2023-2024学年北京171中高一（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京171中高一（下）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了在△ABC中，若A等内容，欢迎下载使用。

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.cs14∘cs16∘−cs76∘sin16∘=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
3.在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于( )
A. 1：2：3B. 3：2：1C. 2： 3：1D. 1： 3：2
4.已知向量a，b，且AB=a+2b，BC=−5a+6b，CD=7a−2b，则一定共线的三点是( )
A. A，B，CB. A，B，DC. A，C，DD. B，C，D
5.已知tanα=34,tan(β−α)=13，则tanβ=( )
A. 139B. 913C. 3D. 13
6.对函数y=sinx的图象分别作以下变换：
①向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)；
②向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)
③将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位
④将每个点的横坐标缩短为原来的13(纵坐标不变)，再向左平移π12个单位
其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是( )
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则ω的值为( )
A. 2B. 1C. 12D. 14
8.如图所示，在四边形ABCD中，DC=13AB，E为BC的中点，且AE=xAB+yAD，则3x−2y=( )
A. 12B. 32C. 1D. 2
9.“sinα=csβ”是“α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知奇函数f(x)在[−1,0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则( )
A. f(csα)>f(csβ)B. f(sinα)>f(sinβ)
C. f(sinα)f(csβ)
11.已知复数z=2−i1+i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为______.
12.已知向量a=(1,x)，b=(−1,x)，若2a−b与b垂直，则|a|的值为__________.
13.在△ABC中，AB=1,AC= 2,∠C=π6，则∠B=______.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在区间(π3,4π3)上单调，且对任意实数x均有f(4π3)≤f(x)≤f(π3)成立，则φ=______.
15.一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示．已知AB=6分米，FG=3分米，点P在正方形ABCD的四条边上运动，当AE⋅AP取得最大值时，AE与AP夹角的余弦值为__________.
16.已知函数f(x)=1−cs2xsinx.
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)若f(θ)=2 55，且θ∈(π2,π)，求tan(π−θ)的值.
17.已知点A(5,−2)，B(−1,4)，C(3,3)，M是线段AB的中点.
(Ⅰ)求点M和AB的坐标；
(Ⅱ)若D是x轴上一点，且满足BD//CM，求点D的坐标.
18.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 3sinCcsB=cb.
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若π2<θ<π，CD=2，AD= 5，a=8 55，求sinθ与b的值．
19.已知函数f(x)= 3sinxcsx+cs2x−12.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f(A)=12，2a=b+c，且AB⋅AC=9，求a的值．
20.已知a，b，c，分别为△ABC内角A，B，C，的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①csB=− 63；②cs2A+2cs2A2=1；③a= 6；④b=2 2.
(Ⅰ)满足有解三角形的序号组合有哪些？
(Ⅱ)在(Ⅰ)所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积．
21.若定义域R的函数f(x)满足：
①∀x1，x2∈R，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]≥0，②∃T>0，∀x∈R，f(x+T)=f(x)+1.则称函数f(x)满足性质P(T).
(Ⅰ)判断函数f(x)=2x与g(x)=sinx是否满足性质P(T)，若满足，求出T的值；
(Ⅱ)若函数f(x)满足性质P(2)，判断是否存在实数a，使得对任意x∈R，都有f(x+a)−f(x)=2021，并说明理由；
(Ⅲ)若函数f(x)满足性质P(4)，且f(−2)=0.对任意的x∈(−2,2)，都有f(−x)=−f(x)，求函数g(t)=tf(t)+f(t)f(4t)的值域.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵z=i⋅(−3+i)=−1−3i，
∴复数z在复平面内对应的点(−1,−3)位于第三象限．
故选：C.
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：cs14∘cs16∘−cs76∘sin16∘=cs14∘cs16∘−sin14∘sin16∘=cs30∘= 32.
故选：B.
结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，
∴设A=x，则B=2x，C=3x，
由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=π6
∴A=π6，B=π3且C=π2，可得△ABC是直角三角形
∵sinA=ac=12，∴c=2a，得b= c2−a2= 3a
因此，a：b：c=1： 3：2
故选：D
根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=π6，B=π3且C=π2，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b= 3a，即可得到a：b：c的值．
本题给出三角形三个角的比值，求它的三条边之比．着重考查了三角形内角和定理、三角函数在直角三角形中的定义等知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB，
∴AD与AB共线，
又AD与AB有公共点A，
∴A，B，D三点共线，故B正确；
∵AC=AB+BC=(a+2b)+(−5a+6b)=−4a+8b与AB=a+2b不共线，
∴A，B，C三点不共线，故A错误，
又∵A，B，D三点共线，
则A，C，D不共线，B，C，D不共线，故C，D错误．
故选：B.
证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点．
本题主要考查了平面向量的线性运算，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
直接利用tanβ=tanβ−α+α=tanβ−α+tanα1−tanβ−αtanα即可求解．
解：因为tanα=34,tan(β−α)=13，
所以tanβ=tanβ−α+α=tanβ−α+tanα1−tanβ−αtanα=13+341−13×34=139，
故选：A.
6.【答案】C
【解析】解：①y=sinx→y=sin(x+π4)→y=sin(3x+π4)；
②y=sinx→y=sin(x+π12)→y=sin(3x+π12)；
③y=sinx→y=sin3x→y=sin3(x+π4)；
④y=sinx→y=sin3x→y=sin3(x+π12)=sin(3x+π4).
故选：C.
根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=sin(3x+π4)即可．
本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于中档题．
由点(0, 2)在函数的图象上可求sinφ= 22，结合范围|φ|<π2，可得φ=π4，又点(2π,− 2)在函数的图象上，有sin(2πω+π4)=− 22，可得2πω+π4=2kπ−π4，或2kπ−3π4，k∈Z，从而解得ω的值．
【解答】
解：∵点(0, 2)在函数的图象上，即有2sinφ= 2，
∴sinφ= 22，
∵|φ|<π2，
∴可得：φ=π4，
又∵点(2π,− 2)在函数的图象上，即有2sin(2πω+π4)=− 2，
∴sin(2πω+π4)=− 22，可得2πω+π4=2kπ−π4，或2kπ−3π4，k∈Z，
∴解得ω=k−14，或ω=k−12，k∈Z，
则当k=1时，ω的值为12.
故选：C.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量共线定理和向量的三角形法则、平面向量基本定理，属于基础题．
利用向量共线定理和向量的三角形法则即可得出结果．
【解答】
解：∵E为BC的中点，∴BE=12BC，
BC=BA+AD+DC=−23AB+AD.
∴BE=12BC=−13AB+12AD，AE=AB+BE=23AB+12AD，
又AE=xAB+yAD，∴x=23,y=12，则3x−2y=1，
故选：C.
9.【答案】B
【解析】解：sinα=csβ⇒cs(π2−α)=csβ，
∴β=2kπ±(π2−α)，k∈Z.
化为：α+β=π2+2kπ，k∈Z，或β−α=−π2+2kπ，k∈Z，
∴“sinα=csβ“是“α+β=π2+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．
故选：B.
sinα=csβ⇒cs(π2−α)=csβ，可得β=2kπ±(π2−α)，k∈Z.即可判断出结论．
本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：∵奇函数y=f(x)在[−1,0]上为单调递减函数，
∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数，
∴f(x)在[−1,1]上为单调递减函数，
又α、β为锐角三角形的两内角，
∴α+β>π2，
∴α>π2−β，
∴sinα>sin(π2−β)=csβ>0，
∴f(sinα)故选C.
由“奇函数y=f(x)在[−1,0]上为单调递减函数”可知f(x)在[0,1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β>π2，转化为α>π2−β，两边再取正弦，可得sinα>sin(π2−β)=csβ>0，由函数的单调性可得结论．
题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性．属中档题．
11.【答案】12+32i
【解析】解：复数z=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i，
所以z的共轭复数为12+32i.
故答案为：12+32i.
先利用复数的四则运算化简z，再利用共轭复数的概念求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标计算，关键是求出x的值．
根据题意，由向量坐标计算公式可得2a−b的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得(2a−b)⋅b=−3+x2=0，解得x的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a=(1,x)，b=(−1,x)，
则2a−b=(3,x)，
若2a−b与b垂直，则(2a−b)⋅b=−3+x2=0，
解得：x=± 3，
则|a|= 1+3=2，
故答案为：2.
13.【答案】π4或3π4
【解析】解：由正弦定理得，ABsinC=ACsinB，
所以1sinπ6= 2sinB，
解得sinB= 22，
又因为AC>AB，所以B>C，
又B∈(0,π)，
所以B=π4或3π4.
故答案为：π4或3π4.
直接利用正弦定理求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
14.【答案】π6
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2) 在区间(π3,4π3)上单调，且对任意实数x均有f(4π3)≤f(x)≤f(π3)成立，
∴12⋅2πω=4π3−π3，∴ω=1.
且π3是f(x)的最大值点，4π3是函数f(x)的最小值点，
由五点法作图可得1×π3+φ=π2，∴φ=π6，
故答案为：π6.
由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
15.【答案】2 55
【解析】【分析】
本题主要考查向量夹角的求法，考查向量数量积的运算与性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，分类讨论P点的位置，根据平面向量数量积的坐标表示可求出结果．
【解答】
解：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
则A(0,0)，E(32,92)，C(6,6)，
AE=(32,92)，|AE|= 94+814=3 102，
设P(x,y).AP=(x,y)，AE⋅AP=32x+92y，
当y=0时，0≤x≤6，AE⋅AP=32x+92y=32x≤32×6=9，当且仅当x=6时等号成立；
当x=6时，0≤y≤6，AE⋅AP=32x+92y=9+92y≤36，当且仅当y=6时等号成立，
当y=6时，0≤x≤6，AE⋅AP=32x+92y=32x+27≤36，当且仅当x=6时等号成立，
当x=0时，0≤y≤6，AE⋅AP=32x+92y=92y≤27，当且仅当y=6时等号成立，
由以上可知，当x=6，y=6时，AE⋅AP取得最大值36，此时P(6,6)，AP=(6,6)，
设 AE与AP的夹角为θ，
则csθ=AE⋅AP|AE||AP|=9+273 102×6 2=2 55.
故答案为：2 55.
16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知sinx≠0，
∴x≠kπ(k∈Z)，
∴f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
(Ⅱ)f(x)=1−cs2xsinx=sin2xsinx=sinx，
∵f(θ)=2 55，
∴sinθ=2 55，
又∵θ∈(π2,π)，∴csθ=− 1−sin2θ=− 55，
∴tan(π−θ)=−tanθ=−sinθcsθ=2.
【解析】(Ⅰ)由sinx≠0即可求出f(x)的定义域．
(Ⅱ)先化简函数f(x)的解析式，再代入f(θ)=2 55，得到sinθ=2 55，在根据同角三角函数间的基本关系和角θ的范围求解即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵A(5,−2)，B(−1,4)，M是线段AB的中点，
∴M(5−12,−2+42)=(2,1)，
AB=OB−OA=(−1,4)−(5,−2)=(−6,6)；
(Ⅱ)设D(x,0)，则BD=(x+1,−4)，CM=(−1,−2)，
∵∴(x+1)⋅(−2)−(−4)⋅(−1)=0，解得：x=−3，
∴点D的坐标是(−3,0).
【解析】(Ⅰ)根据向量的运算性质计算即可；(Ⅱ)根据向量的线性运算计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题．
18.【答案】(本题满分为12分)
解：(Ⅰ)∵ 3sinCcsB=cb，∴可得： 3sinCcsB=sinCsinB，
∵sinC>0，∴sinBcsB=tanB= 33，
∵0∴B=π6…4分
(Ⅱ)在△BCD中，∵CDsinB=BCsin∠BDC=asinθ，
∴2sin30∘=8 55sinθ，∴sinθ=2 55，…8分
∵θ为钝角，
∴∠ADC为锐角，
∴cs∠ADC=cs(π−θ)= 1−sin2θ= 55，
∴在△ADC中，由余弦定理，可得：
b= AD2+CD2−2AD×CD×csθ= 5+4−2 5×2× 55= 5…12分
【解析】(Ⅰ)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB= 33，结合范围0(Ⅱ)在△BCD中，由正弦定理可得CDsinB=BCsin∠BDC=asinθ，解得sinθ=2 55，结合θ为钝角，利用诱导公式可求cs∠ADC的值，在△ADC中，由余弦定理，可得b的值．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)= 3sinxcsx+cs2x−12
= 32sin2x+12cs2x
=sin(2x+π6)，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z；
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z；
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；
(2)△ABC中，f(A)=12，所以sin(2A+π6)=12，
由0所以2A+π6=5π6，解得A=π3；
又AB⋅AC=9，所以cbcsA=cb⋅csπ3=9，解得bc=18；
又2a=b+c，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc=4a2−3×18，
解得a=3 2.
【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出f(x)的单调递增区间；
(2)根据f(A)=12求出A的值，再根据AB⋅AC=9求出bc，利用余弦定理列出方程求得a的值．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了平面向量和余弦定理应用问题，是中档题．
20.【答案】解：(I)由①csB=− 63可得，2π3由②cs2A+2cs2A2=1可得2cs2A+csA−1=0，
解可得，csA=−1(舍)或csA=12，
由A为三角形的内角可得A=13π，
①②不能同时成立，
所以满足有解三角形的序号组合有①③④或②③④，
(Ⅱ)选择①③④，由余弦定理可得，b2=a2+c2−ac，
所以8=6+c2+2 6c× 63，即c2+4c−2=0，
解可得，c= 6−2，
S△ABC=12acsinB= 3− 2，
选②③④，由余弦定理可得，a2=b2+c2−2bccsA，
∴6=8+c2−2 2c，
解可得，c= 2，
S△ABC=12bcsinA=12×2 2× 2× 32= 3.
【解析】(I)结合二倍角公式进行化简可求A，B，从而可判断；
(II)结合所选条件，结合余弦定理进行化简，然后结合三角形的面积公式可求．
本题主要考查了二倍角公式，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题
21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2x为增函数，满足性质①，
对于②，由∀x∈R，f(x+T)=f(x)+1有2(x+T)=2x+1，
所以2T=1，T=12，
所以函数f(x)=2x满足性质P(12).
函数g(x)=sinx显然不满足①，所以不满足性质P(T).
(Ⅱ)存在，理由如下：
由∀x∈R，f(x+2)=f(x)+1.
可得f(x+2n)=f(x+2n−2)+1=f(x+2n−4)+2=f(x+2n−6)+3=…=f(x)+n(n∈N*)，
即f(x+2n)−f(x)=n，
令n=2021，得a=2n=4042.
(Ⅲ)依题意，对任意的x∈(−2,2)，都有f(−x)=−f(x)，所以f(0)=0，
因为函数f(x)满足性质P(4)，
由①可得，在区间[−2,0]上有f(−2)≤f(x)≤f(0)，
又因为f(−2)=0，所以0≤f(x)≤0，可得任意x∈[−2,0]，f(x)=0，
又因为对任意的x∈(−2,2)，都有f(−x)=−f(x)，
所以任意的x∈[−2,2),f(x)=0,
递推可得任意的x∈[4k−2,4k+2),k∈Z,有f(x)=k，
函数g(t)=tf(t)(f(4t)+1)，因为f(t)≠0，所以t∉[−2,2),
由②及f(−2)=0，可得f(2)=1，
所以当t=2时，g(2)=21×(1+1)=1，
当|t|>2时，4t∈(−2,2)，所以f(4t)=0，
即|t|>2时，g(t)=tf(t)，
所以当t∈[4k−2,4k+2)(k∈Z,k≠0,t≠2)时，g(t)=tk，
当k≥1时，g(t)∈[4k−2k,4k+2k)=[4−2k,4+2k)(当k=1时，g(t)≠2，需要排除)，
此时2k随k的增大而减小，所以[4−2k+1,4+2k+1)⫋[4−2k,4+2k),
所以求值域，只需取k=1，得g(t)∈[4−21,4+21)=[2,6),
当k<0时，g(t)∈(4k+2k,4k−2k]=(4+2k,4−2k],
此时2k随k的增大而减小，所以(4+2k−1,4−2k−1]⫋(4+2k,4−2k],
只需取k=−1，得g(t)∈(4+2−1,4−2−1]=(2,6].
综上，函数g(t)的值域为{1}∪(2,6].
【解析】(Ⅰ)利用定义分别判断即可求解得结论；
(Ⅱ)由②计算可得f(x+2n)=f(x)+n，即f(x+2n)−f(x)=n，令n=2021即可求得a的值；
(Ⅲ)根据已知可得任意的x∈[−2,2),f(x)=0,递推可得任意的x∈[4k−2,4k+2),k∈Z,有f(x)=k，由f(t)≠0，可得t∉[−2,2),分t=2，|t|>2两种情况分别求出g(t)的值域即可得解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．