云南省大理白族自治州大理市大理白族自治州民族中学2023-2024学年高一下学期5月期中检测数学试题

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考试时间：120分钟 满分：150分
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的是（ ）
A.若直线上有无数个点不在平面内，则
B.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行
C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点
3.法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：.据此公式，复数的虚部为（ ）
A. B. C.16 D.-16
4.在中，为的中点，为的中点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
5.正四棱台中，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（ ）
A.28 B. C. D.74
6.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知为单位向量，向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（ ）
（提示：）
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的母线长与底面圆半径不可能相等
B.将一个直角梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
10.下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若与共线，则或
C.若为单位向量，则
D.是与非零向量共线的单位向量
11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的侧面积为
B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则__________.
13.已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值集合为__________.（用区间表示）
14.如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上､下两部分的体积比为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知复数为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值.
16.（本题满分15分）
如图，在斜坐标系中，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若，求；
（2）若，求（用表示）；
（3）若，求向量的夹角的大小.
17.（本题满分15分）
如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：四点共面.
18.（本题满分17分）
在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
19.（本题满分17分）
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）将（1）中函数的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图象向左平移个单位长度，得到的图象，已知，问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
大理州民族中学2023-2024学年下学期期中检测
高一数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】C
5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】B
8.【答案】A
【详解】因为，可得是等边三角形，千米.
记直线与直线的交点为，
所以为的中点，所以为等腰三角形，，
又，所以千米，故选A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】ABD 10.【答案】AD 11.【答案】ABC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）因为复数，
所以
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
所以.关于的方程的另一个根
所以
16.【详解】（1）根据题意，得到，
所以
（2）
（3）
，又因为
17.【详解】（1）证明：分别为的中点，
，
又，
，
四边形是平行四边形.
（2）为中点，
，
四边形为平行四边形，
，
由（1）知：，
四边形为平行四边形，，即，
四点共面.
18.【详解】（1）在中，由，则，
由余弦定理知：，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
由正弦定理，
由，所以，
由，解得：或，
即或
①当时，，
在中，由正弦定理，所以，
所以；
②当时，三角形为等边三角形，，
.
综上：当时，；当时，.
19.【详解】（1）
所以的伴随向量.
（本题也可以用积化和差公式处理）
（2）由（1）知，故
设满足题意，则由，知，再由，知
所以
令，
则
因为，所以
所以且，故，此时
所以满足条件的点有且只有一个，其坐标为.