分）
17. 解方程组．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知相关计算方法是解题的关键.
（1）利用代入法，即可解答；
（2）先去分母，再利用加减法，即可解答.
【小问1详解】
解：将代入，得，
解得，
将代入，
解得，
方程组解为；
【小问2详解】
解：将整理，可，
将与相加，
可得，
解得，
代入后得，
解得，
∴方程组的解为.
18. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，利用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）利用乘方，零指数幂，负整数指数幂计算各项，再进行计算即可；
（2）利用完全平方公式，单项式除以单项式计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
19. 分解因式．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练运用相关方法是解题的关键．
（1）利用提取公因式法，即可解答；
（2）先利用提取公因式法，再利用公式法，即可解答；
（3）先利用提取公因式法，再利用公式法，即可解答；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先利用整式的乘法计算，合并后代入求得数值即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
21. 如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）作出三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形；
（2）连结，，判断与的位置关系，并求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）;面积为．
【解析】
【分析】（1）将三角形的三个顶点进行平移，然后连接即可；
（2）根据平移性质即可判断；利用网格求面积即可；
【小问1详解】
解：如图即为所求图形;
【小问2详解】
解：三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形,
，
四边形的面积为．
22. 如图，已知F，E分别是射线上的点．连接，其中平分，平分，．
（1）试说明；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）通过，可得，利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；任务2：四种；任务3：6杯
【解析】
【分析】任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，列出二元一次方程，可得，根据m，n均为正整数，即可求解；
任务3：设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料为b杯，则B的加料为杯，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，可得总花费为：，即可得，根据，可得，问题随之得解．
【详解】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，
由题可知：，
解得：，
即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；
任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，
则，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴解得：，，，，
即有共有四种方案；
任务3：买了6杯
设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯，
∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，
∴总花费为：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵a，b是整数，
∴，，
∴（杯）．
【点睛】本题主要考查了二元次一方程组的应用，以及根据题意解二元一次方程等知识，问题的难点是任务三，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，列出总花费为：，是解答本题的关键．
24. 对于任意的正整数n，记，当n等于1，2，…k，…n时，记的值分别为，…，…．
（1）的值为______；与2000最接近的的值为______；
（2）对于任意的n，的值是否一定为正整数？若是，请说明理由；若不是，请举例说明；
（3）①求的值；
②已知m为小于100的正整数，存在正整数k使得，求出所有可能的m的值．（需写出过程）
【答案】（1）10，2024
（2）是，证明见解析 （3）①；②11，19，29，41，55，71，89
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，有理数乘方的计算，含乘方的有理数混合运算，因式分解的应用，寻找到式子的规律是解题关键．
（1）将代入，即可求出的值，根据题意可得出，根据，，，即可确定出，从而得出结果；
（2）首先根据题意得到，然后分情况证明既能被2整除，也能被3整除即可；
（3）①根据进行计算即可；②根据规律进行计算即可．
【小问1详解】
解：的值为；
，
，即，
，，，
，
，
，
故答案为：10，2024；
【小问2详解】
是正整数，证明如下：
，由于2和3为质数，
故需证明既能被2整除，也能被3整除即可．
当n为偶数时，为两个偶数与一个奇数的积，积也为偶数，能被2整除，
当n为奇数时，为两个奇数与一个偶数的积，积也为偶数，能被2整除；
当n是3的倍数时，能被3整除，
当n除3余1时，则能被3整除，故能被3整除，
当n除3余2时，则能被3整除，故能被3整除，
综上所述，的值是正整数；
【小问3详解】
①，，
，
，
；
②
，
整理可得：，
由于k是正整数，所以可取1，2，3，4，5，6，7，
故m可能的值为11，19，29，41，55，71，89．背景
为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式咖啡作为奖品．
素材1
若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．

素材2
为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的．
问题解决
任务1
问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2
在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？
任务3
求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？